直角三角形的邊角關(guān)系 一、選擇題 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,AC=6 cm,則BC的長(zhǎng)度為(　　) A.6 cm　　　　B.7 cm　　　　C.8 cm　　　　D.9 cm 答案　C　∵sin A=, ∴易知tan A==, ∵AC=6 cm,∴BC=8 cm, 故選擇C. 2.如圖1-8-1,以O(shè)為圓心,1為半徑的弧交坐標(biāo)軸于A,B兩點(diǎn),P是上一點(diǎn)(不與A,B重合),連接OP,設(shè)∠POB=α,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(　　) 圖1-8-1 A.(sin α,sin α)　　　　B.(cos α,cos α) C.(cos α,sin α)　　　　D.(sin α,cos α) 答案　C　過(guò)P作PQ⊥OB,交OB于點(diǎn)Q, 在Rt△OPQ中,OP=1,∠POQ=α, ∴sin α=,cos α=, 即PQ=sin α,OQ=cos α, ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cos α,sin α).故選C. 3.如圖1-8-2,沿AC方向開(kāi)山修建一條公路,為了加快施工進(jìn)度,要在小山的另一邊尋找點(diǎn)E同時(shí)施工,從AC上的一點(diǎn)B取∠ABD=150°,沿BD方向前進(jìn),取∠BDE=60°,測(cè)得BD=520 m,BC=80 m,并且AC,BD,DE在同一水平面內(nèi),那么公路CE段的長(zhǎng)度為(　　) 圖1-8-2 A.180 m　　　　B.260 m C.(260-80)m　　　　D.(260-80)m 答案　C　因?yàn)椤螪BE=180°-∠ABD=180°-150°=30°,又因?yàn)椤螧DE=60°,所以∠E=180°-∠DBE-∠BDE=180°-30°-60°=90°.在Rt△BDE中,sin∠BDE=,所以BE=520× sin 60°=520×=260 m,于是CE=BE-BC=(260-80)m,故選擇C. 4.聊城“水城之眼”摩天輪是亞洲三大摩天輪之一,也是全球首座建筑與摩天輪相結(jié)合的城市地標(biāo).如圖1-8-3,點(diǎn)O是摩天輪的圓心,長(zhǎng)為110米的AB是其垂直地面的直徑.小瑩在地面C點(diǎn)處利用測(cè)角儀測(cè)得摩天輪的最高點(diǎn)A的仰角為33°,測(cè)得圓心O的仰角為21°,則小瑩所在C點(diǎn)到直徑AB所在直線(xiàn)的距離約為(tan 33°≈0.65,tan 21°≈0.38)(　　) 圖1-8-3 A.169米　　　　B.204米　　　　C.240米　　　　D.407米 答案　B　如圖,作CD⊥AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于D, 則在Rt△ACD與Rt△OCD中, CD==,即=,解得BD≈22.4. ∴CD=≈≈204. 故選B. 5.某數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)進(jìn)行測(cè)量大樹(shù)CD高度的綜合實(shí)踐活動(dòng).如圖1-8-4,在點(diǎn)A處測(cè)得直立于地面的大樹(shù)頂端C的仰角為36°.然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡頂B處,然后再沿水平方向行走6米至大樹(shù)底端D處,斜面AB的坡度(或坡比)i=1∶2.4,那么大樹(shù)CD的高度約為(參考數(shù)據(jù):sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81,tan 36°≈0.73)(　　) 圖1-8-4 A.8.1米　　　　B.17.2米　　　　C.19.7米　　　　D.25.5米 答案　A　作BF⊥AE于F,如圖所示, 易知四邊形BDEF為矩形,則FE=BD=6米,DE=BF, ∵斜面AB的坡度i=1∶2.4,∴AF=2.4BF, 設(shè)BF=x米,x>0,則AF=2.4x米, 在Rt△ABF中,x2+(2.4x)2=132,解得x=5, ∴DE=BF=5米,AF=12米, ∴AE=AF+FE=18米, 在Rt△ACE中,CE=AE·tan 36°≈18×0.73=13.14米, ∴CD=CE-DE=13.14-5≈8.1米,故選A. 