第1章 光在各向同性介質(zhì)中的傳播 本章內(nèi)容 1 1光波的特性1 2光波在介質(zhì)界面上的反射和折射1 3光波在金屬表面上的反射和折射 1 1光波的特性1 2光波在介質(zhì)界面上的反射和折射 主要內(nèi)容1 1 1光電磁波及Maxwell方程組1 1 2幾種特殊形式的光波1 1 3光波場的時域頻率譜1 1 4相速度和群速度1 1 5光波的橫波性 偏振態(tài) 1 1光波的特性 1 電磁波譜 1 1 1光電磁波及Maxwell電磁方程 rays Cosmicrays Long waves X rays Radiowaves Microwave 2 Maxwell方程 1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 1光電磁波及Maxwell電磁方程 說明 物質(zhì)的不同決定了物質(zhì)特性的不同 3 物質(zhì)方程 各向異性介質(zhì) 1 1 1光電磁波及Maxwell電磁方程 各向同性介質(zhì) 4 波動方程 1 1 1光電磁波及Maxwell電磁方程 無源空間 0 對 1 1 10 式兩邊取旋度 并將 1 1 11 式代入 可得 對于各向同性均勻介質(zhì)并考慮到 1 1 8 式 可得 1 1 1光電磁波及Maxwell電磁方程 利用矢量微分恒等式 1 1 12a 1 1 12b 同理得 令 1 1 13 1 1 1光電磁波及Maxwell電磁方程 1 1 16 波動方程 真空中的光速 介質(zhì)折射率 一般介質(zhì) r或n是頻率 波長 的函數(shù) 其取決于介質(zhì)結(jié)構(gòu) 5 光電磁場的能流密度 1 1 1光電磁波及Maxwell電磁方程 能流密度矢量 坡印廷矢量定義為 沿z方向傳播的平面光波的光場可表為 則平面光波的能流密度表示為 由 1 10 式 平面光波場有 1 1 1光電磁波及Maxwell電磁方程 1 1 18 該式表明 平面光波的能量沿z方向以波動形式傳播 實際應(yīng)用中 通常用能流密度的時間平均值 S 表征光電磁場能量傳播的平均效果 并稱其為光強 以I表示 如果光電探測器的響應(yīng)時間為T 則 式中 是比例系數(shù) 即在同一種介質(zhì)中 1 1 1光電磁波及Maxwell電磁方程 將 1 18 式代入 進行積分可得 1 1 19 某些應(yīng)用場合 由于只考慮某一種介質(zhì)中的光強 只關(guān)心光強的相對值 因而往往省略比例系數(shù) 把光強寫成 如果考慮的是不同介質(zhì)中的光強 則比例系數(shù)不能省略 1 1光波的特性 主要內(nèi)容1 1 1光電磁波及Maxwell方程組1 1 2幾種特殊形式的光波1 1 3光波場的時域頻率譜1 1 4相速度和群速度1 1 5光波的橫波性 偏振態(tài) 1 1 2幾種特殊形式的光波 說明 只討論電場矢量 對于不同的邊界條件 或者邊值條件 其解的具體形式不同 1 1 2幾種特殊形式的光波 1 平面光波 1 波動方程的平面光波解 直角坐標(biāo)系 假設(shè)f不含x y變量 則波動方程可表示為 1 1 21 改寫為 1 1 2幾種特殊形式的光波 令 可以證明 因此 求解得 1 1 22 1 z vt 表示沿z方向以速度v傳播的波 右行波 1 1 2幾種特殊形式的光波 圖1 2平面波示意圖 2 z vt 表示沿 z方向以速度v傳播的波 左行波 1 1 2幾種特殊形式的光波 若平面波沿 z方向傳播 其電場表示式為 1 1 23 2 單色平面光波 三角函數(shù)表示 1 1 2幾種特殊形式的光波 1 1 24 