命題與證明一、選擇題1.下列說法正確的是（      ） A. 真命題的逆命題是真命題                                    B. 原命題是假命題，則它的逆命題也是假命題C. 定理一定有逆定理                                              D. 命題一定有逆命題【答案】D 【解析】 ：A、真命題的逆命題可能是真命題，也可能是假命題，故A不符合題意；B、原命題是假命題，則它的逆命題可能是假命題，也可能是真命題，故B不符合題意；C、逆定理一定是真命題，定理不一定有逆定理，故C不符合題意；D、任意一個命題都有逆命題；故D符合題意；故答案為：D【分析】根據(jù)把一個命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，用邏輯方法判斷為正確的命題叫定理，任何命題都有逆命題，對各選項逐一判斷即可。2.下列命題為真命題的是（    ）。 A.兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例B.相似三角形面積之比等于相似比C.對角線互相垂直的四邊形是菱形D.順次連結(jié)矩形各邊的中點所得的四邊形是正方形【答案】A 【解析】 ：A.根據(jù)平行線分線段成比例定理即可判斷正確，A符合題意；B.相似三角形面積之比等于相似比的平方，故錯誤，B不符合題意；C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故錯誤，C不符合題意；D.順次連結(jié)矩形各邊的中點所得的四邊形是正菱形，故錯誤，D不符合題意；故答案為:A.【分析】A.根據(jù)平行線分線段成比例定理即可判斷對錯；B.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷對錯；C.根據(jù)菱形的判定即可判斷對錯；D.根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形中位線定理即可判斷對錯；3.用反證法證明時，假設(shè)結(jié)論“點在圓外”不成立，那么點與圓的位置關(guān)系只能是（    ） A. 點在圓內(nèi)                       B. 點在圓上                       C. 點在圓心上                       D. 點在圓上或圓內(nèi)【答案】D 【解析】 ：點與圓的位置關(guān)系只有三種：點在圓內(nèi)、點在圓上、點在圓外，如果點不在圓外，那么點就有可能在圓上或圓內(nèi)故答案為D【分析】運(yùn)用反證法證明，第一步就要假設(shè)結(jié)論不成立，即結(jié)論的反面，要考慮到反面所有的情況。4.下列語句中，是命題的是（   ）若 1=60 ， 2=60 ，則 1= 2；同位角相等嗎；畫線段AB=CD；一個數(shù)能被2整除，則它也能被4整除；直角都相等 A.                                B.                                C.                                D. 【答案】A 【解析】 ：若 1=60 ， 2=60 ，則 1= 2；它是命題；同位角相等嗎，不是命題；畫線段AB=CD，不是命題；一個數(shù)能被2整除，則它也能被4整除，是命題；直角都相等是命題；故事命題的有：故答案為：A【分析】根據(jù)命題是判斷一件事情的語句，構(gòu)成命題必須有已知條件和結(jié)論，逐一判斷即可求解。5.某屆世界杯的小組比賽規(guī)則：四個球隊進(jìn)行單循環(huán)比賽（每兩隊賽一場），勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分，某小組比賽結(jié)束后，甲、乙，丙、丁四隊分別獲得第一，二，三，四名，各隊的總得分恰好是四個連續(xù)奇數(shù)，則與乙打平的球隊是（    ） A.甲B.甲與丁C.丙D.丙與丁【答案】B 【解析】 ：小組賽一共需要比賽場，由分析可知甲是最高分，且可能是9或7分，當(dāng)甲是9分時，乙、丙、丁分別是7分、5分、3分，因為比賽一場最高得分3分，所以4個隊的總分最多是6×3=18分，而9+7+5+3>18，故不符合；當(dāng)甲是7分時，乙、丙、丁分別是5分、3分、1分，7+5+3+1<18，符合題意，因為每人要參加3場比賽，所以甲是2勝一平，乙是1勝2平，丁是1平2負(fù)，則甲勝丁1次，勝丙1次，與乙打平1次，因為丙是3分，所以丙只能是1勝2負(fù)，乙另外一次打平是與丁，則與乙打平的是甲、丁故答案是B?！痉治觥啃枰评沓黾住⒁?、丙、丁四人的分?jǐn)?shù)：每個人都要比賽3場，要是3場全勝得最高9分，根據(jù)已知“甲、乙，丙、丁四隊分別獲得第一，二，三，四名”和“各隊的總得分恰好是四個連續(xù)奇數(shù)”，可推理出四人的分?jǐn)?shù)各是多少，再根據(jù)勝、平、負(fù)一場的分?jǐn)?shù)去討論打平的場數(shù)。6.甲、乙、丙、丁4人進(jìn)行乒乓球單循環(huán)比賽（每兩個人都要比賽一場），結(jié)果甲勝了丁，并且甲、乙、丙勝的場數(shù)相同，則丁勝的場數(shù)是（   ） A. 3                                           B. 2                                           C. 1                                           D. 0【答案】D 【解析】 ：四個人共有6場比賽，由于甲、乙、丙三人勝的場數(shù)相同，所以只有兩種可能性：甲勝1場或甲勝2場；若甲只勝一場，這時乙、丙各勝一場，說明丁勝三場，這與甲勝丁矛盾，所以甲只能是勝兩場，即：甲、乙、丙各勝2場，此時丁三場全敗，也就是勝0場答：甲、乙、丙各勝2場，此時丁三場全敗，丁勝0場故答案為：D【分析】分類討論：甲、乙、丙、丁4人進(jìn)行乒乓球單循環(huán)比賽，故四個人共有6場比賽，由于甲、乙、丙三人勝的場數(shù)相同，所以只有兩種可能性：若甲只勝一場，這時乙、丙各勝一場，說明丁勝三場，這與甲勝丁矛盾；甲勝兩場，則乙、丙各勝2場，此時丁三場全敗，也就是勝0場綜上所述即可得出答案。7.