二、填空題 6.如圖1-8-5,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-4,0),直線(xiàn)y=x+n與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)B,C,連接AC,如果∠ACD =90°,則n的值為　　　　.  圖1-8-5 答案　- 解析　對(duì)于y=x+n,當(dāng)x=0時(shí),y=n,∴C(0,n), 由題圖知OC=-n. 當(dāng)y=0時(shí),0=x+n,∴x=-,∴OB=-, ∵A(-4,0),∴AO=4,∵∠ACD=90°, ∴△ACB為直角三角形,OC是斜邊AB上的高, ∴△ACO∽△CBO, ∴=,即CO2=AO·OB, 即(-n)2=4×,∵n<0,∴n=-=-. 三、解答題 7.已知(tan A-)2+=0,∠A、∠B為△ABC的內(nèi)角,試確定△ABC的形狀. 解析　由題意,得即 ∴∠A=60°,∠B=30°. ∴∠C=180°-∠A-∠B=90°,∴△ABC為直角三角形. 8.保護(hù)視力要求人寫(xiě)字時(shí)眼睛和筆端的距離應(yīng)超過(guò)30 cm.圖1-8-6①是一位同學(xué)的坐姿,把他的眼睛B,肘關(guān)節(jié)C和筆端A的位置關(guān)系抽象成圖1-8-6②的△ABC.已知BC=30 cm,AC=22 cm,∠ACB=53°,他的這種坐姿符合保護(hù)視力的要求嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由. (參考數(shù)據(jù):sin 53°≈0.8,cos 53°≈0.6,tan 53°≈1.3) ①　　　　　　　② 圖1-8-6 解析　該同學(xué)的這種坐姿不符合保護(hù)視力的要求. 理由:過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D,在Rt△BDC中, BD=BCsin 53°≈30×0.8=24 cm, CD=BCcos 53°≈30×0.6=18 cm, ∴AD=AC-CD=4 cm. 在Rt△ABD中,AB== cm<30 cm. ∴該同學(xué)的這種坐姿不符合保護(hù)視力的要求. 9.如圖1-8-7①所示,將直尺擺放在三角板ABC上,使直尺與三角板的邊分別交于點(diǎn)D,E,F,G,量得∠CGD=42°. (1)求∠CEF的度數(shù); (2)將直尺向下平移,使直尺的邊緣通過(guò)三角板的頂點(diǎn)B,交AC邊于點(diǎn)H,如圖1-8-7②所示,點(diǎn)H,B在直尺上的讀數(shù)分別為4,13.4,求BC的長(zhǎng)(結(jié)果保留兩位小數(shù)).(參考數(shù)據(jù):sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90) 圖1-8-7 解析　(1)∵∠CGD=42°,∠C=90°, ∴∠CDG=90°-42°=48°, ∵直尺兩邊互相平行,∴∠CEF=∠CDG=48°. (2)∵點(diǎn)H,B的讀數(shù)分別為4,13.4, ∴HB=13.4-4=9.4, ∴BC=HB·cos 42°≈9.4×0.74≈6.96. 答:BC的長(zhǎng)約為6.96. 10.如圖1-8-8,某城市市民廣場(chǎng)一入口處有五級(jí)高度相等的小臺(tái)階,已知臺(tái)階總高1.5米,為了安全,現(xiàn)要做一個(gè)不銹鋼扶手AB及兩根與FG垂直且長(zhǎng)為1米的不銹鋼架桿AD和BC(桿子底端分別為D、C),且∠DAB=66.5°.(參考數(shù)據(jù):cos 66.5°≈0.40,sin 66.5°≈0.92) (1)求點(diǎn)D與點(diǎn)C的高度差DH; (2)求所有不銹鋼材料的總長(zhǎng)度(即AD+AB+BC的長(zhǎng),結(jié)果精確到0.1米). 