考點十八排列與組合 一、選擇題1“對稱數(shù)”是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如121,666,54345等，則在所有的六位數(shù)中，不同的“對稱數(shù)”的個數(shù)是()A100B900C999D1000答案B解析根據(jù)題意，對6位對稱數(shù)，由于個位和十萬位相同，十位和萬位相同，百位和千位相同，個位有9種，十位和百位均有10種，故根據(jù)分步計數(shù)原理可得共有9×10×10900個2將2名教師、4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有()A12種B10種C9種D8種答案A解析先為甲地選一名老師，有2種選法，再為甲地選兩個學生，有C6種選法，甲地定了之后，乙地的教師和學生也定了，根據(jù)分步計數(shù)原理，有2×612種方案3(2019·甘肅第一次診斷考試)數(shù)術記遺是算經(jīng)十書中的一部，相傳是漢末徐岳(約公元2世紀)所著，該書主要記述了：積算(即籌算)、太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運籌、了知、成數(shù)、把頭、龜算、珠算、計數(shù)共14種計算器械的使用方法某研究性學習小組3人分工搜集整理14種計算器械的相關資料，其中一人4種、另兩人每人5種計算器械，則不同的分配方法有()A種B種C種DCCC種答案A解析先將14種計算器械分為三組，方法數(shù)有種，再排給3個人，有A種排法，所以不同的分配方法數(shù)有×A種，故選A.4(2019·湖南師大附中模擬三)本次模擬考試結束后，班級要排一張語文、數(shù)學、英語、物理、化學、生物六科試卷講評順序表，若化學排在生物前面，數(shù)學與物理不相鄰且都不排在最后，則不同的排表方法共有()A72種B144種C288種D360種答案B解析第一步排語文、英語、化學、生物4種，且化學排在生物前面，有A12種排法；第二步將數(shù)學和物理插入前4科除最后位置外的4個空檔中的2個，有A12種排法，所以不同的排表方法共有12×12144種，故選B.5(2019·山東日照第一次模擬考試)甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法總數(shù)是()A210B84C343D336答案D解析由題意分組解決，因為對于7個臺階上每一個只站一人有A種；若有一個臺階站2人，另一個站1人共有CA種，所以共有不同的站法種數(shù)是ACA336種，故選D.6將編號1,2,3,4的小球放入編號為1,2,3的盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒子的編號不能相同，則不同的放球方法有()A6種B9種C12種D18種答案C解析由題意可知，這四個小球有兩個小球放在一個盒子中，先確定哪兩個球在同一盒子中，有C6種方法，再確定放球方法，都是2種方法，由分步乘法計數(shù)原理得不同的放球方法有2×612種7(2019·江西名校5月聯(lián)考)2019年4月2527日，北京召開第二屆“一帶一路”國際高峰論壇，組委會要從6個國內(nèi)媒體團和3個國外媒體團中選出3個媒體團進行提問，要求這三個媒體團中既有國內(nèi)媒體團又有國外媒體團，且國內(nèi)媒體團不能連續(xù)提問，則不同的提問方式的種數(shù)為()A198B268C306D378答案A解析分兩種情況，若選兩個國內(nèi)媒體一個國外媒體，有CCA90種不同提問方式；若選兩個外國媒體一個國內(nèi)媒體，有CCA108種不同提問方式，所以共有90108198種提問方式8. 