課時(shí)作業(yè)(三十九)　[第39講　空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系] (時(shí)間：45分鐘　分值：100分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．[2021·吉林期末] 一個(gè)正方體的展開圖如圖K39－1所示，A，B，C，D為原正方體的頂點(diǎn)，那么在原來(lái)的正方體中(　　) 圖K39－1 A．AB∥CD B．AB與CD相交 C．AB⊥CD D．AB與CD所成的角為60° 2．[2021·青島模擬] a，b，c為三條不重合的直線，下面有三個(gè)結(jié)論：①假設(shè)a⊥b，a⊥c，那么b∥c；②假設(shè)a⊥b，a⊥c那么b⊥c；③假設(shè)a∥b，b⊥c，那么a⊥c.其中正確的個(gè)數(shù)為(　　) A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 3．[2021·瓊海模擬] 一個(gè)平面α，l為空間中的任意一條直線，那么在平面α內(nèi)一定存在直線b使得(　　) A．l∥b B．l與b相交 C．l與b是異面直線 D．l⊥b 4．正四棱錐S－ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，E為SA中點(diǎn)，那么異面直線BE與SC所成的角是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 5．平面α∩β＝l，直線mα，直線nβ，那么m，n的位置關(guān)系是(　　) A．異面 B．平行 C．相交 D．無(wú)法確定 6．在空間四邊形ABCD中，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，設(shè)BC＋AD＝2a，那么MN與a的大小關(guān)系是(　　) A．MN>a B．MN＝a C．MN<a D．不能確定 7．[2021·開封調(diào)研] 以下四個(gè)命題中 ①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線； ②假設(shè)點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，那么點(diǎn)A，B，C，D，E共面； ③假設(shè)直線a，b共面，直線a，c共面，那么直線b，c共面； ④依次首尾相接的四條線段必共面． 正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 8．空間中有三條線段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是(　　) A．AB∥CD B．AB與CD異面 C．AB與CD相交 D．AB∥CD或AB與CD異面或AB與CD相交 9．異面直線a，b互相垂直，定點(diǎn)P不在直線a，b上，假設(shè)過(guò)P點(diǎn)的直線l與a成25°角，那么l與b所成角θ的取值范圍為(　　) A．[0°，45°) B．[65°，90°] C．[45°，90°) D．(0°，25°] 10．[2021·銀川一中二模] 如圖K39－2，ABC－A1B1C1是直三棱柱，∠BCA＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，假設(shè)BC＝CA＝AA1＝a，那么BE與AF所成角的余弦值為________． 圖K39－2 11．等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角C－AB－D為直二面角，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，那么EM，AN所成角的余弦值為________． 12．[2021·杭州檢測(cè)] a，b為不垂直的異面直線，α是一個(gè)平面，那么a，b在α上的射影可能是：①兩條平行直線；②兩條互相垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及其外一點(diǎn)．那么在上面的結(jié)論中，正確結(jié)論的編號(hào)是________(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào))． 13．假設(shè)兩條異面直線所成的角為60°，那么稱這對(duì)異面直線為“黃金異面直線對(duì)〞，在連接正方體各頂點(diǎn)的所有直線中，“黃金異面直線對(duì)〞共有________對(duì)． 14．(10分)假設(shè)四棱錐P－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA⊥底面ABCD(如圖K39－3)，且PA＝2. (1)求異面直線PD與BC所成角的大??； (2)求四棱錐P－ABCD的體積． 圖K39－3 15．(13分)在空間四邊形ABCD中，AD＝1，BC＝，且AD⊥BC，對(duì)角線BD＝，AC＝，求AC和BD所成的角． 圖K39－4 16．(12分)：如圖K39－5，空間四邊形ABCD中，E，H分別是邊AB，AD上的點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且＝＝λ，＝＝μ(0<λ，μ<1)，試判斷FE，GH與AC的位置關(guān)系． 