第38周應用同余問題 同余這個概念最初是由偉大的德國數(shù)學家高斯發(fā)現(xiàn)的 同余的定義是這樣的 兩個整數(shù)a b 如果它們除以同一自然數(shù)m所得的余數(shù)想同 則稱a b對于模m同余 記作 a b mod 讀做 同余于 模 比如 12除以5 47除以5 它們有相同的余數(shù)2 這時我們就說 對于除數(shù)5 12和47同余 記做12 47 mod5 同余的性質(zhì)比較多 主要有以下一些 性質(zhì) 1 對于同一個出書 兩個數(shù)之和 或差 與它們的余數(shù)之和 或差 同余 比如 32除以5余數(shù)是2 19除以5余數(shù)是4 兩個余數(shù)的和是2 4 6 32 19 除以5的余數(shù)就恰好等于它們的余數(shù)和6除以5的余數(shù) 也就是說 對于除數(shù)5 32 19 與它們的余數(shù)和 2 4 同余 用符號表示就是 32 2 mod5 19 4 mod5 32 19 2 4 1 mod5 一 知識要點 性質(zhì) 2 對于同意個除數(shù) 兩個數(shù)的乘積與它們余數(shù)的乘積同余 性質(zhì) 3 對于同意個除數(shù) 如果有兩個整數(shù)同余 那么它們的差就一定能被這個除數(shù)整除 性質(zhì) 4 對于同意個除數(shù) 如果兩個整數(shù)同余 那么它們的乘方仍然同余 應用同余性質(zhì)幾萼體的關鍵是要在正確理解的基礎上靈活運用同余性質(zhì) 把求一個較大的數(shù)除以某數(shù)的余數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求一個較小的數(shù)除以這個數(shù)的余數(shù) 使復雜的題變簡單 使困難的題變?nèi)菀?一 知識要點 例題1 求1992 59除以7的余數(shù) 思路導航 應用同余性質(zhì) 2 可將1992 59轉(zhuǎn)化為求1992除以7和59除以7的余數(shù)的乘積 使計算簡化 1992除以7余4 59除以7余3 根據(jù)同余性質(zhì) 4 3 除以7的余數(shù)與 1992 59 除以7的余數(shù)應該是相同的 通過求 4 3 除以7的余數(shù)就可知道1992 59除以7的余數(shù)了 因為1992 59 4 3 5 mod7 所以1992 59除以7的余數(shù)是5 二 精講精練 練習1 1 求4217 364除以6的余數(shù) 2 求1339655 12除以13的余數(shù) 3 求879 4376 5283除以11的余數(shù) 第38周應用同余問題瘋狂操練二 例題2 已知2001年的國慶節(jié)是星期一 求2010年的國慶節(jié)是星期幾 思路導航 一星期有7天 要求2010年的國慶節(jié)是星期幾 就要求從2001年到2010年的國慶節(jié)的總天數(shù)被7除的余數(shù)就行了 但在甲酸中 如果我們能充分利用同余性質(zhì) 就可以不必算出這個總天數(shù) 2001年國慶節(jié)到2010年國慶節(jié)之間共有2個閏年7個平年 即有 366 2 365 7 天 因為366 2 2 2 4 mod7 365 7 1 7 0 mod7 366 2 365 7 2 2 1 7 4 0 4 mod7 練習2 1 已知2002年元旦是星期二 求2008年元旦是星期幾 2 已知2002年的 七月一日 是星期一 求2015年的 十月一日 是星期幾 3 今天是星期四 再過365的15次方是星期幾 第38周應用同余問題瘋狂操練三 例題3 求2001的2003次方除以13的余數(shù) 思路導航 2001除以13余12 即2001 12 mod13 根據(jù)同余性質(zhì) 4 可知2001的2003次方 12的2003次方 mod13 但12的2003次方仍然是一個很大的值 要求它的余數(shù)比較困難 這時的關鍵就是要找出12的幾次方對模13與1是同余的 經(jīng)試驗可知12的平方 1 mod13 而2003 2 1001 1 所以 12的平方 的1001次方 1的1001 mod13 即12的2002次方 1 mod13 而12的2003次方 12的2002次方 12 根據(jù)同余性質(zhì) 2 可知12的2002次方 12 1 12 12 mod13 因為 2001的2003次方 12的2003次方 mod13 12的平方 1 mod13 而2003 2 1001 112的2003次方 12的2002次方 12 1 12 12 mod13 所以2001的2003次方除以13的余數(shù)是12 練習3 1 求12的200次方除以13的余數(shù) 2 求3的92次方除以21余幾 3 9個小朋友坐成一圈 要把35的7次方粒瓜子平均分給他們 最后剩下幾粒 第38周應用同余問題瘋狂操練四 例題4 自然數(shù)16520 14903 14177除以m的余數(shù)相同 m最大是多少 思路導航 自然數(shù)16520 14903 14177除以m的余數(shù)相同 換句話說就是16520 14903 14177 modm 根據(jù)同余性質(zhì) 3 這三個餓數(shù)同余 那么它們的差就能被m整除 要求m最大是多少 就是求它們差的最大公約數(shù)是多少 因為16520 14903 1617 3 7的平方 1116520 14177 2343 3 11 7114903 14177 726 2 3 11的平方M是這些差的公約數(shù) m最大是3 11 33 練習4 1 若2836 4582 5164 6522四個整數(shù)都被同一個兩位數(shù)相除 所得的余數(shù)相同 除數(shù)是多少 2 一個整數(shù)除226 192 141都得到相同的余數(shù) 且余數(shù)不為0 這個整數(shù)是幾 3 當1991和1769除以某一個自然數(shù)m時 余數(shù)分別為2和1 那么m最小是多少 第38周應用同余問題瘋狂操練五 例題5 某數(shù)用6除余3 用7除余5 用8除余1 這個數(shù)最小是幾 思路導航 我們可從較大的除數(shù)開始嘗試 首先考慮與1模8同余的數(shù) 9 1 mod8 但9輸以7余數(shù)不是5 所以某數(shù)不是9 17 1 mod8 17除以7的余數(shù)也不是5 25 1 mod8 25除以7的余數(shù)也不是5 33 1 mod8 33除以7的余數(shù)正好是5 而且33除以6余數(shù)正好是3 所以這個數(shù)最小是33 上面的方法實際是一種列舉法 也可以簡化為下面的格式 被8除余1的數(shù)有 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 其中被7除余5的數(shù)有 33 89 這些數(shù)中被6除余3的數(shù)最小是33 練習5 1 某數(shù)除以7余1 除以5余1 除以12余9 這個數(shù)最小是幾 2 某數(shù)除以7余6 除以5余1 除以11余3 求此數(shù)最小值 3 在一個圓圈上有幾十個孔 如圖38 1 小明像玩跳棋那樣從A孔出發(fā)沿逆時針方向每隔幾個孔跳一步 希望一圈以后能跑回A孔 他先試著每隔2孔跳一步 也只能跳到B孔 最后他每隔6孔跳一步 正好跳回A孔 問 這個圓圈上共有多少個孔