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第2章 一元二次方程 2.1一元二次方程（1） 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1． 通過設(shè)置問題，建立數(shù)學(xué)模型，模仿一元一次方程的概念給一元二次方程下定義； 2． 一元二次方程的一般形式及其有關(guān)概念； 3． 使學(xué)生理解并能夠掌握一元二次方程的一般表達式以及各種特殊形式； 4． 通過生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問題來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。 學(xué)習(xí)重點： 一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程的有關(guān)概念解決問題 學(xué)習(xí)難點： 建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念。 一． 學(xué)前準備： 1．____________________________________________叫方程； _____________________________________________叫一元一次方程。 2．我們知道了利用一元一次方程可以解決生活中的一些實際問題，利用一元一次方程解決實際問題的步驟是： 二． 探究活動 （一） 獨立思考解決問題 1． 剪一塊面積為150的長方形鐵片，師它的長比寬多5cm，這塊鐵皮該怎么剪呢？如果鐵皮的寬為x（cm），那么鐵皮的長為_________cm. 根據(jù)題意，可得方程是：______________________ 2． 一個數(shù)比另一個數(shù)小，且這兩數(shù)之積為6，求這兩個數(shù)。設(shè)其中較小的一個數(shù)位x，請列出滿足題意的方程__________________. 3．正方形的面積是2，求它的邊長？ _______________________________________________. 3． 矩形花圃一面靠墻，另外三面所圍得柵欄的總長度是19m，如果花圃的面積是24，求花圃的長和寬。 __________________________________________________________. （二） 師生探究合作交流 議一議：1.上面的方程有哪些共同的特點呢？你知道什么是一元二次方程了嗎？ 2．結(jié)合上面的方程的特點你能夠用一個式子表示一元二次方程的一般形式嗎？ 3．其中______叫做二次項，a叫做______,bx叫做_______,b叫做_______.c是常數(shù)項。 4． 下面是一元二次方程嗎？（填“是”或“否”） 5． 方程：3x(x-1)=2(x+2)+8 (1) 是一元二次方程嗎？如果是一元二次方程請將它轉(zhuǎn)化成一般形式。 (2) 如果是，請分別說出它的二次項，一次項，常數(shù)項和它各項的系數(shù)。 (3) 試求的值。 練一練： 1． 下面的方程式一元二次方程嗎？如果是，請說出方程中的a,b,c分別是多少？ 2． 把下列的方程先轉(zhuǎn)化為一元二次方程的一般形式，再分別寫出它各項的系數(shù)。 三． 自我測試 1．將化為，a，b，c的值分別為（ ） A. 0, -3, -3 B. 1. -3, 3 C. 1, 3, -3 D. 1, -3, -3 2．若方程是一元二次方程，則m的值是（ ） A． B. C. D. 3．已知方程：①；②；③；④；⑤；其中一元二次方程的個數(shù)是（ ） A．0 B. 1 C. 2 D. 3 4.把方程化成一元二次方程的一般形式，再求出它的二次項系數(shù)與一次項系數(shù)的和。 四． 應(yīng)用與拓展 1．下列方程中，無論a取何值，總是關(guān)于x的一元二次方程的是（ ） A． B. C． D. 2．若是關(guān)于x的一元二次方程，求m，n的值。 3． 當(dāng)m取任意實數(shù)時，判斷關(guān)于x的方程的類型。 2.1一元二次方程（2） 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1． 理解方程的解，并能利用一元二次方程的解解決簡單的數(shù)學(xué)問題； 2． 將已學(xué)過的方程知識進一步拓展與融合，擴大視野，提高能力； 3． 感受數(shù)學(xué)的嚴謹性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性。 學(xué)習(xí)重點：一元二次方程的解的概念 學(xué)習(xí)難點：利用一元二次方程的解解決數(shù)學(xué)問題 一． 學(xué)前準備 1．___________________________________________________叫一元二次方程； 2．_________________________________________是一元二次方程的一般形式； 3．________________________________________ 叫方程的解。 二． 探究活動 （一） 獨立思考解決問題 1． 已知x=1是一元二次方程的一個解，則m的值是多少？請寫出你的思考過程。 2． 已知關(guān)于x的一元二次方程的一個根是0，求m的值。 （二） 師生探究合作交流 議一議： 1． 上面題目的解法給你什么啟發(fā)？我們?yōu)槭裁纯梢赃@樣去解呢？ 2． 你能否自己給自己編一道類似這樣題型的題目呢？并解答出來。 3． 已知x=1是方程的根，化簡； 4． 已知實數(shù)a滿足，求的值 5． 已知m，n是有理數(shù)，方程有一個根是，求m+n的值。 三． 自我測試 1．若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則（ ） A. m=2 B. m=2 C. m=-2 D. m≠2 2．如果關(guān)于x的方程的一個實數(shù)根的倒數(shù)恰是它本身，那么p的值是 （ ） A．1 B. 1 C. 2 D. 2 3.已知m是方程的一個根，則代數(shù)式的值為_______; 4．