專題四 幾何變換壓軸題類型一 圖形的旋轉(zhuǎn)變換 幾何圖形的旋轉(zhuǎn)變換是近年來中考中的常考點(diǎn)，多與三角形、四邊形相結(jié)合解決旋轉(zhuǎn)變換問題，首先要明確旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角，關(guān)鍵是找出旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，利用旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等等性質(zhì)解題 如圖，在菱形ABCD中，AB2，BAD60°，過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，DFBC于點(diǎn)F.(1)如圖1，連接AC分別交DE，DF于點(diǎn)M，N，求證：MNAC；(2)如圖2，將EDF以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，其兩邊DE，DF分別與直線AB，BC相交于點(diǎn)G，P.連接GP，當(dāng)DGP的面積等于3時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角的大小并指明旋轉(zhuǎn)方向 【分析】 (1)連接BD，由BAD60°，得到ABD為等邊三角形，進(jìn)而證明點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答；(2)分EDF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩種情況，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解題 1(2017·濰坊)邊長(zhǎng)為6的等邊ABC中，點(diǎn)D，E分別在AC，BC邊上，DEAB，EC2.(1)如圖1，將DEC沿射線EC方向平移，得到DEC，邊DE與AC的交點(diǎn)為M，邊CD與ACC的角平分線交于點(diǎn)N.當(dāng)CC多大時(shí)，四邊形MCND為菱形？并說明理由(2)如圖2，將DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)(0°<<360°)，得到DEC，連接AD，BE.邊DE的中點(diǎn)為P.在旋轉(zhuǎn)過程中，AD和BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；連接AP，當(dāng)AP最大時(shí)，求AD的值(結(jié)果保留根號(hào)) 圖1圖22(2016·成都)如圖1，ABC中，ABC45°，AHBC于點(diǎn)H，點(diǎn)D在AH上，且DHCH，連接BD.(1)求證：BDAC；(2)將BHD繞點(diǎn)H旋轉(zhuǎn)，得到EHF(點(diǎn)B，D分別與點(diǎn)E，F(xiàn)對(duì)應(yīng))，連接AE.如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)(F不與C重合)，若BC4，tan C3，求AE的長(zhǎng)；如圖3，當(dāng)EHF是由BHD繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到時(shí)，設(shè)射線CF與AE相交于點(diǎn)G，連接GH，試探究線段GH與EF之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由 類型二 圖形的翻折變換 幾何圖形的翻折變換也是近年來中考中的常考點(diǎn)，多與三角形、四邊形相結(jié)合翻折變換的實(shí)質(zhì)是對(duì)稱，翻折部分的兩圖形全等，找出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，再結(jié)合勾股定理、相似的性質(zhì)與判定解題 (2016·蘇州)如圖，在ABC中，AB10，B60°，點(diǎn)D，E分別在AB，BC上，且BDBE4，將BDE沿DE所在直線折疊得到BDE(點(diǎn)B在四邊形ADEC內(nèi))，連接AB，則AB的長(zhǎng)為_ 【分析】 作DFBE于點(diǎn)F，BGAD于點(diǎn)G，由B60°，BDBE，得到BDE是等邊三角形，由對(duì)稱的性質(zhì)得到BDE也是等邊三角形，從而GDBF，然后利用勾股定理求解、 3(2017·安徽)在三角形紙片ABC中，A90°，C30°，AC30 cm，將該紙片沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在斜邊BC上的一點(diǎn)E處，折痕記為BD(如圖1)，剪去CDE后得到雙層BDE(如圖2)，再沿著過BDE某頂點(diǎn)的直線將雙層三角形剪開，使得展開后的平面圖形中有一個(gè)是平行四邊形，則所得平行四邊形的周長(zhǎng)為40或cm. 圖1圖24如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，將矩形沿AE折疊，使點(diǎn)D落在邊BC上的點(diǎn)F處，過點(diǎn)F作FGCD，交AE于點(diǎn)G，連接DG.(1)求證：四邊形DEFG為菱形；(2)若CD8，CF4，求的值 類型三 圖形的相似 圖形的相似常以三角形、四邊形為背景，與旋轉(zhuǎn)、翻折、動(dòng)點(diǎn)相結(jié)合，考查三角形相似的性質(zhì)及判定，難度較大，是中考中常考的幾何壓軸題與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的相似三角形，要根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況討論相似三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，進(jìn)而判定相似三角形，再利用相似三角形的性質(zhì)解題 (2016·青島)如圖，在矩形ABCD中，AB6 cm，BC8 cm，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1 cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1 cm/s；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)連接PO并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)Q作QFAC，交BD于點(diǎn)F.