第24課時(shí)直角三角形和勾股定理(66分)一、選擇題(每題5分，共25分)1下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)作為三角形的邊長(zhǎng)，其中能構(gòu)成直角三角形的是(B)A.， B1，C6，7，8 D2，3，4圖241 2.2016·臺(tái)州如圖241，數(shù)軸上點(diǎn)A，B分別對(duì)應(yīng)1，2，過(guò)點(diǎn)B作PQAB，以B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交PQ于點(diǎn)C，以原點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)是 (B)A. B. C. D.【解析】 由題意，可得OB2，BC1，OMOC，則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)是.故選B.3如圖242，在RtABC中，C90°，AC9，BC12，則點(diǎn)C到AB的距離是 (A)A. B. C. D.圖242 第3題答圖【解析】 如答圖，在RtABC中，AC9，BC12，根據(jù)勾股定理，得AB15，過(guò)點(diǎn)C作CDAB，交AB于點(diǎn)D，SABCAC·BC AB·CD，CD，則點(diǎn)C到AB的距離是.故選A.4如圖243，將一個(gè)有45°角的三角板的直角頂點(diǎn)放在一張寬為3 cm的矩形紙帶邊沿上，另一個(gè)頂點(diǎn)在紙帶的另一邊沿上，測(cè)得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線(xiàn)成30°角，則三角板最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為 (D)A3 cm B6 cm C3 cm D6 cm圖243第4題答圖【解析】 如答圖，過(guò)點(diǎn)C作垂線(xiàn)，交紙帶對(duì)邊沿于點(diǎn)D，CD3.在RtADC中，CAD30°，AC2CD2×36.又三角板是有45°角的三角板，ABAC6，BC2AB2AC2626272，BC6.故選D.圖2445如圖244，在矩形ABCD中，BC6，CD3，將BCD沿對(duì)角線(xiàn)BD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C處，BC交AD于點(diǎn)E，則線(xiàn)段DE的長(zhǎng)為(B)A3 B.C5 D.【解析】 設(shè)DEx，則AE6x.四邊形ABCD為矩形，ADBC，EDBDBC，由題意，得EBDDBC，EDBEBD，EBDEx，由勾股定理，得BE2AB2AE2，即x232(6x)2，解得x，DE.故選B.二、填空題(每題5分，共25分)圖24562017·潮南區(qū)模擬如圖245，在A(yíng)BC中，ABAC，AD是ABC的角平分線(xiàn)，若BC10，AD12，則AC_13_.【解析】 ABAC，AD是ABC的角平分線(xiàn)，ADBC，BDDC，在RtADC中，AC13.7已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)分別是3和4，則第三邊的長(zhǎng)為_(kāi)5或_.8將一副三角尺按圖246疊放在一起，若AB14 cm，則陰影部分的面積是_cm2.【解析】 B30°，ACAB7 (cm)，易證ACCF，SACFAC·CFAC2×72(cm2)圖246 圖2479如圖247，在A(yíng)BC中，CDAB于點(diǎn)D，E是AC的中點(diǎn)，若AD6，DE5，則CD的長(zhǎng)等于_8_.【解析】 ABC中，CDAB于點(diǎn)D，E是AC的中點(diǎn)，DE5，DE AC，AC10.在RtACD中，ADC90°，AD6，AC10，則根據(jù)勾股定理，得CD8.10如圖248，一只螞蟻沿著邊長(zhǎng)為2的正方體表面從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)過(guò)3個(gè)面爬到點(diǎn)B，如果它運(yùn)動(dòng)的路徑是最短的，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)圖248 第10題答圖【解析】 如答圖，將正方體展開(kāi)，右邊與后面的正方形與前面正方形放在一個(gè)面上，此時(shí)AB最短BCMACN，即2，即MC2NC，CNMN，在RtACN中，AC.