若方程的一個根是2，則k=__________; 5．當(dāng)k滿足條件_______時，方程不是關(guān)于x的一元二次方程。 6．若關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項為二次項系數(shù)的2倍，則一次項系數(shù)為________; 7.已知是一元二次的解，則=_______; 四． 應(yīng)用與拓展 1． 設(shè)一元二次方程的兩個根分別為，，求aP+bQ+cR的值。 2． 已知a,b是關(guān)于x的一元二次方程的兩個根，求的值。 2.2一元二次方程的解法（1） 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1． 理解一元二次方程降次的轉(zhuǎn)化思想； 2． 會利用直接開平方法對形如的一元二次方程進行求解； 3． 發(fā)現(xiàn)不同方程的轉(zhuǎn)化式，運用已有知識解決新問題。 學(xué)習(xí)重點：運用開平方法解形如的方程； 學(xué)習(xí)難點：通過根據(jù)平方根的意義解形如的方程，知識遷移到根據(jù)平方根的意義解形如的方程。 一． 學(xué)前準備： 1．9的平方根是____,用符號表示為__________; 2．25的平方根是____,用符號表示為_________; 3．a(chǎn) 的平方根是________; 二．探究活動： （一）獨立思考解決問題 1．解方程： 2．解方程： （二）師生探究合作交流 議一議： 1．上述解一元二次方程的方法是什么？它的理論依據(jù)是是什么？ 2．方程有實數(shù)解嗎？為什么？ 3．由第2題你能得到用直接開平方法解一元二次方程需要注意什么呢？ 4． 我們又如何檢驗我們所解得方程是否正確呢？ 5． 練一練： 解方程： 6． 小明同學(xué)在解方程時是這樣解的，請同學(xué)們看看他的解法對嗎？如果是你解，該如何解呢？ 三． 自我測試： 1．方程的實數(shù)根的個數(shù)是（ ） A．1 B. 2 C. 0 D.以上答案都不對 2．方程的根是（ ） A． B. C. D. 3．方程的根是（ ） A. B. C. D. 4．方程的根是__________. 5．若方程有整數(shù)根，則m的值可以是______(只填一個) 6．當(dāng)n_____時，方程有根，其根為_______. 7．已知一元二次方程，試用直接開平方法解這個方程。 8.一塊石頭從20m高的塔上落下，石頭離地面的高度h(m)和下落時間x(s)大致有如下關(guān)系：，則石頭經(jīng)過多長時間落到地面？ 四．應(yīng)用與拓展： 已知公式。根據(jù)上述公式解答下題： 已知a是方程的根，求的值。 2.2一元二次方程的解法（2） 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1． 會利用配方法熟練，靈活的解一元二次方程； 2． 通過對計算過程的反思，獲得解決新問題的體驗，體會在解決問題的過程中所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想； 3． 通過配方法的探究活動，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣； 4． 感受數(shù)學(xué)的嚴謹性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性。 學(xué)習(xí)重點：用配方法熟練地解數(shù)字系數(shù)為1的一元二次方程； 學(xué)習(xí)難點：靈活地用配方法解數(shù)字系數(shù)不為1的一元二次方程； 一． 學(xué)前準備： 1．完全平方和公式：______________________;完全平方差公式：______________ 2．這兩個公式都有什么共同特點：______________________________________ 3．解方程： 二． 探究活動： （一） 獨立思考解決問題 試一試：完成下列配方過程 解方程： （二） 師生探究合作交流 1． 上述解方程的方法你知道是什么了吧？它里面蘊含著非常重要的數(shù)學(xué)思想，你知道是什么了嗎？ 2． 那你知道用這種方法解方程時最關(guān)鍵的一步是什么了嗎？你能說說你發(fā)現(xiàn)了什么沒有？ 3． 你能總結(jié)出來用這種方法解一元二次方程的步驟嗎？ 4． 練一練： （1） 填空 （2） 用配方法解下列方程： 三． 自我測試 1．已知一元二次方程，若用配方法解該方程時，則配方后的方程為（ ） A. B. C. D. 2．用配方法解方程，應(yīng)把方程的兩邊同時（ ） A.加 B.加 C.減 D.減 3． 4．若是一個完全平方式，則a=_______; 5．用配方法解方程： （1）； （2）； （3）； 6．用配方法證明： （1）的值恒為正； （2）的值恒小于0． 四． 應(yīng)用與拓展：閱讀理解題． 閱讀材料：為解方程，我們可以將視為一個整體，然后設(shè)，則，原方程化為 ① 解得， 當(dāng)時，，，； 當(dāng)時，，，； 原方程的解為，，， 解答問題： （1）填空：在由原方程得到方程①的過程中，利用 法達到了降次的目的，體現(xiàn)了 的數(shù)學(xué)思想． （2）解方程． 2.2一元二次方程的解法（3） 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程； 2.會利用求根公式解簡單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程； 3.經(jīng)歷探索求根公式的過程，發(fā)展學(xué)生合情合理的推理能力； 4.通過運用公式法解一元二次方程，提高學(xué)生的運算能力，并讓學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中獲得成功的體驗，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。 學(xué)習(xí)重點：求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用 學(xué)習(xí)難點：一元二次方程求根公式的推導(dǎo) 一． 