第十七章空間向量與立體幾何高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)知識(shí)清單2.設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);a=(a1,a2,a3);ab=a1b1+a2b2+a3b3;ab(b0)a1=b1,a2=b2,a3=b3;aba1b1+a2b2+a3b3=0.3.設(shè)A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2),則=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).這就是說(shuō),一個(gè)向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減起點(diǎn)的坐標(biāo).AB4.兩個(gè)向量的夾角及兩點(diǎn)間的距離公式(1)已知a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則|a|=,|b|=,cos=(a,b0).(2)已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則|=,這就是空間兩點(diǎn)間的距離公式.5.空間距離(1)點(diǎn)面距離公式:P為平面外一點(diǎn),a、n分別為平面的斜向量(O)和法向量,d為P到的距離,則d=|a|cos|=;2a222123aaa2b222123bbb112233222222123123a ba ba baaabbbABAB AB222121212(xx )(yy )(zz )OP|a n |n |(2)線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離;(3)面面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離;(4)異面直線的距離公式:設(shè)n為異面直線l1、l2的公垂線上的方向向量,a為l1、l2上兩點(diǎn)的連線向量(a與n不共線),d為l1、l2的距離,則d=|a|cos|=.6.空間角的計(jì)算(1)異面直線所成角公式:設(shè)a、b分別為異面直線l1、l2的方向向量,為異面直線所成的角,則cos=|cos|=.|a n |n |a b|a |b|(2)線面角公式:設(shè)l為平面的斜線,a為l的方向向量,n為平面的法向量,為l與成的角,則sin=|cos|=.(3)面面角公式:設(shè)n1、n2分別為平面、的法向量,二面角為,則=或=-(需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)),其中cos=.|a n |a | n |1212nn|n | |n | 用空間向量求解空間角的方法用空間向量求解空間角的方法用空間向量求角的大小的常用方法:(1)線線角:設(shè)兩異面直線a,b所成的角為,m,n分別是a,b的方向向量,則有cos=|cos|=.(2)直線與平面所成的角:設(shè)直線AB與平面所成的角為,平面的法向量為n,則有sin=|cos|=.注意,直線和平面所成角的取值范圍為.|m n |m|n |AB|n |n |ABAB0,2方法技巧方法(3)二面角:設(shè)二面角的平面角為,兩個(gè)半平面的法向量分別為m,n,求出cos=,根據(jù)圖形判斷是銳角、直角,還是鈍角,從而得出與是相等還是互補(bǔ).m n|m|n |例(2017江蘇蘇北四市期中)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,ABC=BAD=90,AD=AP=4,AB=BC=2,M為PC的中點(diǎn).(1)求異面直線AP,BM所成角的余弦值;(2)點(diǎn)N在線段AD上,且AN=,若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為,求的值.45解析(1)因?yàn)镻A平面ABCD,且AB,AD平面ABCD,所以PAAB,PAAD,又因?yàn)锽AD=90,所以PA,AB,AD兩兩互相垂直.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4),因?yàn)镸為PC的中點(diǎn),所以M(1,1,2).則=(-1,1,2),=(0,0,4),所以cos=,所以異面直線AP,BM所成角的余弦值為.BMAPAPBMAP BM|AP|BM|0 ( 1)0 1 4 246 6363(2)因?yàn)锳N=,所以N(0,0)(04),則=(-1,-1,-2),易得=(0,2,0),=(2,0,-4),設(shè)平面PBC的法向量m=(x,y,z),則即MNBCPBm0,m0,BCPB2y0,2x4z0.令x=2,解得y=0,z=1,所以m=(2,0,1)是平面PBC的一個(gè)法向量.因?yàn)橹本€MN與平面PBC所成角的正弦值為,所以|cos|=,解得=1,所以的值為1.45MN|m|m|MNMN2| 22|5(1)5 45