圖K39－5 課時(shí)作業(yè)(三十九) 【根底熱身】 1．D　[解析] 將平面展開圖復(fù)原成幾何體，易知AB與CD所成的角為60°，選D. 2．B　[解析] ①不對(duì)，b，c可能異面；②不對(duì)，b，c可能平行；平行移動(dòng)直線不改變這條直線與其他直線的夾角，故③對(duì)，選B. 3．D　[解析] 當(dāng)l⊥α或l∥α?xí)r，在平面α內(nèi)，顯然存在直線b使得l⊥b；當(dāng)l與α斜交時(shí)，只需要b垂直于l在平面α內(nèi)的射影即可得到l⊥b. 4．C　[解析] 取AC中點(diǎn)F，EF＝，BF＝，BE＝，△BEF中，由余弦定理得cos∠BEF＝，∠BEF＝60°. 【能力提升】 5．D　[解析] 如圖，可知三種關(guān)系都有可能． 6．C　[解析] 取AC中點(diǎn)E，那么ME∥BC，且ME＝BC，NE∥AD，且NE＝AD，∴BC＋AD＝2(ME＋NE)＝2a，在△MNE中，MN<ME＋NE＝a.應(yīng)選C. 7．B　[解析] ①假設(shè)其中有三點(diǎn)共線，那么該直線和直線外的另一點(diǎn)確定一個(gè)平面．這與四點(diǎn)不共面矛盾，故其中任意三點(diǎn)不共線，所以①正確．②從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A，B，C，但是假設(shè)A，B，C共線，那么結(jié)論不正確；③不正確；④不正確，因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形的四條邊可以不在一個(gè)平面上，如空間四邊形．應(yīng)選B. 8．D　[解析] 假設(shè)三條線段共面，如果AB，BC，CD構(gòu)成等腰三角形，那么直線AB與CD相交，否那么直線AB∥CD；假設(shè)不共面，那么直線AB與CD是異面直線，應(yīng)選D. 9．B　[解析] 將異面直線a，b平移至相交于P點(diǎn)，當(dāng)平移后的直線a，b與l這三條直線在同一平面內(nèi)時(shí)，θ取得最小值65°，當(dāng)b垂直于a，l所在的平面時(shí)，θ取得最大值90°. 10.　[解析] 作BC中點(diǎn)為G，連接GF，EF，GA，易知四邊形EFGB是平行四邊形，∴BE∥GF，即∠GFA是所求的角，易求△GFA的三邊其中GF＝a，F(xiàn)A＝GA＝a，利用余弦定理求出cos∠GFA＝. 11.　[解析] 如圖，G為DE的中點(diǎn)，連接AG，AN，NG，那么NG∥EM，∠ANG即為EM，AN所成角．設(shè)正方形的棱長(zhǎng)為2，那么AN＝，AG＝，NG＝EM＝，所以cos∠ANG＝＝. 12．①②④　[解析] ①、②、④對(duì)應(yīng)的情況如下： 用反證法證明③不可能． 13．24　[解析] 正方體如圖，假設(shè)要出現(xiàn)所成角為60°的異面直線，那么直線必須是面對(duì)角線，以AC為例，與之構(gòu)成黃金異面直線對(duì)的直線有4條，分別是A′B，BC′，A′D，C′D，正方體的面對(duì)角線有12條，所以所求的黃金異面直線對(duì)共有＝24對(duì)(每一對(duì)被計(jì)算兩次，所以記好要除以2)． 14．解：(1)∵AD∥BC，∴∠PDA的大小即為異面直線PD與BC所成角的大?。? ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD， 由PA＝2，AD＝2，得tan∠PDA＝，∴∠PDA＝60°， 故異面直線PD與BC所成角的大小為60°. (2)∵PA⊥平面ABCD， ∴VP－ABCD＝S正方形ABCD·PA＝×22×2＝. 15．解：如下圖，分別取AD，CD，AB，BD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，連接EF，F(xiàn)H，HG，GE，GF. 由三角形的中位線定理知，EF∥AC，且EF＝，GE∥BD，且GE＝. GE和EF所成的銳角(或直角)就是AC和BD所成的角． 同理，GH＝，HF＝，GH∥AD，HF∥BC. 又AD⊥BC，∴∠GHF＝90°， ∴GF2＝GH2＋HF2＝1. 在△EFG中，EG2＋EF2＝1＝GF2， ∴∠GEF＝90°，即AC和BD所成的角為90°. 【難點(diǎn)突破】 16．解：∵＝＝λ，＝＝μ， ∴EH∥BD，F(xiàn)G∥BD. ∴EH∥FG，EH＝λ·BD，F(xiàn)G＝μ·BD. ①當(dāng)λ＝μ時(shí)，EH∥FG，且EH＝FG， ∴四邊形EFGH是平行四邊形，∴EF∥GH. ＝，∴HG∥AC. 由公理4知，EF∥GH∥AC. ②當(dāng)λ≠μ時(shí)，EH∥FG，但EH≠FG. ∴四邊形EFGH是梯形，且EH，F(xiàn)G為上下兩底邊，∴EF，GH為梯形的兩腰，它們必交于點(diǎn)P，P∈直線EF，P∈直線HG.又EF平面ABC，HG平面ADC， ∴P∈平面ABC，P∈平面ADC， ∴P是平面ABC和平面ADC的公共點(diǎn)． 又∵平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈直線AC， ∴三條直線EF，GH，AC交于一點(diǎn)． 綜上所述，當(dāng)λ＝μ時(shí)，三條直線EF，GH，AC互相平行； 當(dāng)λ≠μ時(shí)，三條直線EF，GH，AC交于一點(diǎn)．