小專題(五)　四邊形中的折疊問題 1．(2017·廣州)如圖，E，F(xiàn)分別是?ABCD的邊AD，BC上的點(diǎn)，EF＝6，∠DEF＝60°，將四邊形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于點(diǎn)G，則△GEF的周長為(C) A．6 B．12 C．18 D．24 2．(2017·舟山)一張矩形紙片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按下圖步驟折疊紙片，則線段DG長為(A) A. B．2 C．1 D．2 3．(2017·南寧)如圖，菱形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，AC＝2，BD＝2，將菱形按如圖方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，折痕為EF，則五邊形AEFCD的周長為7． 4．如圖，OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA＝5，OC＝4.在OC邊上取一點(diǎn)D，將紙片沿AD翻折，使點(diǎn)O落在BC邊上的點(diǎn)E處．求D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：在Rt△ABE中，AE＝OA＝5，AB＝4， ∴BE＝3.∴CE＝2. ∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(2，4)． 在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2， 又∵DE＝OD， ∴(4－OD)2＋22＝OD2.解得OD＝. ∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)． 5．(2017·鄂州)如圖，將矩形ABCD沿對角線AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F 處，F(xiàn)C交AD于E. (1)求證：△AFE≌△CDE； (2)若AB＝4，BC＝8，求圖中陰影部分的面積． 解：(1)證明：由翻折的性質(zhì)可得AF＝AB，∠F＝∠B＝90°. ∵四邊形ABCD為矩形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°. ∴AF＝CD，∠F＝∠D. 又∵∠AEF＝∠CED， ∴△AFE≌△CDE(AAS). (2)∵△AFE≌△CDE，∴AE＝CE. 根據(jù)翻折的性質(zhì)可知FC＝BC＝8. 在Rt△AFE中，AE2＝AF2＋EF2， 即(8－EF)2＝42＋EF2， 解得EF＝3.∴AE＝5. ∴S陰影＝EC·AF＝×5×4＝10. 6．(2017·濟(jì)寧)(教材P64“活動1”的變式)實(shí)驗(yàn)探究： (1)如圖1，對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；再次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BM，同時(shí)得到線段BN，MN.請你觀察圖1，猜想∠MBN的度數(shù)是多少，并證明你的結(jié)論； (2)將圖1中的三角紙紙片BMN剪下，如圖2.折疊該紙片，探究MN與BM的數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合方案證明你的結(jié)論． 　　 　　　圖1　　　　　　　　　　　　　圖2 解：(1)∠MBN＝30°. 證明：連接AN.∵直線EF是AB的垂直平分線，點(diǎn)N在EF上，∴AN＝BN. 由折疊可知，BN＝AB，∴△ABN是等邊三角形． ∴∠ABN＝60°. ∴∠MBN＝∠ABM＝∠ABN＝30°. (2)MN＝BM. 折紙方案：折疊三角形紙片BMN，使點(diǎn)N落在BM上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)M，得到折痕MP，同時(shí)得到線段PO. 證明：由折疊知△MOP≌△MNP， ∴MN＝OM，∠OMP＝∠NMP＝∠OMN＝30°＝∠B，∠MOP＝∠MNP＝90°. ∴∠BOP＝∠MOP＝90°. 又∵OP＝OP，∴△MOP≌△BOP. ∴MO＝BO＝BM. ∴MN＝BM. 小專題(六)　四邊形中的動點(diǎn)問題 ——教材P68T13的變式與應(yīng)用 教材母題　如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝24 cm，BC＝26 cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1 cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以3 cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動．規(guī)定其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．從運(yùn)動開始，使PQ∥CD和PQ＝CD，分別需經(jīng)過多少時(shí)間？為什么？ 解：①設(shè)經(jīng)過t s時(shí)，PQ∥CD，此時(shí)四邊形PQCD為平行四邊形． ∵PD＝(24－t)cm，CQ＝3t cm， ∴24－t＝3t，∴t＝6. ∴當(dāng)t＝6 s時(shí)，PQ∥CD，且PQ＝CD. ②設(shè)經(jīng)過t s時(shí)，PQ＝CD，分別過點(diǎn)P，D作BC 邊的垂線PE，DF，垂足分別為E，F(xiàn). 當(dāng)CF＝EQ 時(shí)，四邊形PQCD為梯形(腰相等)或平行四邊形． ∵∠B＝∠A＝∠DFB＝90°， ∴四邊形ABFD是矩形．∴AD＝BF. ∵AD＝24 cm，BC＝26 cm，∴CF＝BC－BF＝2 cm. 當(dāng)四邊形PQCD 為梯形(腰相等)時(shí)， PD＋2(BC－AD)＝CQ， ∴(24－t)＋4＝3t.∴t＝7. ∴當(dāng)t＝7 s 時(shí)，PQ＝CD. 當(dāng)四邊形PQCD 為平行四邊形時(shí)，由①知當(dāng)t＝6 s時(shí)，PQ＝CD. 綜上所述，當(dāng)t＝6 s時(shí)，PQ∥CD；當(dāng)t＝6 s或t＝7 s時(shí)，PQ＝CD. 1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB∥OC，A(0，12)，B(a，c)，C(b，0)，并且a，b滿足b＝＋＋16.動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AB上以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動；動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，在線段OC上以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，O同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t(秒)． (1)求B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCB是平行四邊形？并求出此時(shí)P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)； (3)當(dāng)t為何值時(shí)，△PQC是以PQ為腰的等腰三角形？并求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：(1)∵b＝＋ ＋16， ∴a＝21，b＝16. ∵AB∥OC，A(0，12)， ∴c＝12. ∴B(21，12)，C(16，0)． (2)由題意，得AP＝2t，QO＝t，則PB＝21－2t，QC＝16－t. ∵當(dāng)PB＝QC時(shí)，四邊形PQCB是平行四邊形， ∴21－2t＝16－t.解得t＝5. ∴P(10，12)，Q(5，0)． (3)當(dāng)PQ＝CQ時(shí)，過Q作QN⊥AB，由題意，得PN＝t，則122＋t2＝(16－t)2.解得t＝3.5. ∴P(7，12)，Q(3.5，0)． 當(dāng)PQ＝PC時(shí)，過P作PM⊥x軸，由題意，得 QM＝t，CM＝16－2t，則t＝16－2t. 解得t＝. ∴P(，12)，Q(，0)． 綜上所述：P1(7，12)，Q1(3.5，0)；P2(，3)，Q2(，0)． 2．如圖，矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于O點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AD上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)D重合)，PO的延長線交BC于Q點(diǎn)． (1)求證：四邊形PBQD為平行四邊形； (2)若AB＝3 cm，AD＝4 cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1 cm/s的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)間為t s，問四邊形PBQD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由． 解：(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，OD＝OB.∴∠PDO＝∠QBO. 在△POD和△QOB中， ∴△POD≌△QOB(ASA)．∴OP＝OQ. 又∵OB＝OD， ∴四邊形PBQD為平行四邊形． (2)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)運(yùn)動t s時(shí)，AP＝t cm，PD＝(4－t)cm. 當(dāng)四邊形PBQD是菱形時(shí)，PB＝PD＝(4－t)cm. ∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAP＝90°. 在Rt△ABP中，AB＝3 cm，AP2＋AB2＝PB2， 即t2＋32＝(4－t)2，解得t＝. ∴點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)間為 s時(shí)，四邊形PBQD為菱形． 6