與圓的有關(guān)計算一、選擇題1. 甘肅蘭州，12，4分）如圖，用個半徑為5cm的定滑輪帶動重物上升，滑輪上一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了108°，假設(shè)繩索（粗細(xì)不計）與滑輪之間沒有滑動，則重物上升了（ ） Acm B2cm C3cm D5cm【答案】C【逐步提示】先明確重物上升的距離就是P旋轉(zhuǎn)的圓弧長，再求出該弧長即可.【詳細(xì)解答】解：當(dāng)滑輪上一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了108°時，重物上升的距離就是P旋轉(zhuǎn)的弧長，h=l=3(cm)，故選擇C.【解后反思】本題是有關(guān)弧長公式的應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題【關(guān)鍵詞】弧長公式；轉(zhuǎn)化思想 .2. （ 湖北省十堰市，9，3分）如圖，從一張腰長為60厘米，頂角為120°的等腰三角形鐵皮OAB中剪出一個最大的扇形OCD，用此剪下的鐵皮圍成一個圓錐的側(cè)面（不計損耗）則圓錐的高為（ ）A. 10cm B.15cm C.10cm D.20cm.【答案】D 【逐步提示】本題主要考查解直角三角形、弧長計算、圓錐的側(cè)面展開等計算問題；解題的關(guān)鍵是把一個扇形圍成一個圓錐后，弄清圓錐的母線長、底面半徑與原扇形弧長、半徑之間的關(guān)系.解題思路：圓錐的側(cè)面積展開后的扇形面積×弧長×半徑 .【詳細(xì)解答】解：如圖，因為等腰三角形鐵皮腰長為60厘米，頂角為120°，所以剪出的最大的扇形OCD 的半徑是30厘米，扇形的圓心角是120°；因為圍成的圓錐的底面周長是=20，設(shè)圓錐的底面半徑為r， 所以2r= 20, r=10; h= 故選擇D . 【解后反思】本題中的等腰三角形的計算、解直角三角形、扇形弧長的計算是重點(diǎn)；而把扇形圍成圓錐，計算母線長、底面半徑是園中計算的一個難點(diǎn).歸納拓展：在圓錐的相關(guān)計算中，關(guān)鍵抓住以下幾點(diǎn)：(1)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形；(2)扇形的半徑是圓錐的母線；(3)扇形的弧長是圓錐底面的周長在圓柱的側(cè)面積計算中，關(guān)鍵抓住下面兩點(diǎn)：(1)圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形，其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面的周長，所以圓柱的側(cè)面積等于底面的周長乘圓柱的高，即S圓柱側(cè)2rh； (2)防止漏掉圓柱的底面積而出錯 【關(guān)鍵詞】解直角三角形；圓中的計算問題；弧長；扇形 ；圓錐的側(cè)面積與全面積3. （江蘇省無錫市，7，3分）已知圓錐的底面半徑為4cm，母線長為6cm，則它的側(cè)面展開圖的面積等于（ ）A24 cm2B48 cm2C24cm2 D12cm2【答案】C【逐步提示】本題考查了圓錐側(cè)面積的求法，解題的關(guān)鍵是掌握側(cè)面展開圖與圓錐底面半徑和母線之間的關(guān)聯(lián)本題可以先求出圓錐的底面周長，即展開圖扇形的弧長，然后套用扇形面積公式即可【詳細(xì)解答】解：圓錐的底面半徑為4cm，圓錐底面周長為8cm，所以S側(cè)×8×624cm2，故選擇C .【解后反思】（1）若O的半徑為R，弧長為l，圓心角為n°，則有如下公式：弧長公式l=；扇形面積公式S=（2）若圓錐的母線為l，底面半徑為r，則圓錐的側(cè)面積公式：S側(cè)=rl（3）圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，要注意扇形與圓錐間的聯(lián)系：扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長【關(guān)鍵詞】圓錐側(cè)面展開圖；扇形面積；二、填空題1. （ 安徽，13，5分）如圖，已知O的半徑為2，A為O外一點(diǎn).過點(diǎn)A作O的一條切線AB，切點(diǎn)為B.AO的延長線叫O于點(diǎn)C.若BAC=300，則劣弧BC的長為 【答案】【逐步提示】連接OB，由切線的性質(zhì)求出BOC的度數(shù)，然后代入弧長計算公式求解.【詳細(xì)解答】解：如圖，連接OB，AB是O的切線，ABO=900,BAC=300,AOB=600,BOC=1200, 劣弧BC的長為，故答案為 .【解后反思】弧長=,其中n是圓弧所對的圓心角的度數(shù)，R是圓弧所在圓的半徑，求弧長應(yīng)確定圓弧的圓心角n和半徑R.另扇形面積=,其中n是扇形的圓心角，R是扇形的半徑，是扇形的圓弧長.