現(xiàn)有4種不同顏色對如圖所示的四個部分進行涂色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的涂色方法共有()A24種B30種C36種D48種答案D解析分兩種情況：一種情況是用三種顏色有CA種方法；另一種情況是用四種顏色有A種方法所以不同的著色方法共有48種二、填空題9某學生要從物理、化學、生物、政治、歷史、地理這六門學科中選三門參加等級考試，要求是物理、化學、生物這三門至少要選一門，政治、歷史、地理這三門也至少要選一門，則該生的可能選法總數(shù)是_答案18解析分兩種情況：從物、化、生中選兩門，剩下的里面選一門，有CC9種；從物、化、生中選一門，剩下的里面選兩門，有CC9種共有9918種選法10甲、乙、丙、丁四人站成一排，則甲乙相鄰，甲丙不相鄰有_種排法答案8解析分兩類討論：甲站在邊上時，乙的位置就確定了，其余兩人全排，故有AA4種甲乙丁三人捆綁一起(甲在中間)看作一個元素，與丙全排列，有AA4種由分類加法計數(shù)原理知有8種排法11對坐在一排的4人重新安排座位時，恰有一個人坐在原來的位置上，則共有_種不同的排法答案8解析第一步，先從4個人里選3個進行調(diào)換；第二步，因為每個人都不能坐在原來的座位上，因此第一個人有兩種坐法，被坐了自己座位的那個人只能坐在第三個人的座位上(一種坐法)，才能保證第三個人也不坐在自己的座位上因此三個人調(diào)換有兩種調(diào)換方法故不同的調(diào)換方法有C×28種12(2019·湖北1月聯(lián)考)某共享汽車停放點的停車位排成一排且恰好全部空閑，假設最先來停車點停車的3輛共享汽車都是隨機停放的，且這3輛共享汽車都不相鄰的概率與這3輛共享汽車恰有2輛相鄰的概率相等，則該停車點的車位數(shù)為_答案10解析設停車位有n個，這3輛共享汽車都不相鄰的種數(shù)相當于先將(n3)個停車位排放好，再將這3輛共享汽車插入到所成(n2)個間隔中，故有A種；恰有2輛相鄰的種數(shù)：先把其中2輛捆綁在一起看作一個復合元素，再和另一個插入到將(n3)個停車位排放好所成(n2)個間隔中，故有A×A種，因為這3輛共享汽車都不相鄰的概率與這3輛共享汽車恰有2輛相鄰的概率相等，所以AA×A，解得n10.三、解答題13將7名應屆師范大學畢業(yè)生分配到3所中學任教(1)4個人分到甲學校，2個人分到乙學校，1個人分到丙學校，有多少種不同的分配方案？(2)一所學校去4個人，另一所學校去2個人，剩下的一所學校去1個人，有多少種不同的分配方案？解(1)根據(jù)題意，分3步進行分析：在7人中選出4人，將其分到甲學校，有C35種選法；在剩余3人中選出2人，將其分到乙學校，有C3種選法；將剩下的1人分到丙學校，有1種情況，則一共有35×3105種分配方案(2)根據(jù)題意，分2步進行分析：將7人分成3組，人數(shù)依次為4,2,1，有C×C×C105種分組方法；將分好的三組全排列，對應3個學校，有A6種情況，則一共有105×6630種分配方案一、選擇題1某彩票公司每天開獎一次，從1,2,3,4四個號碼中隨機開出一個作為中獎號碼，開獎時如果開出的號碼與前一天的相同，就要重開，直到開出與前一天不同的號碼為止如果第一天開出的號碼是4，那么第五天開出的號碼也同樣是4的所有可能的情況有()A14種B21種C24種D35種答案B解析第一天開出4，第五天同樣開出4，則第二天開出的號碼有3種情況，如果第三天開出的號碼是4，則第四天開出的號碼有3種情況；如果第三天開出的號碼不是4，則第四天開出的號碼有2種情況，所以滿足條件的情況有3×1×33×2×221種2把7個字符a，a，a，b，b，排成一排，要求三個“a”兩兩不相鄰，且兩個“b”也不相鄰，則這樣的排法共有()A144種B96種C30種D12種答案B解析先排列b，b，若，不相鄰，有AC種，若，相鄰，有A種，共有6612種，從所形成的5個空位中選3個插入a，a，a，有C種，所以三個“a”兩兩不相鄰的排法共有12×C120種，若b，b相鄰時，從所形成的4個空中選3個插入a，a，a，有C種，共有A×C24種，所以三個“a”兩兩不相鄰，且兩個“b”也不相鄰，這樣的排法共有1202496種3(2019·廣西桂林一模)中國古代的五經(jīng)是指：詩經(jīng)尚書禮記周易春秋，甲、乙、丙、丁、戊5名同學分別選取了其中一本不同的書作為課外興趣研讀，若甲、乙都沒有選詩經(jīng)，乙也沒選春秋，則5名同學所有可能的選擇有()A18種B24種C36種D54種答案D解析若甲選春秋，則有CA18種情況；若甲不選春秋，則有AA36種情況所以5名同學所有可能的選擇有183654種情況，故選D.4(2019·遼寧丹東質(zhì)量測試二)從4男2女共6名