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0t6) ，解答下列問題：(1)當(dāng)t為何值時(shí)，AOP是等腰三角形；(2)設(shè)五邊形OECQF的面積為S(cm2)，試確定S與t的函數(shù)關(guān)系式 【分析】 (1)根據(jù)勾股定理求出AC的值，然后分類討論：當(dāng)APPO時(shí)，求出t的值；當(dāng)APAO時(shí)，求出t的值；(2)過點(diǎn)E作EHAC于點(diǎn)H，過點(diǎn)Q作QMAC于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DNAC于點(diǎn)N，交QF于點(diǎn)G，分別用t表示出EH，DN，DG，再利用面積的和差計(jì)算即可 5(2017·常德)如圖，RtABC中，BAC90°，D在BC上，連接AD，作BFAD分別交AD于E，AC于F.(1)如圖1，若BDBA，求證：ABEDBE；(2)如圖2，若BD4DC，取AB的中點(diǎn)G，連接CG交AD于點(diǎn)M.求證：GM2MC；AG2AF·AC. 圖1圖2參考答案【例1】 (1)如圖，連接BD，設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，在菱形ABCD中，DAB60°，ADAB，ABD為等邊三角形DEAB，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)AECD，.同理.M，N是線段AC的三等分點(diǎn)，MNAC.(2)ABCD，BAD60°，ADC120°.ADECDF30°，EDF60°.當(dāng)EDF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，EDGFDP，GDPEDF60°.DEDF，DEGDFP90°，DEGDFP，DGDP，DGP是等邊三角形則SDGPDG2.由DG23，又DG0，解得DG2.cosEDG，EDG60°.當(dāng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，DGP的面積是3.同理，當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，DGP的面積也是3.綜上所述，當(dāng)EDF以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，DGP的面積是3.【變式訓(xùn)練】 1解：(1)當(dāng)CC時(shí)，四邊形MCND為菱形理由：由平移的性質(zhì)得CDCD，DEDE.ABC為等邊三角形，BACB60°，ACC180°60°120°.CN是ACC的角平分線，NCC60°.ABDE，DEDE，ABDE，DECB60°，DECNCC，DECN.四邊形MCND為平行四邊形MECMCE60°，NCCNCC60°，MCE和NCC為等邊三角形，故MCCE，NCCC.又EC2，CC，CECC，MCCN，四邊形MCND為菱形(2)ADBE.理由：當(dāng)180°時(shí)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得ACDBCE.由(1)知ACBC，CDCE，ACDBCE，ADBE.當(dāng)180°時(shí)，ADACCD，BEBCCE，即ADBE.綜上可知，ADBE.連接CP，在ACP中，由三角形三邊關(guān)系得，AP<ACCP，當(dāng)A，C，P三點(diǎn)共線時(shí)AP最大，如圖所示此時(shí)，APACCP.在DCE中，由P為DE中點(diǎn)，得APDE，PD，CP3，AP639.在RtAPD中，由勾股定理得AD2.2解：(1)在RtAHB中，ABC45°，AHBH.BHDAHC90°，DHCH，BHDAHC，BDAC.(2)在RtAHC中，tan C3，3.設(shè)CHx，則BHAH3x，BCBHCH4x4，x1，AH3，CH1.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，EHFBHDAHC90°，EHAH3，CHDHFH，EHAFHC，1，EHAFHC，EAHC，tanEAHtan C3.如圖，過點(diǎn)H作HPAE于點(diǎn)P，則HP3AP，AE2AP.在RtAHP中，AP2HP2AH2，即AP2(3AP)29.AP，AE.由知，AEH和FHC都為等腰三角形，設(shè)AH交CG于點(diǎn)Q，GAHHCG，AGQCHQ，AGQCHQ90°.AQCGQH，AQCGQH.又旋轉(zhuǎn)角為30°，EHAFHC120°，QAG30°，2.【例2】 如圖，作DFBE于點(diǎn)F，BGAD于點(diǎn)G，B60°，BDBE4，BDE是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形將BDE沿DE所在的直線折疊得到BDE，BDE也是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，GDBF2.BD4，BG2.AB10，AG1064，AB2.故答案為2.【變式訓(xùn)練】 340或4(1)證明：由折疊的性質(zhì)知，DGFG，EDEF，AEDAEF，F(xiàn)GCD，F(xiàn)GEAED，F(xiàn)GEAEF，F(xiàn)GFE，DGGFEFDE，四邊形DEFG為菱形(2)解：設(shè)DEx，根據(jù)折疊的性質(zhì)，EFDEx，EC8x，在RtEFC中，F(xiàn)C2EC2EF2，即42(8x)2x2.解得x5，CE8x3.【例3】 (1)在矩形ABCD中，AB6 cm，BC8 cm，AC10 cm.當(dāng)APPO時(shí)，如圖，過點(diǎn)P作PMAO，AMAO.PMAADC90°，PAMCAD，APMACD，APt.當(dāng)APAO時(shí)，t5.0t6，t或t5均符合題意，當(dāng)t或t5時(shí)，AOP是等腰三角形(2)如圖，過點(diǎn)E作EHAC于點(diǎn)H，過點(diǎn)Q作QMAC于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DNAC于點(diǎn)N，交QF于點(diǎn)G，四邊形ABCD是矩形，ADBC，PAOECO.點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，AOCO.又AOPCOE，AOPCOE，CEAPt.CEHCAB，EH.SADCAD·DCDN·AC，DN.QMDN，CQMCDN，即.QM，DG.FQAC，DFQDOC，F(xiàn)Q，SSOECSOCDSDFQOC·EHOC·DNDG·FQt2t12，即S與t的函數(shù)關(guān)系式為St2t12.【變式訓(xùn)練】 5證明：(1)在RtABE和RtDBE中，ABEDBE.(2)如圖，過點(diǎn)G作GHAD交BC于H，AGBG，BHDH.BD4DC，設(shè)DC1，則BD4，BHDH2.GHAD，GM2MC.如圖，過點(diǎn)C作CNAC交AD的延長(zhǎng)線于N，則CNAG，AGMNCM，.由知GM2MC，AG2NC.BACAEB90°，ABFCAN90°BAE，ACNBAF，.AB2AG，2CN·AGAF·AC，AG2AF·AC.8