【關(guān)鍵詞】圓的計算，弧長的計算公式2. （ 甘肅省天水市，17，4分）如圖，在ABC中，BC6，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的A與BC相切于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)P是優(yōu)弧上的一點(diǎn)，且EPF50°，則圖中陰影部分的面積是_ABDCPEF【答案】6【逐步提示】本題考查了切線的性質(zhì)，求扇形的面積，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是1.連結(jié)AD，可得ADBC，則有AD2，這樣就能求得ABC的面積2. 根據(jù)圓周角定理求得EAF2EPF100°，而半徑已知，就可求得扇形EAF的面積3. 根據(jù)陰影部分的面積ABC的面積扇形EAF的面積求解【詳細(xì)解答】解：連結(jié)AD，ABDCPEFA與BC相切于點(diǎn)D，ADBC，AD2SABCBC·AD×6×26圓周角EPF與圓心角EAF對的是同一條弧，EPFEAF而EPF50°，EAF2EPF100°S扇形EAFS陰影SABCS扇形EAF6故答案為6【解后反思】求陰影部分面積時，一般考慮將不規(guī)則的陰影圖形，割（或補(bǔ)）成幾個規(guī)則圖形的面積之和（或差），從而代入公式求值【關(guān)鍵詞】圓心角、圓周角定理；切線的判定與性質(zhì)；扇形與弓形；面積法3. （廣東省廣州市，15，3分）如圖，以點(diǎn)O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，點(diǎn)P為切點(diǎn)，AB=12，OP=6，則劣弧AB()的長為 （結(jié)果保留）O A P B 【答案】8【逐步提示】根據(jù)弧長計算公式，要求劣弧AB()的長，需知道半徑OB的長與圓心角ABO的大小于是連接OA與OB，在小圓O中，易得OPAB，則在大圓O中，有AP=PB，據(jù)此，通過解RtOPB，可求OB的長與POB的度數(shù)，進(jìn)而可得AOB的度數(shù)，最后利用弧長公式計算求值即可【詳細(xì)解答】解：連接OA，OB大圓的弦AB是小圓的切線，OPAB，根據(jù)垂徑定理，得BP=AB=6在RtOBP中，OB=12，tanPOB=，POB=60°OA=OB，OPAB，AOB=2POB=120°劣弧AB()的長=8故答案為8O A P B 【解后反思】（1）n°的圓心角所對的弧長為：l=，弧長l，圓心角度數(shù)n與半徑R中，知其中兩個量可求第三個量（2）圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑這樣可把要求值的線段或角放在直角三角形中去解決【關(guān)鍵詞】切線的性質(zhì)；垂徑定理；勾股定理；銳角三角形函數(shù)；弧長計算公式4. （貴州省畢節(jié)市，20，5分）如圖，分別以邊長等于1的正方形的四邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為_ （第20題圖）【答案】1【逐步提示】本題考查正方形的性質(zhì)、扇形、弓形的面積算法，解題的關(guān)鍵是掌握扇形面積的計算公式及能將陰影部分轉(zhuǎn)化為可求面積的圖形之和或之差，再進(jìn)一步求解【詳細(xì)解答】解：由題意可知，陰影部分面積為8個完全相同的弓形的面積組成，而 81，故答案為1.【解后反思】此類問題容易出錯的地方是不能正確表示陰影部分面積【關(guān)鍵詞】扇形與弓形；轉(zhuǎn)化思想；圖景信息型5. （ 河南省，14，3分）如圖，在扇形AOB中，AOB=90°，以點(diǎn)A為圓心，OA的長為半徑作交于點(diǎn)C. 若OA=2，則陰影部分的面積為_.【答案】【逐步提示】本題考查扇形面積公式、解直角三角形，解題的關(guān)鍵是把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則圖形面積的和差，特別是OAC是等邊三角形.思路：陰影部分是不規(guī)則圖形，求它的面積一般采用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則圖形的面積和差，問題中的關(guān)鍵點(diǎn)是C點(diǎn)，連接OC，則S陰影=S扇形OBA-S扇形OCA-S弓形OC或陰影扇形弓形怎樣確定扇形OCA的圓心角的大小呢？利用得是等邊三角形可以確定CO=60°，則BO=30°，最后利用扇形面積公式和解直角間三角形求解扇形和弓形的面積.【詳細(xì)解答】解：連接O和 ，OC=OA=，是等邊三角形°作于點(diǎn)在中，·°S弓形OC=S扇形AOC-SC=-=S陰影=S扇形OBA-S扇形OCA-S弓形OC=方法二：連接O和 ，OC=OA=，是等邊三角形°BOC=30°作于點(diǎn)在中，·°S弓形OC=S扇形AOC-SC=-=陰影扇形弓形=（）= ，故答案為 .【解后反思】本題的重點(diǎn)是利用割補(bǔ)法確定規(guī)則圖形難點(diǎn)是確定關(guān)鍵點(diǎn)和是等邊三角形.一般思維模式是不規(guī)則圖形的面積可采用割補(bǔ)法，利用規(guī)則圖形的面積和差求解，構(gòu)造了特殊角的直角三角形借助三角函數(shù)或勾股定理求它的高或高得面積，再確定扇形的圓心角，利用扇形面積公式求出扇形面積，從而求出陰影部分的面積【關(guān)鍵詞】扇形面積的計算；等邊三角形；弓形；解直角三角形；化歸思想6.