考點(diǎn)十五直線與圓、橢圓、雙曲線、拋物線一、選擇題1(2019·陜西寶雞中學(xué)二模)若直線x(1m)y20與直線mx2y40平行，則m的值是()A1 B2 C1或2 D答案A解析當(dāng)m1時(shí)，兩直線分別為x20和x2y40，此時(shí)兩直線相交，不符合題意當(dāng)m1時(shí)，兩直線的斜率都存在，由直線平行可得解得m1，故選A.2(2019·湖北黃岡調(diào)研)過(guò)點(diǎn)A(1,2)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則該直線方程為()Ayx1 Byx3C2xy0或xy3 D2xy0或xy1答案C解析當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，方程為y2x，即2xy0；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為xyk，把點(diǎn)(1,2)代入直線的方程可得k3，故直線方程是xy30.綜上可得所求的直線方程為2xy0或xy30，故選C.3(2019·東北三省三校第二次模擬)圓x24xy20與圓x2y24x30的公切線共有()A1條 B2條 C3條 D4條答案D解析x24xy20(x2)2y222，圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為2；x2y24x30(x2)2y212，圓心坐標(biāo)為(2,0)，半徑為1.兩圓圓心距為4，兩圓半徑和為3，因?yàn)?>3，所以兩圓的位置關(guān)系是外離，故兩圓的公切線共有4條，故選D.4(2019·河北邯鄲一模)位于德國(guó)東部薩克森州的萊科勃克橋(如圖所示)有“仙境之橋”之稱(chēng)，它的橋形可以近似地看成拋物線，該橋的高度為5 m，跨徑為12 m，則橋形對(duì)應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A. m B. m C. m D. m答案D解析以橋頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，橋形的對(duì)稱(chēng)軸為y軸建立直角坐標(biāo)系xOy，結(jié)合題意可知，該拋物線x22py(p>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(6，5)，則3610p，解得p，故橋形對(duì)應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p，故選D.5已知雙曲線1的離心率為，則a的值為()A1 B2 C1或2 D1答案C解析當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a>0,2a2>0，e22，解得a1，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a<0，2a2<0，e22，解得a2，綜上知a1或a2.6已知圓(xa)2y21與直線yx相切于第三象限，則a的值是()A. B C± D2答案B解析依題意得，圓心(a,0)到直線xy0的距離等于半徑，即有1，|a|.又切點(diǎn)位于第三象限，結(jié)合圖形(圖略)可知，a，故選B.7若拋物線y22px(p>0)上的點(diǎn)A(x0，)到其焦點(diǎn)的距離是A到y(tǒng)軸距離的3倍，則p等于()A. B1 C. D2答案D解析由題意3x0x0，x0，則2，p>0，p2.8已知橢圓C：y21與動(dòng)直線l：2mx2y2m10(mR)，則直線l與橢圓C交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A0 B1 C2 D不確定答案C解析由題2mx2y2m10，即m(2x2)12y0可知直線l過(guò)定點(diǎn)，將代入y2，得<1，即點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，故直線l與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，故選C.二、填空題9(2019·湖南株洲第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))設(shè)直線l：3x4ya0，與圓C：(x2)2(y1)225交于A，B，且|AB|6，則a的值是_答案10或30解析因?yàn)閨AB|6，所以圓心到直線的距離為d4，所以4，即a10或a30.10(2019·河南鶴壁模擬)與雙曲線1具有相同的漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3，2)的雙曲線方程是_答案1解析設(shè)與雙曲線1具有相同的漸近線的雙曲線的方程為m(m0)，代入點(diǎn)A(3，2)，解得m，則所求雙曲線的方程為，即1.11已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1，則橢圓C的方程為_(kāi)答案y21解析設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)，由題意得解得a2，b1，所以橢圓C的方程為y21.12過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓x2y24x4y0截得的弦長(zhǎng)是_答案解析依題意，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0)，相應(yīng)的直線方程是y(x1)，即xy0.題中的圓(x2)2(y2)216的圓心坐標(biāo)是(2，2)、半徑為4，則圓心(2，2)到直線xy0的距離d，因此所求的弦長(zhǎng)為2.三、解答題13過(guò)原點(diǎn)O作圓x2y28x0的弦OA.(1)求弦OA的中點(diǎn)M的軌跡方程；(2)延長(zhǎng)OA到N，使|OA|AN|，求點(diǎn)N的軌跡方程解(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，則A(2x,2y)，因?yàn)辄c(diǎn)A在圓x2y28x0上，所以(2x)2(2y)216x0，即x2y24x0.