方程與方程組教學(xué)準(zhǔn)備一. 教學(xué)目標(biāo)：1. 掌握一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程、分式方程的定義，2. 使學(xué)生掌握解方程的基本思想、方法、步驟。并能熟練運用各技巧解一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程、分式方程。3. 列一元一次方程 二元一次方程組、一元二次方程、分式方程解應(yīng)用題。二. 教學(xué)重點與難點1. 一元二次方程、分式方程的解法及其運用 2. 列方程解決生活實際中的問題三.知識要點知識點1、方程（組）的解（整數(shù)解）等概念。使等式左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解知識點2、一元一次方程及二元一次方程組的定義只含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的次數(shù)是1系數(shù)不為0的方程叫做一元一次方程幾個二元一次方程組成一組，叫做二元一次方程組知識點3、一元一次方程、二元一次方程組的解法一元一次方程的解法是：去分母，去括號，移項，合并同類，系數(shù)化為1二元一次方程組的解法是：通過加減，代入消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程知識點4、一元一次方程與一次函數(shù)、一元一次不等式之間的關(guān)系 當(dāng)為二元一次方程中的一個未知數(shù)的取值確定范圍時，可利用一元一次不等式組確定另一個未知數(shù)的取值范圍由于任何二元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的形式，所以解二元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)y0時，求x的值。從圖象上看，這相當(dāng)于已知縱坐標(biāo)，確定橫坐標(biāo)的值。知識點5、一元二次方程的定義ax2bxc0（a0），a，b，c均為常數(shù)，尤其a不為零要切記。知識點6、一元二次方程的幾種解法如因式分解法、公式法等，弄清化一元二次方程為一元一次方程的轉(zhuǎn)化思想。知識點7、分式方程的解法（1）去分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程（2）解整式方程（3）檢驗知識點8、解分式方程要驗根的原因解分式方程時我們在方程的兩邊同乘了一個可能使分母為0的整式.因為解分式方程可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗.知識點9、關(guān)于行程、工程、儲蓄、打折銷售等基本類型應(yīng)用題的分析掌握生活中問題的數(shù)學(xué)建模的方法，多做一些綜合性的訓(xùn)練。例題精講例1. 選擇題（1）中央電視臺2套“開心辭典”欄目中，有一期的題目如圖所示，兩個天平都平衡，則三個球體的重量等于（D）個正方體的重量。A. 2B. 3C. 4 D. 5 （2）如圖給出的是2007年某月份的日歷表，任意圈出一豎列上相鄰的三個數(shù)，請你運用方程思想來研究，發(fā)現(xiàn)這三個數(shù)的和不可能是（ D ） A. 69B. 54C. 27D. 40（3）小明的父親到銀行存入20000元人民幣，存期一年，年利率為1.98%，到期后應(yīng)交納所獲利息的20%的利息稅，那么小明的父親存款到期交利息稅后共得款（ D ）A. 20158.4元 B. 20198元 C. 20396元 D. 20316.8元（4）我國股市交易中每買賣一次需交千分之七點五的各種費用，某投資者以每股10元的價格買入上海某股票1000股，當(dāng)該股票漲到12元時全部賣出，該投資者實際盈利為（ C ）A. 2000元 B. 1925元C. 1835元 D. 1910元（5）一件商品按成本價提高40%后標(biāo)價，再打8折（標(biāo)價的80%）銷售，售價為240元，設(shè)這件商品的成本價為x元，根據(jù)題意，下面所列的方程正確的是（ B ） A. x·40%×80%240 B. x（140%）×80%240C. 240×40%×80%x D. x·40%240×80%（6）在3×3方格上做填字游戲，要求每行每列及對角線上三個方格中的數(shù)字和都等于S，又填在圖中三格中的數(shù)字如圖，若要能填成，則（ B ） 10813A. S24 B. S30 C. S31 D. S39（7）已知方程組的解為，則2a3b的值為（ B ） A. 4 B. 6 C. 6 D. 4（8）如圖，平行四邊形的周長是48，對角線與相交于點，的周長比的周長多6，若設(shè)，則可用列方程組的方法求，的長，這個方程組可以是：（A）A. B. C. D. （9）如圖，已知函數(shù)yaxb和ykx的圖象交于點P，則根據(jù)圖像可得，關(guān)于的二元一次方程組的解是（ C ）A. （10）不解方程判別方程2x23x40的根的情況是（ B ） A. 