（ 湖北省黃石市，15，3分）如圖所示，正方形ABCD對角線AC所在直線上有一點(diǎn)O，OAAC2，將正方形繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)60°，在旋轉(zhuǎn)過程中，正方形掃過的面積是_【答案】【逐步提示】本題考查了與圓有關(guān)的面積計算，解題的關(guān)鍵是正確表示出陰影部分的面積正方形掃過的面積可看成是正方形ABCD的面積扇形OCC的面積扇形OAA的面積【詳細(xì)解答】解：S正方形掃過的面積S正方形ABCDS扇形OCCS扇形OAA，故答案為【解后反思】計算陰影部分的面積，如果陰影部分是不規(guī)則圖形，一般運(yùn)用割補(bǔ)法，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積來計算【關(guān)鍵詞】圓中的計算問題7. （湖北省荊州市，16，3分）如圖是一個幾何體的三視圖（圖中尺寸單位：cm），根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)計算這個幾何體的表面積為 cm2【答案】4【逐步提示】本題考查了根據(jù)幾何體的三視圖判斷幾何體的形狀以及圓錐的側(cè)面積與全面積的計算公式，解題的關(guān)鍵是從三視圖中獲取物體的形狀和數(shù)量關(guān)系【詳細(xì)解答】解：根據(jù)俯視圖可得該幾何體的底面是圓，根據(jù)主視圖和左視圖都是等腰三角形可得側(cè)面應(yīng)該是錐體，所以該幾何體是圓錐，根據(jù)幾何體的三視圖得原圓錐的底面直徑為2、母線長為3，因此該幾何體的幾何體的表面積=圓錐的側(cè)面積+ 圓錐的底面積=3+=4 ，故答案為4 .【解后反思】由視圖到立體圖形，根據(jù)視圖想像出視圖所反映的立體形狀，我們稱為讀圖讀圖的一般規(guī)律：（1）長、寬、高的關(guān)系：主視圖和俯視圖長度相等，主視圖和左視圖高度相等，俯視圖和左視圖寬度相等（2）上下、前后、左右的關(guān)系：讀圖時，可從主視圖上分清物體各部分的上下和左右位置；從俯視圖上分清物體各部分的左右和前后位置；從左視圖上分清物體各部分的上下和前后位置【關(guān)鍵詞】三視圖的反向思維；圓錐的側(cè)面積與全面積8. （湖南常德，14，3分）如圖5，ABC是O的內(nèi)接正三角形，O的半徑為3則圖中陰影部分的面積是 【答案】【逐步提示】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和扇形面積公式關(guān)鍵是利用等邊三角形的性質(zhì)求出AOB的度數(shù)，從而利用扇形面積公式求出陰影部分的面積【詳細(xì)解答】解：ABC是O的內(nèi)接正三角形，AOB120°，S陰影=故答案為【解后反思】：設(shè)扇形的半徑為r，圓心角為n°，弧長為l，則扇形的面積為：或【關(guān)鍵詞】等邊三角形的性質(zhì)；扇形面積公式9.（ 湖南省湘潭市，14，3分）如圖，一個扇形的圓心角為90°，半徑為2，則該扇形的弧長是 .（結(jié)果保留）90°2【答案】【逐步提示】本題考查了弧長公式，解題的關(guān)鍵是熟記弧長公式，然后把圓心角、半徑代入弧長公式求解即可【詳細(xì)解答】解：扇形圓心角為90°，半徑為2，扇形的弧長為，故答案為.【解后反思】半徑為r的圓中，n°的圓心角所對的弧長為，要求出弧長關(guān)鍵弄清公式中各個字母的含義【關(guān)鍵詞】弧長公式10. （ 年湖南省湘潭市，14，3分）如圖，一個扇形的圓心角為90°，半徑為2，則該扇形的弧長為_.（結(jié)果保留）90°2【答案】【逐步提示】本題考查了弧長的計算公式，解題的關(guān)鍵是掌握扇形的弧長公式。先確定圓的半徑和圓心角度數(shù)，再代入到扇形弧長的計算公式?！驹敿?xì)解答】解：扇形的圓心角為90°，半徑為2， ，故答案為 .【解后反思】弧長的計算公式是l=，其中n是圓弧所對的圓心角大小，R是圓弧所在圓的半徑，要運(yùn)用公式首先要找準(zhǔn)圓心，找對半徑.【關(guān)鍵詞】圓；圓中的計算問題；弧長；11. （ 湖南省益陽市，12，5分）下圖是一個圓柱體的三視圖，由圖中數(shù)據(jù)計算此圓柱體的側(cè)面積為 （結(jié)果保留） 【答案】【逐步提示】由圓柱體的三視圖可得底面直徑為4，高為6，再根據(jù)圓柱的側(cè)面積=底面圓的周長×圓柱的高，代入相應(yīng)數(shù)值求解即可【詳細(xì)解答】解：由圖可知立體圖是圓柱，半徑r=2，高h(yuǎn)=6， 所以 ，故答案為.【解后反思】解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖確定幾何體的形狀，然后根據(jù)相應(yīng)公式求解.圓柱的側(cè)面積=底面圓的周長×圓柱的高，圓柱的體積=底面圓的面積×圓柱的高.【關(guān)鍵詞】三視圖；圓柱體的側(cè)面展開圖12. (湖南省岳陽市，11，4)在半徑為6cm的圓中，120°的圓心角所對的弧長是_cm.【答案】4【逐步提示】根據(jù)弧長公式，這里r=6，n=120，將相關(guān)數(shù)據(jù)代入弧長公式求解.