復(fù)數(shù)表示 復(fù)振幅 考慮到初相位 2 單色平面光波 則 又 1 1 2幾種特殊形式的光波 三角函數(shù)表示 1 1 28 相應(yīng)復(fù)振幅 若單色平面光波沿任一波矢方向傳播 則 1 1 29 復(fù)數(shù)表示 1 1 30 為與z軸的夾角 假定平面光波的波矢量平行于xOz平面 則在z 0平面上其復(fù)振幅可表為 則與之相應(yīng)的相位共軛光波的復(fù)振幅可表為 該式表明 此相位共軛光波是與波來自同一側(cè)的平面光波 其波矢量也平行于xOz平面 并且與z軸夾角為 對照 1 30 式 可將 1 28 式的復(fù)數(shù)共軛寫成下列形式 說明 凡是描述真實物理量的參量都必須是實數(shù) 采用復(fù)數(shù)形式來描述 只是為了數(shù)學(xué)運算上的方便 對復(fù)數(shù)形式的量進行運算 只有取實部后才有物理意義 并且才能得到與三角函數(shù)運算相同的結(jié)果 由于對e i t kz 和ei t kz 取實部可得到相同結(jié)果 因此對于平面簡諧光波而言 采用e i t kz 和ei t kz 兩種形式完全等效 1 1 2幾種特殊形式的光波 1 1 2幾種特殊形式的光波 2 球面光波 采用標(biāo)量波理論 且令f f r t 波動方程的形式為 球坐標(biāo)系下 一個各向同性的點光源 向外發(fā)射球面光波 等相位面是以點光源為中心 隨距離的增大而逐漸擴展的同心球面 1 1 2幾種特殊形式的光波 1 1 19 解 單色球面光波 可以看出 球面光波的振幅與球面的曲率半徑r成反比 f1 r vt 從原點沿r向外發(fā)散的球面光波 f2 r vt 向原點 點光源 傳播的會聚球面光波 單色球面光波的波函數(shù) 復(fù)數(shù)形式為 1 1 2幾種特殊形式的光波 3 柱面光波 圓柱坐標(biāo)系中波動方程 1 1 19 一個各向同性的無線長線光源 向外發(fā)射柱面光波 等相位面是以線光源為中心軸 隨距離的增大而逐漸展開的同軸圓柱面 單色柱面光波 1 1 2幾種特殊形式的光波 4 高斯光束 研究表明 從穩(wěn)定球面腔和共焦腔中所發(fā)出的激光束是高斯激光束 這種高斯激光束最顯著的特征就在于 它的外輪廓是圓形雙曲面 即旋轉(zhuǎn)雙曲面 或者橢圓形雙曲面 等相面曲率半徑在正無限大和負(fù)無限大之間連續(xù)變化 曲率中心在正無限大和負(fù)無限大之間連續(xù)變化 在垂直光傳播軸線的平面內(nèi)光場振幅分布遵循高斯分布 概念 特點 圓柱坐標(biāo)系下 波動方程的形式 基模圓高斯光束的標(biāo)量波解 光斑半徑 中心振幅值下降到1 e的點所對應(yīng)的光斑寬度 1 1 2幾種特殊形式的光波 光斑半徑隨z的變化按雙曲線規(guī)律擴展 高斯分布與光斑半徑 基模圓高斯光束在其傳播軸線附近 可以看作是一種非均勻的球面波 其等相位面是曲率中心不斷變化的球面 振幅和強度在橫截面內(nèi)保持高斯分布 1 1 2幾種特殊形式的光波 光束的分類 1 1 2幾種特殊形式的光波 均勻平面光波均勻球面光波均勻柱面光波 高斯光束高次曲面光波 波動方程的特解1 同心光束解 波動方程的特解2 非同心光束解 1 1光波的特性 主要內(nèi)容1 1 1光電磁波及Maxwell方程組1 1 2幾種特殊形式的光波1 1 3光波場的時域頻率譜1 1 4相速度和群速度1 1 5光波的橫波性 偏振態(tài) 1 單色光波與復(fù)色光波 頻率為 的單色平面光波可表為 1 1 3光波場的時域頻率譜 復(fù)色光波可表為不同頻率單色光波的疊加 1 1 51 exp