學(xué)前準備 1． 配方法解一元二次方程的關(guān)鍵是_______________________________; 2． 一元二次方程中a=_____,b=_____,c=_______; 3． 一元二次方程中a=______,b=______,c=________. 4． 用配方法解一元二次方程 二． 探究活動 （一） 獨立思考解決問題 用配方法解一元二次方程；請同學(xué)們獨立完成此題。 （二） 師生探究合作交流 由上可知，一元二次方程的根由方程的系數(shù)a,b,c而定，因此： （1） 解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形，當(dāng)時，將a,b,c代入式子x=_____________，就得到方程的根；當(dāng)時就得到方程無實數(shù)根； （2） 這個式子叫做一元二次方程的求根公式； （3） 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法； （4） 由求根公式可知，一元二次方程最多有___個實數(shù)根。 例1：用公式法解下列方程：（1）； （2） 練習(xí)：把下列方程化成的形式，并寫出其中a,b,c的值； 三． 自我測驗 1．用公式法解方程，下列代入公式正確的是（ ） A. B. C． D. 2．方程的根是（ ） A． B. C. D. 3．方程的正根是（ ） 4．方程的兩根=_________, =_______; 5．一元二次方程中，=_______，若=9，則m=______； 6．用公式法解方程： 四．應(yīng)用與拓展 已知實數(shù)a,b,c滿足：，求方程的根。 2.2一元二次方程的解法（4） 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.會利用因式分解法解某些簡單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程； 2.經(jīng)歷探索因式分解法解一元二次方程的過程，發(fā)展學(xué)生合情合理的推理能力； 3.學(xué)會和他人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果。 學(xué)習(xí)重點：應(yīng)用因式分解法解一元二次方程； 學(xué)習(xí)難點：將方程化為一般形式后，對方程左側(cè)二次三項式的因式分解； 一．學(xué)前準備： 1.因式分解的定義_________________________________________; 2.因式分解與整式乘法互為___________； 3.因式分解有如下幾種方法，分別是________,_________,_________; 4.對以下整式進行因式分解： 5.解下列方程： 二．探究活動 （一）獨立思考解決問題 思考：(1) x(2x+1)=0; (2) 3x(x+2)=0; 問題：（1）你能觀察出這兩題的特點嗎？ （2）你知道方程的解嗎？說說你的理由 （二）師生探究合作交流 因式分解法的理論依據(jù)是：兩個因式的積等于零，那么這兩個的值就至少有一個為____.即：若ab=0,則_____或______。 由上述過程我們知道：當(dāng)方程的一邊能夠分解成兩個一次因式的乘積形式而另一邊等于0時，即可解之。這種方法叫做因式分解法。 你能總結(jié)出因式分解法解一元二次方程的一般步驟嗎？ （1） （2） （3） （4） 練習(xí)： 1．解方程 2． 三角形兩邊長分別為2和4，第三邊是方程的解，則這個三角形的周長是（ ） A. 8 B. 8或10 C. 10 D. 8和18 3．用因式分解法解方程5(x+3)-2x(x+3)=0，可把其化為兩個一元一次方程___________,____________求解。 三．自我測試 1．方程的根為（ ） A. B. C. D. 2．關(guān)于方程(x-m)(x-n)=0的說法中，正確的是（ ） A. x-m=0 B. x-n=0 C. x-n=0或x-m=0 D. x-n=0且x-m=0 3．若與是同類項，則m的值為（ ） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. -2或-3 4．關(guān)于x的方程ax(x-b)-(b-x)=0 (a≠0)的根為（ ） A．a(chǎn)或b B. 或b C. 或b D. a或-b 5．方程的根是______________; 6．方程的根是___________; 7．用因式分解法解下列方程： 四．應(yīng)用與拓展 閱讀材料：解方程，我們可以將看作一個整體，然后設(shè)=y ①，那么原方程可轉(zhuǎn)化為，解得 當(dāng)y=1時，，∴，∴； 當(dāng)y=4時，，∴，∴， 故原方程的解為 解答問題： （1）上述解題過程中，在由原方程得到方程①的過程中，利用_______法達到了解方程的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想； （2）請利用以上知識解方程： 2.2一元二次方程的解法（5） 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.會選擇利用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋? 2.體驗解決問題的方法的多樣性，靈活選擇解方程的方法； 3.積極探索不同的解法，并和同伴交流，勇于發(fā)表自己的觀點，從交流中發(fā)現(xiàn)最 優(yōu)方法，在學(xué)習(xí)活動中獲得成功的體驗。 學(xué)習(xí)重點：能根據(jù)一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點，靈活運用直接開平方法，配方法，公式法及因 式分解法解一元二次方程 學(xué)習(xí)難點：理解一元二次方程解法的基本思想 一． 學(xué)前準備 1、解一元二次方程的基本思路是：將二次方程化為______，即______ 2、一元二次方程主要有四種解法，它們的理論根據(jù)和適用范圍如下表： 方法名稱 理論根據(jù) 適用方程的形式 直接開平方法 平方根的定義 配方法 完全平方公式 公式法 配方法 因式分解法 兩個因式的積等于0，那么這兩個因式至少有一個等于0 3、一般考慮選擇方法的順序是： ________法、________法、______法或______法 二． 