【詳細(xì)解答】=4，所以填：4。【解后反思】半徑為r的圓中，n°的圓心角所對的弧長為，要求出弧長關(guān)鍵弄清公式中各個字母的含義這類問題容易出錯的地方是弧長公式和扇形面積公式S混淆面出錯誤?！娟P(guān)鍵詞】弧長計算公式13. （ 江蘇省淮安市，17，3分）若一個圓錐的底面圓的半徑為2，母線長為6，則該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為°【答案】120【逐步提示】本題考查了與圓錐的側(cè)面積有關(guān)的計算，掌握圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，扇形的弧長等于圓錐底面的周長、扇形的半徑等于圓錐的母線長是解題的關(guān)鍵【詳細(xì)解答】解：設(shè)扇形的圓心角為n°，則2×2解得n120°，故答案為 120 【解后反思】如果扇形的半徑為R，圓心角為n°，那么扇形弧長l，面積的計算公式為：S扇形如果扇形所對的弧長為l，扇形的半徑為R，那么扇形面積的計算公式為：S扇形lR【關(guān)鍵詞】圓錐側(cè)面展開圖 ；弧長公式；14. （ 江蘇省連云港市，16，3分）如圖，的半徑為5，、是圓上任意兩點(diǎn)，且，以為邊作正方形（點(diǎn)、在直線兩側(cè)）若邊繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，則邊掃過的面積為 【答案】【逐步提示】本題考查與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的圖形面積的計算，弄清楚線CD隨著線段AB的旋轉(zhuǎn)是繞著P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周這個結(jié)論是解題的關(guān)鍵 求出OD的長度以及P到CD的距離，最后利用圓環(huán)的面積公式求出CD掃過的面積【詳細(xì)解答】解：本題考查與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的圖形面積的計算，過點(diǎn)P作PFAB于F，交CD于點(diǎn)E，則有AF=AB=3，四邊形ABCD是正方形，CDAB，PECD，PF=，PE=AD+PF=6+4=10，=9+100=109，于是AB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一周，CD邊掃過的面積等于=，故答案為 【解后反思】處理動線的問題的時候，要分析題意，探究出圖形在變化的過程中那些元素是變化的，那些是不變化的，本題中變化的是線段AB，它的長度不變，但它的位置在P上運(yùn)動，線段CD也是在變化的，但PD的PE的長度是不變，由此得出CD是繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一周的，從而使問題得以解決【關(guān)鍵詞】圖形的旋轉(zhuǎn) ；動線題型；15. （江蘇泰州，15，3分）如圖，O的半徑為2，點(diǎn)A、C在O上，線段BD經(jīng)過圓心O，ABD=CDB=90°，AB=1，CD=，則圖中陰影部分的面積為 .（第15題圖） （第15題答圖）【答案】【逐步提示】本題考查了直角三角以及扇形的面積公式，解題的關(guān)鍵是找出S陰影部分=S扇形AOC連接AO、CO，通過計算可以證明SABO=SODC，將圖中陰影部分面積轉(zhuǎn)化為扇形AOC的面積，最后只要求出AOC的度數(shù)后代入扇形面積公式即可.【詳細(xì)解答】解：連接AO、CO，則AO=CO=2，ABD=CDB=90°，AB=1，CD=，OD=1，BO=，SABO=SODC，AOB=30°，COD=60°，AOC=180°60°30°=150°，S陰影部分=S扇形AOC=.故答案為.【解后反思】求不規(guī)則圖形面積時，一般都是通過割補(bǔ)法將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形（三角形、特殊四邊形、扇形等）來求面積【關(guān)鍵詞】割補(bǔ)法；扇形；面積16.（ 湖南省懷化市，11，4分）已知扇形的半徑為6 cm，面積為10 cm 2，則該扇形的弧長等于_.【答案】【逐步提示】此題已知扇形面積為10 cm 2，扇形的半徑為6 cm，根據(jù)扇形面積公式S扇形，計算可得【詳細(xì)解答】解： l, S扇形10,l ，故答案為.【解后反思】此題考查扇形面積公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形面積公式S扇形 ，其中，l是弧長，r是半徑. 【關(guān)鍵詞】扇形與弓形17. （江蘇鹽城，14，3分）若圓錐的底面半徑為2，母線長為4，則圓錐的側(cè)面積為 【答案】8p【逐步提示】本題考查了圓錐側(cè)面積的計算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圓錐側(cè)面積的計算公式，由圓錐的底面半徑、母線長，直接計算出圓錐側(cè)面積【詳細(xì)解答】解：Srl×2×4=8p，故答案為8p【解后反思】圓中的計算公式：1圓的周長C2rd；2圓的面積Sr2；3圓環(huán)形面積S(R2r2) ；4弧長l；5扇形面積； 6圓錐側(cè)面積Srl【關(guān)鍵詞】圓錐的側(cè)面積與全面積18. （山東省德州市，16，4分）如圖，半徑為1的半圓形紙片，按如圖方式折疊，使對折后半圓弧的中點(diǎn)M圓心O重合，則陰影部分的面積是 ?！