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務隊，要求服務隊中至少有1名女生，不同選法共有()A156種B168種C180種D240種答案B解析從4男2女共6名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務隊有CCC6×5×180種選法，服務隊中沒有女生的選法有CCC4×3×112種，所以要求服務隊中至少有1名女生，不同選法共有18012168種，故選B.5(2019·黑龍江哈爾濱六中第二次模擬)2020年東京夏季奧運會將設置4×100米男女混合泳接力這一新的比賽項目，比賽的規(guī)則是：每個參賽國家派出2男2女共計4名運動員參加比賽，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力順序，每種泳姿100米且由1名運動員完成，且每名運動員都要出場，若中國隊確定了備戰(zhàn)該項目的4名運動員名單，其中女運動員甲只能承擔仰泳或者自由泳，男運動員乙只能承擔蝶泳或者自由泳，剩下的2名運動員四種泳姿都可以承擔，則中國隊的排兵布陣的方式共有()A144種B24種C12種D6種答案D解析由題意，若甲承擔仰泳，則乙運動員有A2種安排方法，其他兩名運動員有A2種安排方法，共計2×24種方法，若甲承擔自由泳，則乙運動員只能安排蝶泳，其他兩名運動員有A2種安排方法，共計2種方法，所以中國隊共有426種不同的安排方法，故選D.6小明跟父母、爺爺奶奶一同參加中國詩詞大會的現(xiàn)場錄制，5人坐成一排若小明的父母至少有一人與他相鄰，則不同坐法的種數(shù)為()A60B72C84D96答案C解析根據(jù)題意，分3種情況討論：若小明的父母只有1人與小明相鄰且父母不相鄰，先在其父母中選一人與小明相鄰，有C2種情況，將小明與選出的家長看成一個整體，考慮其順序有A2種情況，當父母不相鄰時，需要將爺爺奶奶進行全排列，將整體與另一個家長安排在空位中，有A×A12種安排方法，此時有2×2×1248種不同坐法；若小明的父母只有1人與小明相鄰且父母相鄰，將父母及小明看成一個整體，小明在一端，有2種情況，考慮父母之間的順序，有2種情況，則這個整體內(nèi)部有2×24種情況，將這個整體與爺爺奶奶進行全排列，有A6種情況，此時有2×2×624種不同坐法；小明的父母都與小明相鄰，即小明在中間，父母在兩邊，將3人看成一個整體，考慮父母的順序，有A2種情況，將這個整體與爺爺奶奶進行全排列，有A6種情況，此時，共有2×612種不同坐法；則一共有48241284種不同坐法7中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”，“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數(shù)”，數(shù)學某校國學社團開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在前三節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，則“六藝”課程講座不同排課順序共有()A120種B156種C188種D240種答案A解析當“數(shù)”排在第一節(jié)時有AA48種排法，當“數(shù)”排在第二節(jié)時有AAA36種排法，當“數(shù)”排在第三節(jié)時，當“射”和“御”兩門課程排在第一、二節(jié)時有AA12種排法，當“射”和“御”兩門課程排在后三節(jié)時有AAA24種排法，所以滿足條件的共有48361224120種排法8如圖所示的陰影部分由3個小方格組成，我們稱這樣的圖形為L形(每次旋轉90°仍為L形圖案)，那么由4×5個小方格組成的方格紙上可以畫出不同位置的L形圖案的個數(shù)是()A16B32C48D64答案C解析每個2×2的正方形有4個這樣的L形圖案，4×5個小方格組成的方格紙上有3×412個不同的2×2的正方形(以正方形中心計數(shù)即可)，所以一共有48個不同位置的L形圖案故選C.