因此點(diǎn)M的軌跡方程為x2y24x0.(2)設(shè)N(x，y)，|OA|AN|，A為線段ON的中點(diǎn)，A，又A在圓x2y28x0上，224x0，即x2y216x0.因此，點(diǎn)N的軌跡方程為x2y216x0.14(2019·安徽合肥第二次質(zhì)檢)已知點(diǎn)A(1,0)和動(dòng)點(diǎn)B，以線段AB為直徑的圓內(nèi)切于圓O：x2y24.(1)求動(dòng)點(diǎn)B的軌跡方程；(2)已知點(diǎn)P(2,0)，Q(2，1)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q的直線l與動(dòng)點(diǎn)B的軌跡交于M，N兩點(diǎn)，求證：直線PM與直線PN的斜率之和為定值解(1)如圖，設(shè)以線段AB為直徑的圓的圓心為C，取A(1，0)依題意，圓C內(nèi)切于圓O，設(shè)切點(diǎn)為D，則O，C，D三點(diǎn)共線，O為AA的中點(diǎn)，C為AB的中點(diǎn)，|AB|2|OC|.|BA|BA|2|OC|2|AC|2|OC|2|CD|2|OD|4>|AA|2，動(dòng)點(diǎn)B的軌跡是以A，A為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，設(shè)其方程為1(a>b>0)，則2a4,2c2，a2，c1，b2a2c23，動(dòng)點(diǎn)B的軌跡方程為1.(2)證明：當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，直線l的方程為x2，此時(shí)直線l與橢圓1相切，與題意不符當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y1k(x2)由消去y整理得(4k23)x2(16k28k)x16k216k80.直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，(16k28k)24(4k23)(16k216k8)>0，解得k<.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2，x1x2，kPMkPN2k2k2k2k2k32k3(定值)一、選擇題1圓x2y22x2y10上的點(diǎn)到直線xy2距離的最大值是()A1 B2 C1 D22答案A解析將圓的方程化為(x1)2(y1)21，即圓心為(1,1)，半徑為1，則圓心到直線xy2的距離d，故圓上的點(diǎn)到直線xy2距離的最大值為d11.2若過(guò)點(diǎn)P(2,1)的直線l與圓C：x2y22x4y70相交于兩點(diǎn)A，B，且ACB60°(其中C為圓心)，則直線l的方程是()A4x3y50 Bx2或4x3y50C4x3y50 Dx2或4x3y50答案B解析由題意可得，圓C的圓心為C(1,2)，半徑為2，因?yàn)锳CB60°，所以ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以圓心C到直線l的距離為3.若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x2，與圓相交，且圓心C到直線l的距離為3，滿足條件；若直線l的斜率存在，不妨設(shè)l：y1k(x2)，則圓心C到直線l的距離d3，解得k，所以此時(shí)直線l的方程為4x3y50.故選B.3(2019·湖南師大附中月考七)已知?jiǎng)訄AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,0)，且截y軸所得的弦長(zhǎng)為4，則圓心C的軌跡是()A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線答案D解析設(shè)圓心C(x，y)，弦為BD，過(guò)點(diǎn)C作CEy軸，垂足為E，則|BE|2，|CA|2|CB|2|CE|2|BE|2，(x2)2y222x2，化為y24x，故選D.4(2019·山西晉城三模)設(shè)雙曲線C：1(m>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，其中M在左支上，N在右支上若F2MNF2NM，則|MN|()A8 B8 C4 D4答案A解析由F2MNF2NM可知|F2M|F2N|.由又|MF2|MF1|4，|NF1|NF2|4，所以|NF1|MF1|MN|8，故選A.5拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，N為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，M為y軸上一點(diǎn)，MNF為直角，若線段MF的中點(diǎn)E在拋物線C上，則MNF的面積為()A. B. C. D3答案C解析如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)N在第二象限，連接EN，易知F(1,0)，因?yàn)镸NF為直角，點(diǎn)E為線段MF的中點(diǎn)，所以|EM|EF|EN|，又E在拋物線C上，所以EN準(zhǔn)線x1，E，所以N(1，)，M(0，2)，所以|NF|，|NM|，所以MNF的面積為.6拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)F且傾斜角為的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|8，則拋物線的方程為()Ay23x By24x Cy26x Dy28x答案C解析拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為的直線方程為y，聯(lián)立直線與拋物線的方程，得3x25pxp20，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，則xAxB.所以|AB|xAxBp8，所以p3，所以拋物線的方程為y26x.7(2019·山東四校聯(lián)合考試)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的一點(diǎn)，MF1F2的內(nèi)心為I，直線MI交x軸于點(diǎn)E，若2，則橢圓C的離心率是()A. B. C. D.