敬鸢浮俊局鸩教崾尽浚?）求陰影部分的面積，用半圓的面積減去空白部分的面積，即：；（2）已知半徑，半圓的面積好求；弓形的面積=扇形OAMB面積-三角形AOB的面積；在RtAOC中利用邊的關(guān)系，易求OAC=30°，進(jìn)而易求圓心角AOB=120°，再根據(jù)扇形的面積公式即可求出扇形面積；在RtAOC利用勾股定理求出線段AC的長，所以很容易求出三角形AOB的面積。問題得以解決?！驹敿?xì)解答】解：如圖16-1，連接OA、OB、OM，OM與AB交于點(diǎn)C，由題意可知：,，在RtOAC中，OAC=30°，AOC=60°，AOB=120°，OA=OB=OM=1，故答案為 .【解后反思】（1）求陰影部分的面積通常采用割補(bǔ)或拼湊的方法，此題難點(diǎn)在于利用邊的關(guān)系求出圓心角AOB的度數(shù)；（2）熟記扇形面積公式也是解決此類問題的關(guān)鍵.【關(guān)鍵詞】圓心角 ；垂徑定理；扇形與弓形；勾股定理；面積法；數(shù)形結(jié)合思想19.山東濱州16，4分）如圖，ABC是等邊三角形，AB=2，分別以A，B，C為圓心，以2為半徑長作弧，則圖中陰影部分的面積是 【答案】2【逐步提示】用扇形的面積減去等邊三角形的面積再乘以3就是陰影部分的面積【詳細(xì)解答】解：扇形BAC的面積=等邊三角形ABC的面積=陰影部分的面積=3（）=2故答案為2【解后反思】扇形面積公式：S扇形清楚地反映了變量S， n， R三者之間的關(guān)系，據(jù)此可解決相關(guān)的“知二求一”問題求陰影部分的面積，特別是不規(guī)則幾何圖形的面積時，常通過平移、旋轉(zhuǎn)、分割等方法，把不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和或差，使復(fù)雜問題簡單化，便于求解【關(guān)鍵詞】 扇形面積的計算 轉(zhuǎn)化思想20. （ 鎮(zhèn)江，9,2分）圓錐底面圓的半徑為4，母線長為5，它的側(cè)面積等于 （結(jié)果保留）.【答案】20.【逐步提示】本題考查了圓錐的有關(guān)計算，解題的關(guān)鍵是熟記圓錐的側(cè)面積計算公式圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，圓錐的側(cè)面積就是相關(guān)扇形的面積，直接利用圓錐的側(cè)面積公式S=rl計算【詳細(xì)解答】解：S=rl=×4×5=20，故答案為20p 【解后反思】對于圓錐的計算考查主要有三種形式：（1）圓錐的半徑、高、母線長中已知兩個求圓錐的側(cè)面積或全面積；（2）知道圓錐的側(cè)面積和底面半徑，求母線長或高或圓錐側(cè)面展開圖的圓心角；（3）已知圓錐側(cè)面展開圖弧長及圓心角度數(shù)，求圓錐的底面半徑和高. 解此類題的方法主要利用圓錐的底面周長與側(cè)面展開圖扇形弧長相等的關(guān)系式、圓錐的母線就是側(cè)面展開圖扇形的半徑以及勾股定理求解此類問題容易出錯的地方是誤以為圓錐的側(cè)面積公式S=rl或S=2rl【關(guān)鍵詞】 圓錐的側(cè)面積21. （ 鎮(zhèn)江，11,2分）如圖1，O的直徑AB=4cm，點(diǎn)C在O上，設(shè)ABC的度數(shù)為x（單位：度，0x90）,優(yōu)弧的弧長與劣弧的弧長的差設(shè)為y(單位：厘米)，圖2表示y與x的函數(shù)關(guān)系，則a= 度 .【答案】22.5【逐步提示】本題考查了弧長公式及一次函數(shù)的圖像，解題的關(guān)鍵是熟記弧長公式先用x表示優(yōu)弧的弧長與劣弧的弧長，再求它們的差，從而表示出y，最后把點(diǎn)（a,3）代入關(guān)系式求出a的值.【詳細(xì)解答】解：連結(jié)OC，ABC=x°，AOC=2x°，,BOC=（180-x）°。.把點(diǎn)（a,3）代入,得，解得a=22.5. 故答案為 22.5.【解后反思】（1）弧長的計算公式是l=，其中n是圓弧所對的圓心角大小，R是圓弧所在圓的半徑，要運(yùn)用公式首先要找準(zhǔn)圓心，找對半徑.（2）一個點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，則這個點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)關(guān)系式.【關(guān)鍵詞】弧長；數(shù)形結(jié)合；待定系數(shù)法三、解答題1. （ 福建福州，24，12分）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于O，M 為中點(diǎn)，連接BM，CM （1）求證：BMCM；（2）當(dāng)O的半徑為2 時，求的長【逐步提示】本題考查了正方形的性質(zhì)、弧長的計算、圓心距、弦、弧之間的關(guān)系，掌握弧長的計算公式、圓心距、弦、弧之間的關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵（1）根據(jù)圓心距、弦、弧之間的關(guān)系定理解答即可；（2）根據(jù)弧長公式計算【詳細(xì)解答】解：（1）證明：四邊形ABCD是正方形，,M為中點(diǎn),.