探究活動 （一） 獨立思考解決問題 解下列方程： （二） 師生探究解決問題 通過對以上方程的解法，你能總結(jié)出對于不同特點的一元二次方程選擇什么樣的方法去解了嗎？ 練習(xí)： 選擇合適的方法解下列方程: 三． 自我測試 1．下列方程一定能用直接開平方法解的是（ ） A. B. C. D. 2．解方程的最適當(dāng)?shù)姆椒☉?yīng)是（ ） A. 直接開平方法 B. 配方法 C. 公式法 D.因式分解法 3．設(shè)a是方程較大的一根，b是方程較小的一根，那么a+b的值為（ ） A. -4 B. -3 C. 1 D. 2 4．已知，當(dāng)A=B時，x的值為（ ） A. x=3或x=1 B. x=-3或x=-1 C. x=3或x=-1 D. x=-3或x=1 5．方程的解是________; 6．已知x+y=7且xy=12，則當(dāng)x0時， （2）當(dāng)=0時， （3）當(dāng)<0時，方程_________. （二）師生探究合作交流 1．定義：把叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號“”表示，即=，一般地，方程 當(dāng)>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根； 當(dāng)=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)<0時，方程沒有實數(shù)根。 反過來，同樣成立，即 2．小英說：“不解方程”，我也知道它的根的情況，現(xiàn)在你知道她是怎么做的了吧？那我們也來嘗試一下。 例1：不解方程，判別下列方程根的情況： 例2：m為何值時，關(guān)于x的一元二次方程； （1） 有兩個相等實數(shù)根； （2） 有兩個不相等的實數(shù)根； （3） 無實數(shù)根。 三． 自我測試 1．方程x2-ax+9=0有兩個相等的實數(shù)根，則a=________ 2．關(guān)于x的方程(m+1)x2-2x-(m-1)+0 的根的判別式等于４，m=_________ 3．已知 a、b、c是△ABC的三條邊，且一元二次方程(a-b)x2+2(a-b)-(b-c)=0 有兩個相等 的實數(shù)根，試判斷△ABC的形狀 . 4．當(dāng)m為何值時，（1）關(guān)于x的方程mx2+(2m-3)x+(m+2)=0有兩個實數(shù)根。 （2）關(guān)于x的一元二次方程mx2+(2m-3)x+(m+2)=0有實數(shù)根。 （3）關(guān)于x的方程mx2+(2m-3)x+(m+2)=0有實數(shù)根。 四． 應(yīng)用與拓展 已知關(guān)于x的方程和，且，證明：這兩個方程中至少有一個實數(shù)根。 2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（1） 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.通過觀察，歸納，猜想根與系數(shù)的關(guān)系，并證明成立，使學(xué)生理解其理論依據(jù)； 2.使學(xué)生會運用根與系數(shù)關(guān)系解決有關(guān)問題； 3.培養(yǎng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性及勇于探索的精神。 學(xué)習(xí)重點：根與系數(shù)的關(guān)系及推導(dǎo) 學(xué)習(xí)難點：正確理解根與系數(shù)的關(guān)系 一． 學(xué)前準備 解下列方程，將得到的解填入下面的表格中，觀察表格中兩個解的和與積，它們和原來的方程的系數(shù)有什么聯(lián)系？ ⑴　x2 + ２x = 0 ⑵　x2 + ３x －４= 0 ⑶　x2 －５x + ６= 0 方程 x1 x2 x1 + x2 x1x2 二． 探究活動 （一）嘗試探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律： 1．若x1、x2為方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根，結(jié)合上表，說明x1+x2與x1x2與a、b、c有何關(guān)系？請你寫出關(guān)系式 2、請用文字語言概括一元二次方程的兩個解的和、積與原來的方程有什么聯(lián)系？ 小結(jié)： 1．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根是x1，x2，那么x1+x2=____，x1x2=____． 2．如果方程x2+px+q=0（p、q為已知常數(shù)，p2－4ｑ≥0）的兩個根是x1，x2，那么x1+x2=_____，x1x2=________； 以兩個數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是________________________． 注意：根與系數(shù)的關(guān)系使用的前提條件___________________________ （二）例題分析 例１.不解方程，求出方程兩根的和與兩根的積（直接口答）： ①　x2 + 3x -1= 0?、凇2 + 6x +2= 0 ③　3x2 －4x+1= 0 (4)x2 + 3x +3= 0 例2.已知關(guān)于x的方程x2 + ｋx －6= 0的一個根是2，求另一個根及ｋ的值 三． 自我測試 1．若關(guān)于x的一元二次方程的兩個根為，則這個方程是（ ） A. B. C. D. 2．若方程的兩根是2和-3，則p，q分別為（ ） A. 2,-3 B. -1,-6 C. 1,-6 D. 1,6 3．方程，當(dāng)m=_____時，此方程兩個根互為相反數(shù)；當(dāng)m=_____時，兩根互為倒數(shù)。 4．如果-2和是一元二次方程的兩根，那么該一元二次方程為___________; 5．一元二次方程的兩根為，則=______。 