專題(四)　特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定 1．(2017·荊州)如圖，在矩形ABCD中，連接對角線AC，BD，將△ABC沿BC方向平移，使點B移到點C，得到△DCE. (1)求證：△ACD≌△EDC； (2)請?zhí)骄俊鰾DE的形狀，并說明理由． 解：(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°. 由平移的性質(zhì)得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ADC＝90°，DC＝AB， ∴AD＝EC. 在△ACD和△EDC中， ∴△ACD≌△EDC(SAS)． (2)△BDE是等腰三角形．理由如下： ∵AC＝BD，DE＝AC，∴BD＝DE. ∴△BDE是等腰三角形． 2．如圖，在?ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，CF＝AE，連接AF，BF. (1)求證：四邊形BFDE是矩形； (2)若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求證：AF是∠DAB的平分線． 證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD，AB＝CD. 又∵CF＝AE， ∴BE＝DF. 又∵BE∥DF， ∴四邊形BFDE為平行四邊形． ∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°. ∴四邊形BFDE是矩形． (2)∵四邊形BFDE是矩形， ∴∠BFD＝90°.∴∠BFC＝90°. 在Rt△BFC中，由勾股定理，得 BC＝＝＝10. ∴AD＝BC＝10. 又∵DF＝10，∴AD＝DF. ∴∠DAF＝∠DFA. ∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠FAB. ∴∠DAF＝∠FAB. ∴AF是∠DAB的平分線． 3．(2017·張掖)如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，過對角線BD中點O的直線分別交AB，CD邊于點E，F(xiàn). (1)求證：四邊形BEDF是平行四邊形； (2)當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，求EF的長． 解：(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點， ∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD. ∴∠OBE＝∠ODF. 在△BOE和△DOF中， ∴△BOE≌△DOF(ASA)．∴EO＝FO. 又∵OB＝OD.∴四邊形BEDF是平行四邊形． (2)∵四邊形BEDF是菱形，∴BD⊥EF. 設(shè)BE＝x，則 DE＝x，AE＝6－x. 在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2， ∴x2＝42＋(6－x)2.解得x＝. ∵BD＝＝2， ∴OB＝BD＝. ∵BD⊥EF，∴EO＝＝. ∴EF＝2EO＝. 4．(2016·青島)已知：如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，BC上的點，且AE＝CF，直線EF分別交BA的延長線、DC的延長線于點G，H，交BD于點O. (1)求證：△ABE≌△CDF； (2)連接DG，若DG＝BG，則四邊形BEDF是什么特殊四邊形？請說明理由． 解：(1)證明：∵四邊形 ABCD是平行四邊形， ∴AB＝CD，∠BAE ＝∠DCF. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(SAS)． (2)四邊形BEDF是菱形．理由： ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD＝BC，AD∥BC. ∵AE＝CF，∴DE＝BF. ∴四邊形BEDF是平行四邊形． ∴BO＝DO. 在△BGD中，∵BG＝DG，BO＝DO，∴GO⊥BD. ∴四邊形BEDF是菱形． 5．(2017·青島)已知：如圖，在菱形ABCD 中，點E，O，F(xiàn) 分別是邊AB，AC，AD的中點，連接CE，CF，OF. (1)求證：△BCE≌△DCF； (2)當(dāng)AB與BC滿足什么條件時，四邊形AEOF是正方形？請說明理由． 解：(1)證明：∵四邊形ABCD為菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D. 又∵E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，∴BE＝DF. 在△BCE和△DCF中， ∴△BCE≌△DCF(SAS)． (2)當(dāng)AB與BC滿足AB⊥BC時，四邊形AEOF為正方形．理由如下： ∵E，O分別是AB，AC的中點，∴EO∥BC. 又∵BC∥AD，∴OE∥AD，即OE∥AF. 同理可證OF∥AE，∴四邊形AEOF為平行四邊形． ∵在菱形ABCD 中，點E，F(xiàn) 分別是邊AB, AD的中點， ∴AE＝AF.∴四邊形AEOF為菱形． ∵AB⊥BC，∴∠BAD＝∠B＝90°. ∴四邊形AEOF為正方形． 6．如圖1，在?ABCD中，AF平分∠BAD交BC于點F，CE平分∠BCD交AD于點E. 　　　　 圖1　　　　　　　　　　　　　　圖2 (1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形； (2)如圖2，若BE⊥EC，求證：四邊形ABFE是菱形． 證明：(1)∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD， ∴∠FAE＝∠BAE，∠FCE＝∠FCD. ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠BAE＝∠FCD，AD∥BC. ∴∠FAE＝∠FCE，∠FCE＝∠CED. ∴∠FAE＝∠CED. ∴AF∥EC. 又∵AE∥CF， ∴四邊形AFCE為平行四邊形． (2)∵AF∥EC，BE⊥EC， ∴∠AOE＝∠BEC＝90°. ∴∠AOE＝∠AOB＝90°. 在△ABO和△AEO中， ∴△ABO≌△AEO(ASA)． ∴BO＝EO. 同理可得△ABO≌△FBO， ∴AO＝FO. ∴四邊形ABFE是平行四邊形． 又∵AF⊥BE， ∴平行四邊形ABFE是菱形． 7．如圖所示，E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，AD的中點． (1)當(dāng)四邊形ABCD是矩形時，四邊形EFGH是菱形，請說明理由； (2)當(dāng)四邊形ABCD滿足什么條件時，四邊形EFGH為正方形？并說明理由． 解：(1)理由：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD. 由題意，得EF＝AC，EH＝ BD，GH＝AC，GF＝BD， ∴EF＝EH＝GH＝GF. ∴四邊形EFGH是菱形． (2)當(dāng)四邊形ABCD滿足AC＝BD且AC⊥BD時，四邊形EFGH為正方形．理由： ∵E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AB，BC的中點， ∴EF∥AC，EF＝AC. 同理：EH∥BD，EH＝BD，GF＝BD，GH＝AC. 又∵AC＝BD，∴EF＝EH＝GH＝GF. ∴四邊形EFGH是菱形． ∵AC⊥BD，∴EF⊥EH. ∴四邊形EFGH是正方形． 7