（2）解：連接.,BOMCOM,正方形ABCD內(nèi)接于O，.由弧長公式，得的長【解后反思】此類問題容易出錯的地方是不能求出圓心角的度數(shù)及弧長公式用錯.在弧長公式l=中，當(dāng)圓心角n、半徑R和弧長l已知兩個時，可求得第三個.【關(guān)鍵詞】正方形的性質(zhì)；弧、弦、弦心距；弧長；2. （ 甘肅省武威市、白銀市、定西市、平?jīng)鍪?、酒泉市、臨夏州、張掖市等9市，22，8分）圖是小明在健身器上進(jìn)行仰臥起坐鍛煉時的情景，圖是小明鍛煉時上半身由ON位置運(yùn)動到與地面垂直的OM位置時的示意圖，已經(jīng)AC=0.66米，BD=0.26米，=20º（參考數(shù)據(jù)：sin20º0.342，cos20º0.940，tan20º0.364）（1）求AB的長（精確到0.01米）；（2）若測得ON=0.8米，試計算小明頭頂由N點(diǎn)運(yùn)動到M點(diǎn)的路徑的長度（結(jié)果保留） 圖 圖第22題圖【逐步提示】本題考查解直角三角形和弧長的計算公式，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，（1）借助于20°這一條件，把20°和AB邊共同放置于一個直角三角形中，即過點(diǎn)B作AC的垂線段，設(shè)垂足為F，在直角ABF中，利用三角函數(shù)求解；（2）是以點(diǎn)O為圓心，ON為半徑的圓中的一條弧且所對的圓心角是110°，利用弧長公式進(jìn)行計算即可【詳細(xì)解答】解：（1） 過點(diǎn)B作BFAC于點(diǎn)F 1分 AF=ACBD=0.4(米)， 2分 AB=AF÷sin20°1.17(米)； 3分（2） MON=90°20°=110°， 4分 (米) 6分【解后反思】在一般三角形中已知一些邊和角求另外的邊長的問題，通常都是通過添作垂線，構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用解直角三角形的知識來解決問題；對于弧長的計算，一是要知道弧所在圓的半徑二是要知道圓心角的度數(shù)，再利用進(jìn)行計算【關(guān)鍵詞】 三角函數(shù)；解直角三角形；圓的有關(guān)計算；3. （廣東茂名，24，8分）如圖，在ABC中，C=90°，D、F是AB邊上的兩點(diǎn)，以DF為直徑的O與BC相交于點(diǎn)E，連接EF，過F作FGBC于點(diǎn)G，其中OFE=A.（1）求證：BC是O的切線；（2）若sinB=，O的半徑為r，求EHG的面積.（用含r的代數(shù)式表示）【逐步提示】本題考查了切線的判定定理、圓中有關(guān)線段的求值問題，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定方法以及構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)、勾股定理等使問題獲解（1）由于BC與O有一個確定的公共點(diǎn)E，根據(jù)切線的判定定理，只要連接OE，證明OEBC即可說明BC是O的切線；（2）連接DE，過點(diǎn)E作EQAB，垂足為Q，由于EDQ與題中已知條件的聯(lián)系比較密切，較容易求出它的兩直角邊的長度，因此證EDQEHG，將“求EHG的面積”轉(zhuǎn)化為“求EDQ的面積”.【詳細(xì)解答】解：（1）連接OE.O中，OE=OF，OEF=OFE.BOE為OEF的外角，BOE=OEF+OFE=2OFE.OFE=A，BOE=A，OEAC，BEO=C. C=90°，BEO=90°，即OEBC.BC是O的切線；（2）連接DE，過點(diǎn)E作EQAB，垂足為Q.在RtBEO中，sinB=，即=，BO=r，BE=r.在RtBQE中，sinB=，即=QE÷r，解得QE=r.在RtOQE中，OQ=r，DQ=ODOQ=rr=r.SEDQ=DQ×QE=r2.OEBC，F(xiàn)GBC，OEFG，OEF=EFG.OEF=OFE，OFE=EFG，EF是QFG的平分線，=.在O中，ED=EH.又EF是QFG的平分線，EQAB，EGFG，EQ=EG，EDQEHG（HL），SEHG=SEDQ=r2.【解后反思】（1）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線切線的基本證明方法：切點(diǎn)已知，連過切點(diǎn)的半徑，證所連半徑垂直于要證明的切線；切點(diǎn)未知，作垂線段，證垂線段等于半徑.（2）求EHG的面積也可采用證EHGFEG，先求出EG、HG長度，再求EHG面積，不管哪一種方法，都要將條件“sinB=”置于直角三角形，溝通直角三角形邊、角間的關(guān)系，從而為求EHG的面積創(chuàng)設(shè)條件.