二、填空題9根據(jù)黨中央關于“精準”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟部門決定派出五位相關專家對三個貧困地區(qū)進行調(diào)研，每個地區(qū)至少派遣一位專家，其中甲、乙兩位專家需要派遣至同一地區(qū)，則不同的派遣方案種數(shù)為_(用數(shù)字作答)答案36解析由題意可知，可分為兩類：一類：甲乙在一個地區(qū)時，剩余的三人分為兩組，再把三組派遣到三個地區(qū)，共有CA18種不同的派遣方案；另一類：甲乙和剩余的三人中的一個人同在一個地區(qū)，另外兩人分別在兩個地區(qū)，共有CA18種不同的派遣方案；由分類計算原理可得，共有181836種不同的派遣方案10(2019·河北衡水四月大聯(lián)考)現(xiàn)有一圓桌，周邊有標號為1,2,3,4的四個座位，甲、乙、丙、丁四位同學坐在一起探討一個數(shù)學課題，每人只能坐一個座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有_種(用數(shù)字作答)答案8解析先安排甲，其選座方法有C種，由于甲、乙不能相鄰，所以乙只能坐甲對面，而丙、丁兩位同學坐另兩個位置的坐法有A種，所以選座方法共有CA4×28種11(2019·浙江溫州2月適應性測試)已知某超市為顧客提供四種結賬方式：現(xiàn)金、支付寶、微信、銀聯(lián)卡，若顧客甲只帶了現(xiàn)金，顧客乙只用支付寶或微信付款，顧客丙、丁用哪種方式結賬都可以，這四名顧客購物后，恰好用了其中的三種結賬方式，那么他們結賬方式的可能情況有_種答案20解析當乙選擇支付寶時，丙、丁可以都選銀聯(lián)卡，或者其中一人選擇銀聯(lián)卡，另一人只能選支付寶或現(xiàn)金，故有1CC5，而乙選擇支付寶時，丙、丁也可以都選微信，或者其中一人選擇微信，另一人只能選支付寶或現(xiàn)金，故有1CC5，此時共有5510種，當乙選擇微信時，丙、丁可以都選銀聯(lián)卡，或者其中一人選擇銀聯(lián)卡，另一人只能選微信或現(xiàn)金，故有1CC5，而乙選擇微信時，丙、丁也可以都選支付寶，或者其中一人選擇支付寶，另一人只能選微信或現(xiàn)金，故有1CC5，此時共有5510種，綜上共有101020種12學校將從4名男生和4名女生中選出4人分別擔任辯論賽中的一、二、三、四辯手，其中男生甲不適合擔任一辯手，女生乙不適合擔任四辯手現(xiàn)要求：如果男生甲入選，則女生乙必須入選那么不同的組隊形式有_種答案930解析若甲、乙都入選，則從其余6人中選出2人，有C15種，男生甲不適合擔任一辯手，女生乙不適合擔任四辯手，則有A2AA14種，故共有15×14210種；若甲不入選，乙入選，則從其余6人中選出3人，有C20種，女生乙不適合擔任四辯手，則有CA18種，故共有20×18360種；若甲、乙都不入選，則從其余6人中選出4人，有C15種，再全排，有A24種，故共有15×24360種，綜上所述，共有210360360930種三、解答題13(1)用紅、黃、藍、白四種不同顏色的鮮花布置如圖1所示的花圃，要求同一區(qū)域上用同一種顏色鮮花，相鄰區(qū)域用不同顏色鮮花，問共有多少種不同的擺放方案？(2)用紅、黃、藍、白、橙五種不同顏色的鮮花布置如圖2所示的花圃，要求同一區(qū)域上用同一種顏色鮮花，相鄰區(qū)域使用不同顏色鮮花求恰有兩個區(qū)域用紅色鮮花的概率；記花圃中紅色鮮花區(qū)域的塊數(shù)為，求它的分布列及其數(shù)學期望E()解(1)根據(jù)分步計數(shù)原理，擺放鮮花的不同方案有：4×3×2×248種(2)設M表示事件“恰有兩個區(qū)域用紅色鮮花”，A，B，C，D，E分別表示花圃的五個不同區(qū)域，如圖所示，當區(qū)域A，D同色時，共有5×4×3×1×3180種；當區(qū)域A，D不同色時，共有5×4×3×2×2240種；因此，所有基本事件總數(shù)為180240420種，由于只有A和D或B和E可能同色，故可按選用3色、4色、5色分類計算，求出基本事件總數(shù)為A2AA420種，它們是等可能的，又因為A，D為紅色時，共有4×3×336種；B，E為紅色時，共有4×3×336種；因此，事件M包含的基本事件有363672種，所以P(M).隨機變量的分布列為：012P所以，E()0×1×2×1.