第三章 推理與證明 1歸納與類比1 1歸納推理 課前預(yù)習(xí)學(xué)案 根據(jù)一類事物中 具有某種屬性 推斷這類事物中 我們將這種推理方式稱為歸納推理 歸納推理是由 到 由 到 的推理 1 歸納推理的含義 2 歸納推理的特征 部分事物 每一個(gè)都有這種屬性 部分 整體 個(gè)別 一般 歸納推理的特點(diǎn)1 歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象 因而 由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍 2 歸納是依據(jù)若干已知的 沒有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象 因而結(jié)論具有猜測的性質(zhì) 3 歸納的前提是特殊的情況 所以歸納是立足于觀察 經(jīng)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)的基礎(chǔ)上的 由歸納推理所得的結(jié)論雖然未必是可靠的 但它由特殊到一般 由具體到抽象的認(rèn)識功能 對于科學(xué)的發(fā)現(xiàn)是十分有用的 觀察 實(shí)驗(yàn) 對有限的資料作歸納整理 提出帶有規(guī)律性的說法 正是科學(xué)研究的最基本的方法之一 1 觀察圖示圖形規(guī)律 在其右下角的空格內(nèi)畫上合適的圖形為 A B C D 解析 圖形涉及 三種符號 其中 與 各有3個(gè) 且各自有兩黑一白 所以缺一個(gè) 符號 即應(yīng)畫上 才合適 答案 A 2 2014 陜西卷 觀察分析下表中的數(shù)據(jù) 猜想一般凸多面體中F V E所滿足的等式是 解析 5 6 9 2 6 6 10 2 6 8 12 2 歸納 F V E 2 答案 F V E 2 3 觀察下列等式 13 23 32 13 23 33 62 13 23 33 43 102 根據(jù)上述規(guī)律 第五個(gè)等式為 解析 考查學(xué)生類比推理能力 觀察給定的式子 第n個(gè)式子 左邊應(yīng)為13 23 n 1 3右邊應(yīng)為 1 2 3 n 1 2故第五個(gè)式子應(yīng)為13 23 33 43 53 63 1 2 3 4 5 6 2 212 答案 13 23 33 43 53 63 212 4 對任意正整數(shù)n 猜想2n與n2的大小 解析 當(dāng)n 1時(shí) 21 12 當(dāng)n 2時(shí) 22 22 當(dāng)n 3時(shí) 2352 當(dāng)n 6時(shí) 26 62 當(dāng)n 7時(shí) 27 72 可以歸納猜想 當(dāng)n 3時(shí) 2n n2 當(dāng)n N 且n 3時(shí) 2n n2 課堂互動講義 歸納推理在等式和數(shù)式中的應(yīng)用 歸納推理從個(gè)別到一般 通過歸納猜想結(jié)論 一般來說 歸納推理發(fā)現(xiàn)真理過程以觀察和實(shí)驗(yàn)作為基礎(chǔ) 從具體問題 實(shí)驗(yàn)觀察 經(jīng)驗(yàn)歸納 歸納推理 形成一般命題 結(jié)論猜想 證明 如圖 在圓內(nèi)畫一條線段 將圓分成兩部分 畫兩條線段 彼此最多分割成4條線段 同時(shí)將圓分割成4部分 畫三條線段 彼此最多分割成9條線段 將圓最多分割成7部分 畫四條線段 彼此最多分割成16條線段 將圓最多分割成11部分 歸納推理在幾何中的應(yīng)用 那么 1 在圓內(nèi)畫5條線段 它們彼此最多分割成多少條線段 將圓最多分割成多少部分 2 猜想 圓內(nèi)兩兩相交的n n 2 條線段 彼此最多分割成多少條線段 將圓最多分割成多少部分 思路導(dǎo)引 由題目可獲取以下主要信息 在圓內(nèi)畫線段 所畫線段彼此分割線段的條數(shù)和將圓分割的部分的個(gè)數(shù) 解答本題可先從幾個(gè)特殊的數(shù)值入手 再根據(jù)給出的數(shù)值特點(diǎn)進(jìn)行歸納猜想 解決此類問題可以從兩個(gè)方面入手 1 從圖形的數(shù)量規(guī)律入手 找到數(shù)值變化與序號的關(guān)系 2 從圖形的結(jié)構(gòu)變化規(guī)律入手 發(fā)現(xiàn)圖形的結(jié)構(gòu)每發(fā)生一次變化 與上一次比較 數(shù)值發(fā)生了怎樣的變化 2 平面內(nèi)有n條直線 其中任何兩條都不平行 任何三條不過同一點(diǎn) 試歸納它們交點(diǎn)的個(gè)數(shù) 歸納推理在數(shù)列中的應(yīng)用 1 歸納推理的一般步驟第一步 通過觀察特殊例子發(fā)現(xiàn)共性或一般規(guī)律 第二步 把這種共性推廣為一般性命題 猜想 2 數(shù)列的通項(xiàng)公式表示的是數(shù)列 an 的第n項(xiàng)an與序號n之間的對應(yīng)關(guān)系 通常根據(jù)已知的遞推公式算出數(shù)列的前幾項(xiàng) 然后歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式 解析 1 當(dāng)n 1時(shí) a1 0 由an 1 an 2n 1 n N 得a2 a1 1 1 a3 a2 3 4 a4 a3 5 9 由a1 02 a2 12 a3 22 a4 32 可歸納猜想出an n 1 2 合情不一定合理數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an n2 5n 5 2 計(jì)算得a1 1 a2 1 a3 1 于是你可以猜想出什么結(jié)論 你的猜想正確嗎 考查內(nèi)容 歸納推理的特點(diǎn) 解題關(guān)鍵 了解不完全歸納的局限性 有限項(xiàng)成立時(shí) 不一定所有情況都成立 正解 猜想 an 1 猜想不正確 當(dāng)n 5時(shí) a5 52 5 5 5 2 25 糾錯(cuò)心得 歸納得出的結(jié)論不一定正確 需要進(jìn)行驗(yàn)證 另外說明一個(gè)命題正確要進(jìn)行證明 而說明其錯(cuò)誤則舉出一個(gè)反例即可