三、解答題(共16分)11(8分)如圖249，在RtABC中，C90°，A30°，BD是ABC的平分線(xiàn)，CD5 cm，求AB的長(zhǎng)圖249【解析】 要求的AB在RtABC中，A30°，故只需求BC的長(zhǎng)；在RtBCD中，DC5 cm，DBCABC30°，故可求出BD，BC的長(zhǎng)，從而根據(jù)AB2BC計(jì)算出結(jié)果解：在RtABC中，C90°，A30°，AB2BC，ABC60°.BD是ABC的平分線(xiàn)，ABDCBD30°.在RtCBD中，CD5 cm，BD10 cm，BC5 cm，AB2BC10(cm)12(8分)如圖2410，在RtABC中，C90°，AD平分CAB，DEAB于點(diǎn)E，若AC6，BC8，CD3.圖2410(1)求DE的長(zhǎng)；(2)求ADB的面積解：(1)在RtABC中，C90°，ACCD.AD平分CAB，DEAB，DECD，CD3，DE3；(2)在RtABC中，C90°，AC6，BC8，AB10，SADBAB·DE×10×315.(24分)13(6分)如果將長(zhǎng)為6 cm，寬為5 cm的長(zhǎng)方形紙片折疊一次，那么這條折痕的長(zhǎng)不可能是 (A)A8 cm B5 cmC5.5 cm D1 cm【解析】 易知最長(zhǎng)折痕為矩形對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理得對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為7.88，故折痕長(zhǎng)不可能為8 cm.故選A.14(8分)2016·益陽(yáng)如圖2411，在A(yíng)BC中，AB15，BC14，AC13，求ABC的面積某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過(guò)合作交流，給出了下面的解題思路，請(qǐng)你按照他們的解題思路完成解答過(guò)程圖2411解：設(shè)BDx，CD14x，由勾股定理，得AD2AB2BD2152x2，AD2AC2CD2132(14x)2，152x2132(14x)2，解得x9，AD12.SABCBC·AD×14×1284.15(10分)2017·寧波在一次課題學(xué)習(xí)中，老師讓同學(xué)們合作編題，某學(xué)習(xí)小組受趙爽弦圖的啟發(fā)，編寫(xiě)了下面這道題，請(qǐng)你來(lái)解一解圖2412如圖2412，將矩形ABCD的四邊BA，CB，DC，AD分別延長(zhǎng)至E，F(xiàn)，G，H，使得AECG，BFDH，連結(jié)EF，F(xiàn)G，GH，HE.(1)求證：四邊形EFGH為平行四邊形；(2)若矩形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且FEB45°，tanAEH2，求AE的長(zhǎng)解：(1)證明：四邊形ABCD是矩形，ADBC，BADBCD90°，BFDH，AHCF，在RtAEH中，EH，在RtCFG中，F(xiàn)G，AECG，EHFG，同理，得EFHG，四邊形EFGH為平行四邊形；(2)在正方形ABCD中，ABAD1，設(shè)AEx，則BEx1，在RtBEF中，BEF45°，BEBF，BFDH，DHBEx1，AHADDHx2，在RtAEH中，tanAEH2，AH2AE，2x2x，解得x2，AE2.(10分)16(10分)2017·宜昌閱讀：能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)a，b，c，稱(chēng)為勾股數(shù)世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)，其勾股數(shù)組公式為其中mn0，m，n是互質(zhì)的奇數(shù)應(yīng)用：當(dāng)n1時(shí)，求有一邊長(zhǎng)為5的直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng)解：當(dāng)n1，a(m21)，bm，c(m21)，直角三角形有一邊長(zhǎng)為5，.當(dāng)a5時(shí)，(m21)5，解得m±(舍去)；.當(dāng)b5時(shí)，即m5，代入，得a12，c13，.當(dāng)c5時(shí)，(m21)5，解得m±3.m0，m3，代入，得a4，b3.綜上所述，直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng)分別為12，13或3，4.6