6．若是方程的兩根，且，求k的值。 7．關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根。 （1）求k的取值范圍； （2）是否存在實數(shù)k，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由。 四．應(yīng)用與拓展 已知是方程的兩個實數(shù)根，且。 求（1）求及a的值； （2）求的值。 2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（2） 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.使學(xué)生熟練運用根與系數(shù)關(guān)系解決有關(guān)問題； 2.滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的認識事物的規(guī)律； 3.培養(yǎng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性及勇于探索的精神。 學(xué)習(xí)重點：根與系數(shù)的變式應(yīng)用 學(xué)習(xí)難點：根與系數(shù)延伸式的推導(dǎo) 一． 學(xué)前準備 1.應(yīng)用韋達定理的前提條件是______,內(nèi)容是______________________________ 2.不解方程，寫出兩方程的兩根之和與兩根之積。 3.一般地，以為根的一元二次方程為___________________________; 4.已知兩個數(shù)的和為-7，積為12，則以這兩個數(shù)為根的一元二次方程是____________. 二． 探究活動 若是一元二次方程的兩根，請大家推導(dǎo)出韋達定理以下的變式： 例：設(shè)方程的兩根分別為，不解方程求出下列各式的值。 練習(xí)：已知是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，且，求：（1）k的值；（2）的值。 三． 自我測試 1．關(guān)于的方程中，如果，那么根的情況是（ ） （A）有兩個相等的實數(shù)根 （B）有兩個不相等的實數(shù)根 （C）沒有實數(shù)根 （D）不能確定 2．設(shè)是方程的兩根，則的值是（ ） （A）15 （B）12 （C）6 （D）3 3．下列方程中，有兩個相等的實數(shù)根的是（ ） （A） 2y2+5=6y（B）x2+5=2x（C）x2－x+2=0（D）3x2－2x+1=0 4．以方程x2＋2x－3＝0的兩個根的和與積為兩根的一元二次方程是（ ） （A） y2+5y－6=0 （B）y2+5y＋6=0 （C）y2－5y＋6=0 （D）y2－5y－6=0 5．如果x1，x2是兩個不相等實數(shù)，且滿足x12－2x1＝1，x22－2x2＝1， 那么x1x2等于（ ） （A）2 （B）－2 （C）1 （D）－1 6.關(guān)于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情況是（ ） （A）有兩個相等的實數(shù)根 （B）有兩個不相等的實數(shù)根 （C）沒有實數(shù)根 （D）不能確定 7.設(shè)x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的兩根，則x12＋x22的值是（ ） （A）15 （B）12 （C）6 （D）3 8．如果一元二次方程x2＋4x＋k2＝0有兩個相等的實數(shù)根，那么k＝ 9．如果關(guān)于x的方程2x2－(4k+1)x＋2 k2－1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，那么k的取值范圍是 10．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的兩根，則x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，（x1－x2）2＝ 11．若關(guān)于x的方程(m2－2)x2－(m－2)x＋1＝0的兩個根互為倒數(shù)，則m＝ . 四．應(yīng)用與拓展 1．如果x2－2(m+1)x+m2+5是一個完全平方式，則m= ; 2．方程2x(mx－4)=x2－6沒有實數(shù)根，則最小的整數(shù)m= ; 3．已知方程2(x－1)(x－3m)=x(m－4)兩根的和與兩根的積相等，則m= ; 4．設(shè)關(guān)于x的方程x2－6x+k=0的兩根是m和n，且3m+2n=20，則k值為 ; 5．設(shè)方程4x2－7x+3=0的兩根為x1,x2，不解方程，求下列各式的值: (1) x12+x22 (2)x1－x2　?。?）?。?）x1x22＋x1 2.5一元二次方程的應(yīng)用（1） 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1. 使學(xué)生會用列一元二次方程的方法解決有關(guān)增長率問題． 2. 進一步培養(yǎng)學(xué)生化實際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。 學(xué)習(xí)重點：學(xué)會用列方程的方法解決有關(guān)增長率問題 學(xué)習(xí)難點：有關(guān)增長率之間的數(shù)量關(guān)系． 一． 學(xué)前準備 1．（1）原產(chǎn)量+增產(chǎn)量=實際產(chǎn)量． （2）單位時間增產(chǎn)量=原產(chǎn)量增長率． （3）實際產(chǎn)量=原產(chǎn)量（1+增長率）． 2．（1）某工廠一月份生產(chǎn)零件1000個，二月份生產(chǎn)零件1200個，那么二月份比一月份增產(chǎn)_______個？增長率是多少 。 （2）銀行的某種儲蓄的年利率為6%，小民存1000元，存滿一年連本帶利的錢數(shù)是 。 （3）某廠第一個月生產(chǎn)了彩電m臺,第二個月比第一個月產(chǎn)量增長的百分率為x,，則第二個月生產(chǎn)了________臺;第三個月比第二個月又增長了相同的百分率,則第三個月的產(chǎn)量為___________ 臺。 