i2 t 傅氏空間 或頻率域 中頻率為 的基元 取實部得cos 2 t 因此可將exp i2 t 視為頻率為 的單位振幅簡諧振蕩 E 隨 的變化稱為E t 的頻譜分布 或簡稱頻譜 1 1 3光波場的時域頻率譜 只考慮光波場在時間域內(nèi)的變化 表示為E t 2 頻率譜 傅里葉變換 1 1 52 因此可理解為 一個隨時間變化的光波場振動E t 可以視為許多單頻成分簡諧振蕩的疊加 各成分的振幅為E 1 1 3光波場的時域頻率譜 一般情況下 由上式計算出來的E 為復(fù)數(shù) 它就是 頻率分量的復(fù)振幅 可表示為 式中 E 為模 為輻角 因而 E 2就表征了 頻率分量的功率 稱 E 2為光波場的功率譜 可見 一個時域光波場E t 可以在頻率域內(nèi)通過它的頻譜進行描述 無限長時間的等幅振蕩 理想單色光波 1 1 3光波場的時域頻率譜 即 等幅振蕩光場對應(yīng)的頻譜只含有一個頻率成分 0 我們稱其為理想單色振動 其功率譜為 E 2 2 持續(xù)有限時間的等幅振蕩 無吸收損耗作用的有限長波列 串 設(shè)振幅為1 或 相應(yīng)的功率譜 1 1 3光波場的時域頻率譜 其頻譜的主要部分集中在從 1到 2的頻率范圍之內(nèi) 主峰中心位于 0處 0稱為振蕩的表觀頻率或中心頻率 1 1 3光波場的時域頻率譜 為表征頻譜分布特性 定義最靠近 0的兩個強度為零的點所對應(yīng)的頻率 2和 1之差的一半為這個有限正弦波的頻譜寬度 即 2 1 2 1 1 3光波場的時域頻率譜 可見 振蕩持續(xù)的時間越長 頻譜寬度愈窄 當(dāng) 0時 E 0 2 2當(dāng) 0 1 T時 E 0 所以 3 衰減振蕩 有吸收損耗作用的半無限長衰減波列 1 1 3光波場的時域頻率譜 表達(dá)式 頻譜 功率譜 可見 該衰減振蕩也可看作無限多個振幅不同 頻率連續(xù)變化的簡諧振蕩的疊加 0為中心頻率 把最大強度一半所對應(yīng)的兩頻率 2和 1之差 定義為這個衰減振蕩的頻譜寬度 1 1 3光波場的時域頻率譜 由于 1 2時 E 2 2 E 0 2 2 即 1 1 3光波場的時域頻率譜 化簡得 所以 注意 在上面的有限正弦振蕩和衰減振蕩中 盡管表達(dá)式中含有exp i2 0t 的因子 但E t 已不再是單頻振蕩 換言之 我們只能說這種振蕩的表觀頻率為 0 而不能簡單地說振蕩頻率為 0 只有以某一頻率作無限長時間的等幅正弦振蕩 才可以說是嚴(yán)格的單色光 1 1 3光波場的時域頻率譜 理想的單色光是不存在的 實際上能夠得到的只是接近于單色光的準(zhǔn)單色光 例如 3 準(zhǔn)單色光 1 持續(xù)有限時間的等幅振蕩 如果其振蕩持續(xù)時間很長 以致于1 T 0 則E 的主值區(qū)間 0 1 T 0 1 T 很窄 可認(rèn)為接近于單色光 2 對于衰減振蕩 若 很小 相當(dāng)于振蕩持續(xù)時間很長 則頻譜寬度很窄 也接近于單色光 1 1 3光波場的時域頻率譜 對于一個實際表觀頻率為 0的振蕩 若其振幅隨時間的變化比振蕩本身緩慢得多 則這種振蕩的頻譜就集中于 0附近的一個很窄的頻段內(nèi) 可認(rèn)為是中心頻率為 0的準(zhǔn)單色光 1 1 3光波場的時域頻率譜 場表達(dá)式 振動曲線在t t0時 振幅最大 且為A 當(dāng) t t0 t 2時 振幅降為A e 參數(shù) t表征著振蕩持續(xù)的有效時間 例如 在空間某點以表觀頻率 0振動 振幅為高斯函數(shù)的準(zhǔn)單色光波 1 1 3光波場的時域頻率譜 場表達(dá)式 頻譜 變量代換 并將被積函數(shù)分為實部和虛部分別積分 