【關(guān)鍵詞】直線與圓相切；銳角三角函數(shù)；勾股定理.4. （ 河北省，25，10分）如圖，半圓O的直徑AB=4，以長為2的弦PQ為直徑，向點(diǎn)O方向作半圓M，其中P點(diǎn)在AQ（?。┥锨也慌cA點(diǎn)重合，但Q點(diǎn)可與B點(diǎn)重合.發(fā)現(xiàn) AP（?。┑拈L與QB（弧）的長之和為定值l，求l；思考 點(diǎn)M與AB的最大距離為_，此時點(diǎn)P，A間的距離為_；點(diǎn)M與AB的最小距離為_，此時半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形面積為_.探究 當(dāng)半圓M與AB相切時，求AP（弧）的長.（注：結(jié)果保留，cos 35°=，cos 55°=） 備用圖【逐步提示】本題是一道與圓有關(guān)的綜合題，涉及圓、三角形等知識，難度較大.（1）如圖1，連結(jié)OP,OQ，易證OPQ是等邊三角形，易求得POQ=60°和的長，進(jìn)而求得和的長之和l.（2）如圖2，當(dāng)PQAB時，點(diǎn)M與AB的距離最大；如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時，點(diǎn)M與AB的距離最小.（3）半圓M與AB相切，分兩種情況：半圓M與AO相切和半圓M與BO相切. 圖1圖2 圖3【詳細(xì)解答】解：（1）發(fā)現(xiàn)：連結(jié)OP,OQ，則OP=OQ=PQ=2.POQ=60°.的長=.l=.思考： 2 探究：半圓M與AB相切，分兩種情況：如圖1，半圓M與AO相切于點(diǎn)T時，連結(jié)PO,MO,TM.則MTAO，OMPQ.在RtPOM中，sinPOM=30°.在RtTOM中，TO=，cosAOM=，即AOM=35°.POA=35°30°=5°.的長=. 圖1 圖2如圖2，半圓M與BO相切于點(diǎn)S時，連結(jié)QO，MO,SM.由對稱性，同理得的長=.由l=，得的長=.綜上，的長=或.【解后反思】本題屬于壓軸題，難度較大，特別是解答“探究”問時，容易忽略其中一種情形；在解答本題時，關(guān)注等邊OPQ（或含有30° 銳角的RtOPM）是解題的關(guān)鍵.【關(guān)鍵詞】弧長；點(diǎn)到直線的距離；兩點(diǎn)之間的距離；相切；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；銳角三角函數(shù)；扇形的面積；相切；分類討論思想5. （湖北宜昌，21，8分）如圖，CD是O的弦，AB是直徑，且CDAB連接AC，AD，OD，其中AC=CD過點(diǎn)B的切線交CD的延長線于E（1）求證：DA平分CDO；（2）若AB=12，求圖中陰影部分的周長之和（參考數(shù)據(jù)：，）（第21題）【逐步提示】本題考查了圓的切線，弧長公式，三角函數(shù)，圓周角定理及推論，關(guān)鍵是通過適當(dāng)?shù)妮o助線將問題轉(zhuǎn)化.【詳細(xì)解答】解：證明：（1）CDABCDABAD，又AO=ODADOBAD，ADOCDO，(2)如圖，連接BD，AB是直徑，90°，即BOAB又DOCD，AD90°ADACD，又CDABBADCDA，BADCADCDA，弧AC=弧DC弧BD又BOA180°BOD60°BADBOD =30°在Rt BDA 中，BAD=30°BO=AB=6,AC=BC，又AOBC又弧AC=弧DBBD=AC=6過點(diǎn)B的切線交CD的延長線于EABBEBDEABE-ABD=30°又CDABCEBEDE=DB=3，BE=BDcosDBE=6=3弧BD的長為又弧AC=弧BD，弧AC的長為2圖中陰影部分周長之和為26233=4+9+343.1+9+31.7=26.5【解后反思】半徑為r的圓中，n°的圓心角所對的弧長為，要求出弧長關(guān)鍵弄清公式中各項字母的含義【關(guān)鍵詞】弧長公式；扇形面積公式；圓的切線；平行四邊形；等腰直角三角形6.（ 江蘇省淮安市，25，10分）如圖，在RtABC中，B90°，點(diǎn)O在邊AB上，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C，過點(diǎn)C作直線MN，使BCM2A（1）判斷直線MN與O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若OA4，BCM60°，求圖中陰影部分的面積【逐步提示】本題考查了圓的切線的判別，弓形面積的計算，掌握的切線的判別方法以及割補(bǔ)法解題的關(guān)鍵 （1）MN是O切線，只要證明OCM=90°即可（2）求出AOC以及BC，根據(jù)S陰=S扇形OACSOAC計算即可【詳細(xì)解答】解：（1）MN是O切線理由：連接OCOA=OC，OAC=OCA，BOC=A+OCA=2A，BCM=2A，BCM=BOC，B=90°，BOC+BCO=90°，BCM+BCO=90°，OCMN，MN是O切線（2）由（1）可知BOC=BCM=60°，AOC=120°，在RTBCO中，OC=OA=4，BCO=30°，BO=OC=2，BC=2S陰=S扇形OACSOAC=圖中陰影部分面積為【解后反思】看到判定圓的切線，想到若已知直線與圓的公共點(diǎn)，則采用判定定理法，其基本思路是：當(dāng)已知點(diǎn)在圓上時，連接過這點(diǎn)的半徑，證明這條半徑與直線垂直即可，可簡述為：有切點(diǎn)，連半徑，證垂直；若未知直線與圓的交點(diǎn)，則采用數(shù)量關(guān)系法，其基本思路是：過圓心作直線的垂線段，證明垂線段的長等于圓的半徑，可簡述為：無切點(diǎn)，作垂線，證相等 