二．探究活動 例1、某鋼鐵廠去年1月某種鋼的產(chǎn)量為5000噸，3月上升到7200噸,這兩個月平均每個月增長的百分率是多少? 分析: 這兩個月平均每個月增長的百分率是x,則2月份比一月份增產(chǎn)________ 噸； 2月份的產(chǎn)量是 _______________噸 3月份比2月份增產(chǎn)________ 噸； 3月份的產(chǎn)量是 ____________ 噸 解： 歸納：兩次增長后的量=原來的量(1+增長率) 反之，若為兩次降低，則平均降低率公式為：兩次降低后的量=原來的量(1-增長率) 例2 某產(chǎn)品原來每件600元，由于連續(xù)兩次降價，現(xiàn)價為384元，如果兩個降價的百分數(shù)相同，求每次降價的百分數(shù)？ 分析：設(shè)每次降價的百分數(shù)為x． 第一次降價后，每件為600-600x=600（1-x）（元）． 第二次降價后，每件為600（1-x）-600（1-x）x=600（1-x）2（元）． 解： 例3 某人想把10000元錢存入銀行，存兩年。一年期定期年利率6%,兩年期定期年利率為6.2%.哪一種存款更劃算？ 例4 2009年我市實現(xiàn)國民生產(chǎn)總值為1600億元，計劃全市國民生產(chǎn)總值以后三年都以相同的增長率一實現(xiàn)，并且2011年全市國民生產(chǎn)總值要達到1960億元． （1）求全市國民生產(chǎn)總值的年平均增第率 （2）求2010年至2012年全市三年可實現(xiàn)國民生產(chǎn)總值多少億元？（精確到1億元） 小結(jié)： （1）為計算簡便、直接求得，可以直接設(shè)增長的百分率為x． （2）認真審題，弄清基數(shù)，增長了，增長到、總共 季度總和 等詞語的關(guān)系． （3）用直接開平方法做簡單，不要將括號打開． 三．自我測試 1.某商品兩次價格上調(diào)后，單位價格從4元變?yōu)?.84元,則平均每次調(diào)價的百分率是( )　 A、9% 　　　B、10％ 　　　C、11％ 　　　D、12％ 2.某商品連續(xù)兩次降價，每次都降20﹪后的價格為元，則原價是（ ） （A）元 （B）1.2元 （C）元 （D）0.82元 3.一工廠計劃2007年的成本比2005年的成本降低15%，如果每一年比上一年降低的百分率為x，那么求平均每一年比上一年降低的百分率的方程是( ) 　　A、(1-x)2=15% 　B、(1+x)2=1+15%　C、(1-x)2=1+15%　 D、(1-x)2=1-15% 4.某林場第一年造林200畝，第一年到第三年共造林728畝，若設(shè)每年增長率為x，則應(yīng)列出的方程是________________________。 5..某工廠第一季度生產(chǎn)機床400臺，如果每季度比上一季度增長的百分數(shù)相同，結(jié)果第二季度與第三季度共生產(chǎn)了1056臺機床，這個百分數(shù)是______ 6..某工廠計劃兩年內(nèi)把產(chǎn)量翻一番，如果每年比上一年提高的百分數(shù)相同，求這個百分數(shù)。 7.．某廠1月份生產(chǎn)零件2萬個，一季度共生產(chǎn)零件7.98萬個，若每月的增長率相同，求每月的增長率 四．應(yīng)用與拓展 某服裝店花2000元進了批服裝，按50%的利潤定價，無人購買。決定打折出售，但仍無人購買，結(jié)果又一次打折后才售完。經(jīng)結(jié)算，這批服裝共盈利430元。如果兩次打折相同，每次打了幾折？ 2.5一元二次方程的應(yīng)用（2） 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.使學(xué)生會用列一元二次方程的方法解有關(guān)面積、體積方面的應(yīng)用問題． 2.進一步培養(yǎng)學(xué)生化實際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題解決問題的能力，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的意識 學(xué)習(xí)重點：會用列一元二次方程的方法解有關(guān)面積、體積方面的應(yīng)用題． 學(xué)習(xí)難點：會用列一元二次方程的方法解有關(guān)面積、體積方面的應(yīng)用題． 一．學(xué)前準備：1. 列方程解應(yīng)用題的一般步驟是： （１）_______________________________ ；（２）_______________________________； （３）________________________________；（４）________________________________； （５）________________________________；（６）________________________________。 2．長方形的周長___________,面積_________長方體的體積公式______________ 二．探究活動 例1. 如圖，一塊長方形鐵皮的長是寬的2倍，四角各截去一個相等的小正方形，制成高是5cm， 容積是500 的長方體容器，求這塊鐵皮的長和寬． 例2.現(xiàn)有長方形紙片一張，長19cm，寬15cm，需要剪去邊長是多少的小正方 形才能做成底面積為77cm2的無蓋長方體型的紙盒？ 例3. 如圖所示，在一個長為５０米，寬為３０米的矩形空地上，建造一個花園，要求花園的面積占整塊面積的７５％，等寬且互相垂直的兩條路的面積占２５％，求路的寬度。 三．自我測試 1、有一張長方形的桌子，長6尺，寬3尺，有一塊臺布的面積是桌面面積的二倍， 并且鋪在桌面上時，各邊垂下的長度相同，求臺布的長和寬各是多少？ （只列不解） 2、一塊矩形耕地大小尺寸如圖所示，要在這塊地上沿東西和南北方向各挖4條和2條水渠，如果水渠的寬相等，且要保證余下的面積為9600m2,那么水渠應(yīng)挖多寬？ 3、有一張長40cm，寬25cm的長方形硬紙片，裁去角上四個小正方形之后，折成如圖那樣的無蓋紙盒，若紙盒的底面積是450，那么紙盒的高是多少？ 4、、有一張長為80cm，寬為60cm的薄鋼片，在4個角上截去相同的4個邊長為的小正方形，然后做成底面積為1500cm3　無蓋的長方體盒子。