答案B解析MF1F2的內(nèi)心為I，連接F1I和F2I，則F1I為MF1F2的平分線，即，同理，所以2，即2，則e，故選B.8(2019·廣西桂林、崇左二模)過(guò)雙曲線x21的右支上一點(diǎn)P分別向圓C1：(x2)2y24和圓C2：(x2)2y21作切線，切點(diǎn)分別為M，N，則|PM|2|PN|2的最小值為()A5 B4 C3 D2答案A解析圓C1：(x2)2y24的圓心為(2,0)，半徑為r12，圓C2：(x2)2y21的圓心為(2,0)，半徑為r21，設(shè)雙曲線x21的左、右焦點(diǎn)為F1(2，0)，F(xiàn)2(2,0)，連接PF1，PF2，F(xiàn)1M，F(xiàn)2N，可得|PM|2|PN|2(|PF1|2r)(|PF2|2r)(|PF1|24)(|PF2|21)|PF1|2|PF2|23(|PF1|PF2|)(|PF1|PF2|)32a(|PF1|PF2|)32(|PF1|PF2|)32×2c32×435.當(dāng)且僅當(dāng)P為右頂點(diǎn)時(shí)，取得等號(hào)，故選A.二、填空題9兩條漸近線所成的銳角為60°，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)答案x21或1解析因?yàn)閮蓷l漸近線所成的銳角為60°，所以一條漸近線的傾斜角為30°或60°，斜率為或，方程為x±y0或x±y0.設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23y2(0)或3x2y2(0)，將點(diǎn)(，)代入可求得7，3.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21或1.10(2019·河北邯鄲一模)若圓C：x22n的圓心為橢圓M：x2my21的一個(gè)焦點(diǎn)，且圓C經(jīng)過(guò)M的另一個(gè)焦點(diǎn)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)答案x2(y1)24解析由題意得，橢圓M：x21(m>0)的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，另一個(gè)焦點(diǎn)在圓C上，所以解得m，n4，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y1)24.11若圓x2y24x4y0上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：ykx的距離為，則直線l的斜率的取值范圍是_答案2，2解析圓的方程可化為(x2)2(y2)28，其圓心為(2,2)，半徑為2，當(dāng)圓心(2,2)到直線kxy0的距離為時(shí)，有，整理得k24k10，解得k2±，結(jié)合圖形可知(圖略)，為使圓x2y24x4y0上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l的距離為，需有k2，212如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)若|AB|BF2|AF2|345，則雙曲線的離心率為_(kāi)答案解析據(jù)題意設(shè)|AB|3x，|BF2|4x，|AF2|5x，故有ABBF2，又根據(jù)雙曲線定義，得解得xa，|AF1|3a，故有|F1B|6a，|BF2|4a，|F1F2|2c，由勾股定理可得36a216a24c2，所以e.三、解答題13在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，點(diǎn)P在橢圓C上(1)求橢圓C的方程；(2)若斜率存在，縱截距為2的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若直線AP，BP的斜率均存在，求證：直線AP，OP，BP的斜率依次成等差數(shù)列解(1)由，1及a2b2c2，得a2，b，c1，C：1.(2)證明：設(shè)l：ykx2，代入橢圓C的方程，知(34k2)x216kx40.>0，k2>.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，kAPkBP3.kAPkBP2kOP，直線AP，OP，BP的斜率依次成等差數(shù)列14(2019·湖北武漢高三階段測(cè)試)已知拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，x軸上方的點(diǎn)M(2，m)在拋物線上，且|MF|，直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A，B與M不重合)，設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k1，k2.(1)求拋物線的方程；(2)當(dāng)k1k22時(shí)，求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)解(1)由拋物線的定義可知|MF|(2)，p1，拋物線的方程為y22x.(2)證明：由(1)可知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,2)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線l：xt，則可取A(t，)，B(t，)，k1k22，得t0，故A，B重合，舍去當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線l與拋物線方程聯(lián)立得整理得k2x2(2kb2)xb20，(2kb2)24k2b28kb4>0，x1x2，x1x2，又k1k22，即(kx1b2)(x22)(kx2b2)(x12)2(x12)(x22)，2kx1x22k(x1x2)b(x1x2)2(x1x2)4b82x1x24(x1x2)8.將代入得，b2b22k(b1)0，即(b1)(b22k)0，得b1或b22k.當(dāng)b1時(shí)，直線l為ykx1，此時(shí)直線恒過(guò)(0，1)；當(dāng)b22k時(shí)，直線l為ykx2k2k(x2)2，此時(shí)直線恒過(guò)(2,2)(舍去)直線l恒過(guò)定點(diǎn)(0，1)