【關(guān)鍵詞】切線的判定 ；弓形面積的計算；7. （江蘇省宿遷市，25，10分）已知ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是邊AB上一動點(diǎn)（A、B兩點(diǎn)除外），將CAD繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到CEF，其中點(diǎn)E是點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)F是點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)（1）如圖1，當(dāng)=90°時，G是邊AB上一點(diǎn)，且BG=AD，連接GF求證：GFAC；（2）如圖2，當(dāng)90°180°時，AE與DF相交于點(diǎn)M當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C、D不重合時，連接CM，求CMD的度數(shù)；設(shè)D為邊AB的中點(diǎn)，當(dāng)從90°變化到180°時，求點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長（第25題圖1） （第25題圖2）【逐步提示】（1）本題證明兩直線平行可以根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”來說明，即只要說明BGF=45°即可，又容易知道BF=BG，所以只要證明FBG=90°問題即可得證；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以知道，ACE與DCF相似，可以得到CFM=CEM，所以C、M、E、F四點(diǎn)共圓，進(jìn)而有CEF=CMF=45°，問題獲解；（3）由（2）知道CMD的大小不隨D點(diǎn)位置變化而變化，所以點(diǎn)M的運(yùn)動路線是一條弧，在分別畫出兩個特殊情況下的圖形，即可發(fā)現(xiàn)弧的圓心的位置和弧所對圓心角的大小，利用弧長公式即可求出M運(yùn)動的路徑長，【詳細(xì)解答】解：（1）AC=BC，且ACB=90° A=ABC=45° 又ACDBCF BF=AD，A=CBF=45° AD=BG BG=BF 又FBG=FBC+CBA=90° FGB=45° A=FGB ACFG （2）CFE是由CAD旋轉(zhuǎn)得到， AC=CE，CD=CF，ACE=DCF= ACEDCF CFM=CEM C、M、E、F四點(diǎn)共圓，CEF=CMF=45°CMD=135° （3）當(dāng)D為AB的中點(diǎn)，=90°時，DF與AE的交點(diǎn)M與D重合； =180°時，DF與AE的交點(diǎn)M與C重合 由（2）知道CMD=135°是一個定值， 點(diǎn)M的運(yùn)動路徑是一段弧，且弧的圓心是AC的中點(diǎn) 點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長為【解后反思】（1）證明兩直線的平行關(guān)系通常是轉(zhuǎn)化為找同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系，有時也會根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)來得到；（2）旋轉(zhuǎn)型相似是相似中的基本圖示，是近幾年的高頻考點(diǎn)，抓住其中的對應(yīng)關(guān)系是突破點(diǎn)。（3）當(dāng)兩個等角經(jīng)過兩個兩個點(diǎn)時，那么這四個點(diǎn)一定共圓，四點(diǎn)共圓能幫助我們巧妙轉(zhuǎn)化圓中的等角；（4）求點(diǎn)的運(yùn)動路徑問題，關(guān)鍵是弄清點(diǎn)運(yùn)動的路線，初中階段主要考查的一般地就兩種：線段；弧。解決問題的策略是首先可以先通過畫圖（一般要畫出起始點(diǎn)、中間若干關(guān)鍵點(diǎn)和結(jié)束點(diǎn)）來判斷路徑和范圍；其次是結(jié)合已知條件的特點(diǎn)運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)方法說明自己的判斷是正確的；比如本題中M點(diǎn)位置的變化，但CMD保持不變，此時點(diǎn)M一定是在一段弧上運(yùn)動或，如果一個動點(diǎn)到一個定點(diǎn)的距離始終不變，那么這個點(diǎn)運(yùn)動的路徑也一定是弧最后按判斷的路徑類型及范圍來計算路徑長【關(guān)鍵詞】 平行線的判定；圓的內(nèi)接四邊形及性質(zhì)；軌跡問題；幾何變換；動面題型；23