有兩個相等實數(shù)根；B. 有兩個不相等的實數(shù)根； C. 只有一個實數(shù)根； D. 沒有實數(shù)根 （11）在一幅長80cm，寬50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形圖如果要使整個掛圖的面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是（ B ） A. x2130x14000 B. x265x3500C. x2130x14000 D. x265x3500（12）兩圓的半徑分別是方程x23x20的兩根。且圓心距d1，則兩圓的位置關(guān)系是（ B ）A. 外切B. 內(nèi)切C. 外離D. 相交（13）已知x是實數(shù)，且，那么x23x的值為（ B ）A. 1 B. 3或1 C. 3 D. 1或3（14）分式的值為0，則x的取值為（ A ）。A. x3 B. x3 C. x3或x1D. x3或x1（15）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為（ C ）A. 2B. 0 C. 1 D. 2例2. 填空題（1）我市某縣城為鼓勵居民節(jié)約用水，對自來水用戶按分段計費方式收取水費：若每月用水不超過7立方米，則按每立方米1元收費；若每月用水超過7立方米，則超過部分按每立方米2元收費，如果某居民戶今年5月繳納了17元水費，那么這戶居民今年5月的用水量為12立方米。 （2）把一張面值50元的人民幣換成10元、5元的人民幣，共有4種換法（3）若一個等腰三角形三邊長均滿足方程x26x80，則此三角形的周長為10（4）當(dāng)k的值是0（填出一個值即可）時，方程 只有一個實數(shù)根。例3. 方程（m1）x|m|1（m3）x10 （1）m取何值時，方程是一元二次方程，并求出此方程的解；（2）m取何值時，方程是一元一次方程解：（1）m1，x1 （2）m0或m1例4. 某校的一間階梯教室，第1排的座位數(shù)為a，從第2排開始，每一排都比前一排增加b個座位。請你在下表的空格里填寫一個適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式：第1排的座位數(shù)第2排的座位數(shù)第3排的座位數(shù)第4排的座位數(shù)aaba2b已知第4排有18個座位，第15排座位數(shù)是第5排座位數(shù)的2倍，求第21排有多少個座位？解：（1） （2）依題意得 解得 1220×252答：第21排有52個座位. 例5. 某印刷廠1月份印刷了書籍60萬冊，第一季度共印刷了200萬冊，問2、3月份平均每月的增長率是多少？解：設(shè)2、3月份平均每月的增長率為x，即6060（1x）60（1x）2200設(shè)增長率為x列方程6060（1x）60（1x）2200例6. 探究： （1）方程x22x10的根為x1_，x2_，則x1x1_，x1·x2_； （2）方程x23x10的根為x1_，x2_，則x1x2_，x1·x2_； （3）方程3x24x70的根為x1_，x2_，則x1x2_，x1·x2_ 由（1）（2）（3）你能得到什么猜想？并證明你的猜想請用你的猜想解答下題已知2是方程x24xC0的一個根求方程的另一個根及C的值解：（1）x11，x21，x1x22，x1·x21 （2）x1，x1x23，x1·x21 （3）x11，x2，x1x2，x1·x2 猜想：ax2bxc0的兩根為x1與x2，則x1x2，x1·x2，證明略應(yīng)用：另一根為2，C1例7. 某體育彩票經(jīng)銷商計劃用45000元從省體彩中心購進(jìn)彩票20扎，每扎1000張，已知體彩中心有A，B，C三種不同價格的彩費，進(jìn)價分別是A種彩票每張1.5元，B種彩票每張2元，C種彩票每張2.5元 （1）若經(jīng)銷商同時購進(jìn)兩種不同型號的彩票20扎，用去45000元，請你設(shè)計進(jìn)票方案； （2）若銷售A型彩票一張獲手續(xù)費0.2元，B型彩票一張獲手續(xù)費0.3元，C型彩票張獲手續(xù)費0.5元在購進(jìn)兩種彩票的方案中，為使銷售完時獲得手續(xù)費最多，你選擇哪種進(jìn)票方案？ （3）若經(jīng)銷商準(zhǔn)備用45000元同時購進(jìn)A，B，C三種彩票20扎，請你設(shè)計進(jìn)票方案解：可設(shè)經(jīng)銷商從體彩中心購進(jìn)A種彩票x張，B種彩票y張，C種彩票z張，則可分以下三種情況考慮：（1）只購進(jìn)A種彩票和B種彩票，依題意可列方程組 解得x<0，所以無解只購進(jìn)A種彩票和C種彩票，依題意可列方程組，只購進(jìn)B種彩票和C種彩票，依題可列方程組，綜上所述，若經(jīng)銷商同時購進(jìn)不同型號的彩票，共有兩種方案可行，即A種彩票5扎，C種彩票15扎或B種彩票與C種彩票各10扎（2）若購進(jìn)A種彩票5扎，C種彩票15扎，銷售完后獲手續(xù)費為0.2×50000.5×150008500（元）；若購進(jìn)B種彩票與C種彩票各10扎，銷售完后獲手續(xù)費為0.3×100000.5×100008000（元），為使銷售完時獲得手續(xù)費最多，選擇的進(jìn)票方案為A種彩票5扎，C種彩票15扎（3）若經(jīng)銷商準(zhǔn)備用45000元同時購進(jìn)A，B，C三種彩票共20扎設(shè)購進(jìn)A種彩票x扎，B種彩票y扎，C種彩票z扎，則 1x<5，又x為正整數(shù)，共有4種進(jìn)票方案，即A種1扎，B種8扎，C種11扎，或A種2扎，B種6扎，C種12扎，或A種3扎，B種4扎，C種13扎，或A種4扎，B種2扎，C種14扎課后練習(xí)一. 填空題： 1. 方程 2xy5 的所有正整數(shù)解為2. 若 是方程3ax2y2 的解，則 a3. 當(dāng) a 時，方程 （a1） x2x20 是一元二次方程。4. 方程的解為5. 如果方程有增根，那么m6. 3名同學(xué)參加乒乓球賽，每兩名同學(xué)之間賽一場，一共需要場比賽，則5名同學(xué)一共需要比賽。7. 如圖，四個一樣大的小矩形拼成一個大矩形，如果大矩形的周長為12cm，那么小矩形的周長為cm。8. 長20m、寬15m的會議室，中間鋪一塊地毯，地毯的面積是會議室面積的，若四周未鋪地毯的留空寬度相同，則留空的寬度為。二. 選擇題： 1. 下列方程中，屬于一元一次方程的是（）A. xy1B. C. x2x1D. x12. 已知3x2y0，則2x4y3的值為（）A. 3B. 3 C. 1 D. 03. 用“加減法”將方程組中的x消去后得到的方程是（）A. y8B. 7y10C. 7y8D. 7y104. 下列方程中是一元二次方程的是（）A. x35B. xy3C. D. 2x2105. 若關(guān)于x的方程無解，則a的值等于（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 46. 方程2x（x2）3 （x2）的根是（）A. B. x2 C. D. 7. 把方程x234x配方得（）A. （x2）27B. （x2）21 C. （x2）21D. （x2）228. 二元二次方程組的解是（ ）A. B. C. D. 9. 在2006年德國世界杯足球賽中，32支足球隊將分為8個小組進(jìn)行單循環(huán)比賽，小組比賽規(guī)則如下：勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分若小組賽中某隊的積分為5分，則該隊必是（ ）A. 兩勝一負(fù)B. 一勝兩平C. 一勝一平一負(fù)D. 一勝兩負(fù)10. 某車間原計劃 x 天內(nèi)生產(chǎn)零件 50 個，由于采用新技術(shù)，每天多生產(chǎn)零件 5 個，因此提前3 天完成任務(wù)，則可列出的方程為（）A. B. C. D. 11. 把一個小球以 20m/s 的速度豎直向上彈出，它在空中高度h（m）與時間t（s）滿足關(guān)系：h20t5t2，當(dāng)h20時，小球的運動時間為（ ）A. 20sB. 2sC. D. 12. 某商品因換季準(zhǔn)備打折出售，若按定價的七五折出售將賠 25 元，若按定價的九折出售將賺20元，則這種商品的定價為（）A. 280元 B. 300元 C. 320元 D. 200元三. 解答題1. 我國第一條城際鐵路合寧鐵路（合肥至南京）建成后，合肥至南京的鐵路運行里程將由原來的312km縮短至154km，設(shè)計時速是原來時速的2.5倍，旅客列車運行時間比原來縮短約3.13h，求合寧鐵路的設(shè)計時速。2. 某商場將進(jìn)貨價為30元的臺燈以40元售出，平均每月能售出600個調(diào)查表明：這種臺燈的售價每上漲1元，其銷售量就將減少10個為了實現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤，這種臺燈的售價應(yīng)定為多少？這時應(yīng)進(jìn)臺燈多少個？請你利用方程解決這一問題3. 