得 1 1 3光波場的時域頻率譜 相應(yīng)的功率譜 該頻譜寬度 表征了高斯型準(zhǔn)單色光波的單色性程度 根據(jù)上述定義 有 E 2 2 E 0 2 e 計算可得 因此 1 1 3光波場的時域頻率譜 1 1光波的特性 主要內(nèi)容1 1 1光電磁波及Maxwell方程組1 1 2幾種特殊形式的光波1 1 3光波場的時域頻率譜1 1 4相速度和群速度1 1 5光波的橫波性 偏振態(tài) 主要內(nèi)容1 1 1光電磁波及Maxwell方程組1 1 2幾種特殊形式的光波1 1 3光波場的時域頻率譜1 1 4相速度和群速度1 1 5光波的橫波性 偏振態(tài) 相應(yīng)于的空間曲面為該單色光波的等相位面 1 單色光波的速度 相速度 單色光波場表示式 隨距離變化的相位項 滿足該式的是這個相位狀態(tài)在不同時刻的位置 1 1 4相速度和群速度 對求微分 得 當(dāng)0垂直于等相位面 即0 時 上式值最小 該v 就是等相位面的傳播速度 簡稱為相速度 對于波矢量為的平面單色光波 其空間相位項為 設(shè)0為d方向上的單位矢量 并寫成d 0ds 則 1 1 4相速度和群速度 所以當(dāng)時 例如在色散介質(zhì)的反常色散區(qū) 就有相速度v大于真空中光速度c的情況 這并不違背相對論的結(jié)論 特別說明 相速度是單色光波所特有的一種速度 并不表示光波能量的傳播速度 因此平面單色光波的相速度為 1 1 4相速度和群速度 實際上的光波都不是嚴(yán)格的單色光波 它的光電場可表示為單色光波電場的疊加 即 以二色波為例 其光電場 2 復(fù)色光波的速度 1 1 4相速度和群速度 若E01 E02 E0 且 1 2 1 2 則 式中 1 1 4相速度和群速度 1 1 4相速度和群速度 可見對于復(fù)色波 其傳播速度包含兩種含義 1 等相位面的傳播速度 稱為相速度 2 等振幅面的傳播速度 稱為群速度 1 1 4相速度和群速度 1 復(fù)色波的相速度 令復(fù)色波相位為常數(shù) 則某時刻等相位面的位置z對時間的變化率即為等相位的傳播速度 復(fù)色波的相速度 且 1 1 4相速度和群速度 2 復(fù)色波的群速度 復(fù)色波的振幅是時間和空間的余弦函數(shù) 任一時刻 滿足 mt kmz 常數(shù)的z值 即為某等振幅面的位置 該等振幅面位置隨時間的變化率即為等振幅面的傳播速度 復(fù)色波的群速度 當(dāng) 很小時 寫成 1 1 4相速度和群速度 3 相速度與群速度之間的關(guān)系 由波數(shù)k 由k 2 由v c n 1 1 4相速度和群速度 dk 2 2 d dv c n2 dn 4 結(jié)果和結(jié)論 由此可見 在折射率n隨波長變化的色散介質(zhì)中 光波的相速度不等于群速度 對于dn d 0 正常色散介質(zhì) v vg 1 1 4相速度和群速度 對于dn d 0 反常色散介質(zhì) v vg 對于dn d 0 無色散介質(zhì) v vg 相速度等于群速度 只有真空才屬于這種情況 1 1 4相速度和群速度 復(fù)色波是由許多單色光波組成的 只有復(fù)色波的頻譜寬度很窄 各個頻串集中在某一 中心 頻率附近時 才能構(gòu)成波群 上述關(guān)于復(fù)色波速度的討論才有意義 如果 較大 得不到穩(wěn)定的波群 則復(fù)色波群速度的概念沒有意義 只有在色散很小的介質(zhì)中傳播時 群速度才可以視為一個波群的傳播速度 由于光波的能量正比于電場振幅的平方 而群速度是波群等振幅點的傳播速度 所以在群速度有意義的情況下 它即是光波能量的傳播速度