圖1-8-8 解析　(1)點(diǎn)D與點(diǎn)C的高度差DH=1.5×=1.2米. (2)過(guò)B作BM⊥AH,垂足為M. 在矩形BMHC中,HM=BC=1米. ∴AM=DH+AD-BC=1.2米. 在Rt△ABM中, AB=≈=3.00米. AD+AB+BC=1+3.00+1=5.0米. 答:總長(zhǎng)度約為5.0米. 11.如圖1-8-9,禁止捕魚(yú)期間,某海上稽查隊(duì)在某海域巡邏,上午某一時(shí)刻在A處接到指揮部通知,在他們東北方向距離12海里的B處有一艘捕魚(yú)船,正在沿南偏東75°方向以每小時(shí)10海里的速度航行,稽查隊(duì)員立即乘坐巡邏船以每小時(shí)14海里的速度沿北偏東某一方向出發(fā),在C處成功攔截捕魚(yú)船,求巡邏船從出發(fā)到成功攔截捕魚(yú)船所用的時(shí)間. 圖1-8-9 解析　設(shè)巡邏船從出發(fā)到成功攔截所用時(shí)間為x小時(shí). 由題意得∠ABC=45°+75°=120°,AB=12海里,BC=10x海里,AC=14x海里, 過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CB交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D,如圖, 在Rt△ABD中,AB=12海里,∠ABD=60°, ∴BD=6海里,AD=6 海里,∴CD=(10x+6)海里. 在Rt△ACD中,由勾股定理得(14x)2=(10x+6)2+(6)2, 解方程得x1=2,x2=-(不合題意,舍去). 答:巡邏船從出發(fā)到成功攔截捕魚(yú)船所用時(shí)間為2小時(shí). 12.測(cè)量計(jì)算是日常生活中常見(jiàn)的問(wèn)題.如圖1-8-10,建筑物BC的屋頂有一根旗桿AB,從地面上D點(diǎn)處觀測(cè)旗桿頂點(diǎn)A的仰角為50°,觀測(cè)旗桿底部B點(diǎn)的仰角為45°.(可用的參考數(shù)據(jù):sin 50°≈0.8,tan 50°≈1.2) (1)若已知CD=20米,求建筑物BC的高度; (2)若已知旗桿的高度AB=5米,求建筑物BC的高度. 圖1-8-10 解析　(1)∵∠BDC=45°, ∴BC=DC=20米. 答:建筑物BC的高度為20米. (2)設(shè)DC=BC=x米, ∵tan 50°=,∴AC≈1.2x米,∴x+5=1.2x, 解得x=25. 答:建筑物BC的高度約為25米. 13.如圖1-8-11,大海中某燈塔P周?chē)?0海里范圍內(nèi)有暗礁,一艘海輪在點(diǎn)A處觀察燈塔P在北偏東60°方向,該海輪向正東方向航行8海里到達(dá)點(diǎn)B處,這時(shí)觀察燈塔P恰好在北偏東45°方向.如果海輪繼續(xù)向正東方向航行,會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎?試說(shuō)明理由.(參考數(shù)據(jù):≈1.73) 圖1-8-11 解析　過(guò)P作PD⊥AB,垂足為D. 設(shè)PD=x海里, 在Rt△APD中, tan 30°=,∴AD=x海里, 在Rt△BPD中, tan 45°=,∴BD=x海里, ∴x-x=8, 解得x=4+4≈10.92>10. ∴如果海輪繼續(xù)向正東方向航行,沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn). 14.如圖1-8-12,地面上兩個(gè)村莊C、D處于同一水平線(xiàn)上,一飛行器在空中以6千米/小時(shí)的速度沿MN方向水平飛行,航線(xiàn)MN與C、D在同一鉛直平面內(nèi).當(dāng)該飛行器飛行至村莊C的正上方A處時(shí),測(cè)得∠NAD=60°;該飛行器從A處飛行40分鐘至B處時(shí),測(cè)得∠ABD=75°.求村莊C、D間的距離(取1.73,結(jié)果精確到0.1千米). 圖1-8-12 解析　過(guò)B作BE⊥AD于E, ∵∠NAD=60°,∠ABD=75°,∴∠ADB=45°, ∵AB=6×=4,∴AE=2,BE=2, ∴DE=BE=2,∴AD=2+2, ∵∠C=90°,∠CAD=30°, ∴CD=AD=1+≈2.7. 答:村莊C、D間的距離約為2.7千米. 10