機(jī)械加工需要用油進(jìn)行潤滑以減少摩擦，某企業(yè)加工一臺大型機(jī)械設(shè)備潤滑用油量為90千克，用油的重復(fù)利用率為60%，按此計算，加工一臺大型機(jī)械設(shè)備的實際耗油量為36千克為了建設(shè)節(jié)約型社會，減少油耗，該企業(yè)的甲、乙兩個車間都組織了人員為減少實際耗油量進(jìn)行攻關(guān) （1）甲車間通過技術(shù)革新后，加工一臺大型機(jī)械設(shè)備潤滑油用油量下降到70千克，用油的重復(fù)利用率仍然為60%。問甲車間技術(shù)革新后，加工一臺大型機(jī)械設(shè)備的實際耗油量是多少千克？（2）乙車間通過技術(shù)革新后，不僅降低了潤滑用油量，同時也提高了用油的重復(fù)利用率，并且發(fā)現(xiàn)在技術(shù)革新的基礎(chǔ)上，潤滑用油量每減少1千克，用油量的重復(fù)利用率將增加1.6%這樣乙車間加工一臺大型機(jī)械設(shè)備的實際耗油量下降到12千克問乙車間技術(shù)革新后，加工一臺大型機(jī)械設(shè)備潤滑用油量是多少千克？用油的重復(fù)利用率是多少？ 4. 某玩具廠工人的工作時間規(guī)定：每月25天，每天8h，待遇：按件訂酬，多勞多得，每月另加福利工資100元，按月結(jié)算。該廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，工人每生產(chǎn)一件A產(chǎn)品，可得到報酬0.75元，每生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，可得報酬1.40元，下表記錄了工人小李的工作情況：生產(chǎn)A種產(chǎn)品件數(shù)（件）生產(chǎn)B種產(chǎn)品件數(shù)（件）總時間（min）11353285根據(jù)上表提供的信息，請回答下列問題：（1）小李每生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品、每生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，分別需要多少分鐘？（2）如果生產(chǎn)各種產(chǎn)品的數(shù)目沒有限制，那么小李每月的工資數(shù)目在什么范圍之內(nèi)？練習(xí)答案一. 填空題： 1. 2. a2 3. a1 4. 0 5. m3 6. 3 10 7. 6 8. 2.5m二. 選擇題： 1. D 2. B 3. D 4. D 5. A 6. C 7. B 8. C 9. B 10. A 11. B 12. B三. 解答題1. 解：設(shè)旅客列車現(xiàn)行速度是xkm/h，則，x80經(jīng)檢驗x80是原方程的根，而2.5×80200。故設(shè)計時速是200km/h。2. 解：設(shè)售價為x元，則（x30）600（x40）×1010000，解得x50，x80，即售價為50元時進(jìn)500個售價為80元時進(jìn)200個3. 解：（1）由題意，得70×（160%）70×40%28（千克）（2）設(shè)乙車間加工一臺大型機(jī)械設(shè)備潤滑用油量為x千克由題意，得：x×1（90x）×1.6%60%12，整理得x65x7500，解得：x175，x210（舍去），（9075）×1.6%60%84%答：（1）技術(shù)革新后，甲車間加工一臺大型機(jī)械設(shè)備的實際耗油量是28千克（2）技術(shù)革新后，乙車間加工一臺大型機(jī)械設(shè)備潤滑用油量是75千克，用油的重復(fù)利用率是84% 4. 解：設(shè)小李每生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品、每生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品分別需要xmin和ymin，根據(jù)題意，得解之，得（2）方法一：設(shè)小李每月生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，B種產(chǎn)品y件（x、y均為非負(fù)整數(shù)），月工資數(shù)目為w元，根據(jù)題意，得 即w最大0.3·0940，當(dāng)x800時，w最小0.3·800940700，因為生產(chǎn)各種產(chǎn)品的數(shù)目沒有限制，所以700w940，即小李每月的工資數(shù)目不低于700元而不高于940元。方法二：由（1）知小李生產(chǎn)A種產(chǎn)品每分鐘可獲利0.05元，生產(chǎn)B種產(chǎn)品每分鐘可獲利0.07元，若小李全部生產(chǎn)A種產(chǎn)品，每月的工資數(shù)目為700元，若小李全部生產(chǎn)B種產(chǎn)品，每月的工資數(shù)目為940元，小李每月的工資數(shù)目不低于700元而不高于940元。9