求截去小正方形的邊長。 四．應(yīng)用與拓展 要建一個面積為150m2的長方形養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一邊靠著原有的一面墻，如圖，墻長為am，另三邊用竹籬笆圍成，籬笆總長為35m． ①求養(yǎng)雞場的長與寬； ②當(dāng)a<15或15≤a<20或a≥20時，求養(yǎng)雞場的長與寬． （2）若（1）題變?yōu)椋喝鐖D（2），有一面積為150m2的長方形養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一邊靠墻，墻長18m，墻對面有一個寬為2m的門，另三邊（門除外）用33m的竹籬笆 圍成，求養(yǎng)雞場的長與寬． 2.5一元二次方程的應(yīng)用（3） 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、使學(xué)生會用列一元二次方程的方法解有關(guān)數(shù)字方面的應(yīng)用問題． 2、進一步培養(yǎng)學(xué)生化實際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題解決問題的能力，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的意識． 學(xué)習(xí)重點：使學(xué)生會用列一元二次方程的方法解有關(guān)數(shù)字方面的應(yīng)用問題 學(xué)習(xí)難點：設(shè)元的靈活性和解的討論 學(xué)前準備： １、列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟是： （１）__________________________；（２）__________________________； （３）__________________________；（４）__________________________； （５）__________________________；（６）__________________________。 2、列方程的關(guān)鍵是準確找出_______________關(guān)系。 二．探究活動 例１.已知兩個數(shù)的和等于12，積等于32，求這兩個數(shù) 例2. 兩個連續(xù)奇數(shù)的積是323, 求這兩個數(shù) 例3. 一個三位數(shù)，十位上的數(shù)字比它個位上的數(shù)字大３，百位上的數(shù)字等于個位上的數(shù)字的平方。已知這個三位數(shù)比它的個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的積的２５倍大２０２，求這個三位數(shù)。 思考：（１）一個三位數(shù)與它各個數(shù)位上的數(shù)字有何關(guān)系？也就是如何用各個數(shù)位上的數(shù)字表示三位數(shù)？ （２）由題意知，十位上的數(shù)字、百位上的數(shù)字都與個位上的數(shù)字有關(guān)，因此你可以設(shè)_____上的數(shù)字為______，那么______位上的數(shù)字為______，______位上的數(shù)字為________。這個三位數(shù)可表示為_________。 解： 例4、某旅行社的一則廣告如下：我社組團去龍灣風(fēng)景區(qū)旅游，收費標(biāo)準為：如果人數(shù)不超過30人，人均旅游費用為800元；如果人數(shù)多于30人且不超過40人，那么每增加1人，人均旅游費用降低10，但人均旅游費用不得低于500元。甲公司分批組織員工到龍灣風(fēng)景區(qū)旅游，現(xiàn)計劃用28000元組織第一批員工去旅游，問這次旅游可以安排多少人參加？ 分析：首先應(yīng)得到總費用是28000，即有等量關(guān)系“人均費用人數(shù)=28000”，若人數(shù)不超過30人，則總費用不超過30800=24000＜28000，所以人數(shù)應(yīng)超過30人，因此又得等量關(guān)系“800元－（參加人數(shù)－30人）10元=實際人均費用”，由此可以列出方程”[800－10(x－30)]x = 28000”， 解： 三．自我測試 １、兩個數(shù)的和為１６，積為４８。求這兩個數(shù)。 ２、有一個兩位數(shù)，等于它的兩個數(shù)字的積的3倍，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字小2,求這個兩位數(shù)。 3、三個連續(xù)偶數(shù)，前兩個數(shù)的積是第三個的3倍，求這三個數(shù)。 四．應(yīng)用與拓展 合肥白馬旅行社為吸引市民組團去黃山風(fēng)景區(qū)旅游，推出了如下收費標(biāo)準： 如果人數(shù)超過25人，每增加1人，人均旅游費用降低20元，但人均旅游費用不得低于700元 如果人數(shù)不超過25人，人均旅游費用為1000元 某單位組織員工去黃山風(fēng)景區(qū)旅游，共支付給白馬旅行社旅游費用27000元，請問該單位這次共有多少員工去白馬風(fēng)景區(qū)旅游？ 2.5一元二次方程的應(yīng)用（4） 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握利用一元二次方程來解決生活中的經(jīng)濟問題； 2.進一步提高邏輯思維能力和分析問題，解決問題的能力； 3．培養(yǎng)學(xué)生主動探索事物之間內(nèi)在聯(lián)系的學(xué)習(xí)習(xí)慣。 學(xué)習(xí)重點：由應(yīng)用問題的條件列方程的方法 學(xué)習(xí)難點：設(shè)“元”的靈活性和解的討論 一．知識回顧： 1.李明同學(xué)在演算某數(shù)的平方時，將這個數(shù)的平方誤寫成它的2倍，使答案減少了35，則這個數(shù)為（ ） A. -7 B. -5或7 C. 5或7 D. 7 2.一款手機連續(xù)兩次降價，由原來的1299元降到688元，設(shè)平均每次降價的百分率為x,則列方程為（ ） A. B. C. D. 3.某中學(xué)準備建一個面積為375 的矩形游泳池且游泳池的寬比長短10m，設(shè)游泳池的長為x m，則可列方程為（ ） A. x(x-10)=375 B. x(x+10)=375 C. 2x(2x-10)=375 D. 2x(2x+10)=375 4.生物興趣小組的學(xué)生，將自己收集的標(biāo)本向本組其他成員各互贈一本，全組共互贈了182本，如果全組有x名同學(xué)，則根據(jù)題意列出的方程是（ ） A. x(x+1)=182 B. x(x-1)=182 C. 2x(x+1)=182 D. x(x-1)=1822 二．探究活動 例1：某襯衣店將進價為30元的一種襯衣以40元售出，平均每月能售出600件，調(diào)查表明：這種襯衣售價每上漲1元，其銷售量將減少10件，為了實現(xiàn)平均每月12000元的銷售利潤，這種襯衣的售價應(yīng)定為多少？這時進這種襯衣多少件？ 例2：某西瓜經(jīng)營戶以2元／千克的價格購進一批小型西瓜，以3元／千克的價格出售，每天可售出200kg，為了促銷，該經(jīng)營戶決定降價銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種小型西瓜每降價0.1元／千克，每天可多售出40kg，另外，每天的房租等固定成本共24元，該經(jīng)營戶要想每天盈利200元，應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低多少元？ 例3: 2011年春節(jié)前，某經(jīng)銷商按市場價每千克30元收購了活螃蟹1000千克，據(jù)測算，此后每千克活螃蟹的市場價每天可上升1元，但是，放養(yǎng)一天需各種費用400元，且平均每天還有10千克螃蟹死去，假定死蟹均于當(dāng)天全部售出，售價都是每千克20元，如果該經(jīng)銷商將這批蟹出售后能獲利6250元，那么他應(yīng)放養(yǎng)多少天后才出售？ 例4：某百貨商店服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)：“米琪”牌童裝平均每天可銷售出20件，每件盈利40元，為了迎接“六一”國際兒童節(jié)，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，擴大銷售量，增加盈利，減少庫存，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝每降價2元，那么平均每天可多售出4件，要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應(yīng)降價多少元？ 三．自我測試 1.紅旗商場購進一種單價為40元的籃球，如果以單價50元售出，那么每月可售出500個，根據(jù)銷售的經(jīng)驗，售價每提高1元，銷售量相應(yīng)地減少10個。 （1）假設(shè)銷售單價提高x元，那么銷售每個籃球所獲得的利潤是____遠；這種籃球每月的銷售量是_______個。（用含x的代數(shù)式表示） （2）8000元是否為每月銷售這種籃球的最大利潤？如果是，說明理由；如果不是，求出最大利潤，以及此時籃球的售價。 2.某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克?，F(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？ 四．應(yīng)用與拓展 讀詩詞解題（通過列方程，算出周瑜去世時的年齡） 大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流人物。而立之年督東吳，早逝英才兩位數(shù)。 十位恰小個位三，個位平方與壽符。哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜。 周瑜去世時______歲。 2.5一元二次方程的應(yīng)用（5） 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握分式方程的計算方法； 2.進一步掌握列一元二次方程解應(yīng)用題的方法和技能； 學(xué)習(xí)重點：分式方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程 學(xué)習(xí)難點：用換元法解分式方程 一． 學(xué)前準備 1. 分式方程的定義：_________________________________________________; 2. 解分式方程的思想是______________,步驟有__________________________ 3. 解下列分式方程 二． 探究活動 （一） 師生互動合作交流 1. 某校組織學(xué)生春游，預(yù)計共需費用120元，后來又有2人參加進來，費用不變，這樣每人可少分攤3元。問原來這組學(xué)生的人數(shù)是多少？ 分析：設(shè)原來這組學(xué)生的人數(shù)是x人，則把題中信息整理成下表： 總費用／元 人數(shù)／人 每人費用／元 原 來 120 x 現(xiàn) 在 120 本題的等量關(guān)系是：原來這組學(xué)生每人分攤的費用-加人后該組學(xué)生每人分攤的費用=3元，由此可得方程。 2. 印刷一張矩形的張貼廣告，如圖。它的印刷面積是32，上下空白各1dm，兩邊空白各0.5dm。當(dāng)要求四周空白處的面積是18時，求用來印刷這張廣告的紙張的長和寬。 思路分析：根據(jù)圖形知： 廣告紙的面積=印刷面積+四周空白處的面積=____+____=____ 廣告紙的長=印刷部分的長+____dm 廣告紙的寬=印刷部分的寬+_____dm 由印刷部分和廣告紙都是矩形，且面積已知。因而，可確定它們的長和寬的關(guān)系，再借助圖形的面積關(guān)系就可列出方程。 （二） 步步高升解決問題 請同學(xué)們思考一下下面的這個分式方程我們該如何去解決呢？ 思路分析：本方程在求解時如直接去分母，就會得到一個次數(shù)高于二次的整式方程，不易求解。這時，可考慮如下面所采用的換元的方法求解：用一個未知數(shù)y替換方程中某個含原未知數(shù)x的式子，然后