否定“自然數(shù)a、b、c中恰有一個偶數(shù)”時的正確反設(shè)為(      ) A. a、b、c都是奇數(shù)                                               B. a、b、c或都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)C. a、b、c都是偶數(shù)                                               D. a、b、c中至少有兩個偶數(shù)【答案】B 【解析】 a，b，c三個數(shù)的奇、偶性有以下幾種情況：全是奇數(shù)；有兩個奇數(shù)，一個偶數(shù)；有一個奇數(shù)，兩個偶數(shù)；三個偶數(shù)因為要否定，所以假設(shè)應(yīng)為“全是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)”故答案為：B.【分析】因為a，b，c三個數(shù)的奇、偶性有以下幾種情況：全是奇數(shù)；有兩個奇數(shù)，一個偶數(shù)；有一個奇數(shù)，兩個偶數(shù)；三個偶數(shù)。根據(jù)命題的否定形式可知“自然數(shù)a、b、c中恰有一個偶數(shù)”時的正確反設(shè)為“a、b、c或都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)”。8.對于命題“已知：ab，bc，求證：ac”如果用反證法，應(yīng)先假設(shè)（    ） A. a不平行b                             B. b不平行c                             C. ac                             D. a不平行c【答案】D 【解析】 ：對于命題“已知：ab，bc，求證：ac”如果用反證法應(yīng)先假設(shè)a不平行c故答案為：D【分析】根據(jù)反證法的第一步就是假設(shè)結(jié)論的反面，即可得出答案。9.下列命題是真命題的是（   ） A. 如果a+b=0，那么a=b=0                                  B. 的平方根是±4C. 有公共頂點的兩個角是對頂角                             D. 等腰三角形兩底角相等【答案】D 【解析】 A、如果a+b=0，那么a=b=0，或a=b，錯誤，為假命題；B、 =4的平方根是±2，錯誤，為假命題；C、有公共頂點且相等的兩個角是對頂角，錯誤，為假命題；D、等腰三角形兩底角相等，正確，為真命題；故答案為：D【分析】A根據(jù)等式的性質(zhì)判斷；B根據(jù)算術(shù)平方根和平方根判斷；C根據(jù)對頂角的定義判斷；D根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)判斷.10.有下列命題：若x2=x，則x=1；若a2=b2 ， 則a=b；線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；相等的弧所對的圓周角相等；其中原命題與逆命題都是真命題的個數(shù)是（    ） A. 1個                                       B. 2個                                       C. 3個                                       D. 4個【答案】B 【解析】 ：若x2=x，則x=1或x=0，所以錯誤；若a2=b2 ， 則a=±b，所以錯誤；線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，所以正確；相等的弧所對的圓周角相等，所以正確四個命題的逆命題都是真命題故答案為：B【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式大于0，方程有兩個不相等的實數(shù)根可知，方程漏掉了一個根；（2）根據(jù)平方根的意義可得a=±b；（3）線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；線段的垂直平分線的判定：到線段兩端點距離相等的點在這個角的平分線上；（4）根據(jù)圓周角定理和圓周角和弧之間的關(guān)系可知：相等的弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。11.下列命題是假命題的是（     ） A. 對頂角相等                                                         B. 兩直線平行，同旁內(nèi)角相等C. 平行于同一條直線的兩直線平行                         D. 同位角相等，兩直線平行【答案】B 【解析】 ：A對頂角相等是真命題，故本選項正確，A不符合題意；B兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，故本選項錯誤，B符合題意；C平行于同一條直線的兩條直線平行是真命題，故本選項正確，C不符合題意；D同位角相等，兩直線平行是真命題，故本選項正確，D不符合題意故答案為：B【分析】本題是讓選假命題，也就是在題設(shè)的條件下得到錯誤的結(jié)論. 兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)而不是相等.12.下列語句中，不是命題的是（    ） A.生活在水里的動物是魚B.若直線ab，b c，則acC.作已知線段的垂直平分線D.對頂角相等【答案】A 【解析】 ：根據(jù)命題的定義判斷：A、是判斷一件事情的句子，A不符合題意；B、是判斷一件事情的句子，B不符合題意；C、是作圖語句，C符合題意；D、是判斷一件事情的句子，D不符合題意。故答案為：C?！痉治觥棵}：一般地，判斷某一件事情的句子叫做命題。命題分真命題和假命題。二、填空題 13. 命題：“如果m是整數(shù)，那么它是有理數(shù)”，則它的逆命題為：_ 【答案】“如果m是有理數(shù)，那么它是整數(shù)” 【解析】 ：命題：“如果m是整數(shù)，那么它是有理數(shù)”的逆命題為“如果m是有理數(shù)，那么它是整數(shù)” 故答案為“如果m是有理數(shù)，那么它是整數(shù)”【分析】把一個命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題14. 下列四個命題中：對頂角相等；同旁內(nèi)角互補(bǔ)；全等三角形的對應(yīng)角相等；兩直線平行，同位角相等，其中假命題的有_（填序號） 【答案】 【解析】 ：對頂角相等是真命題；同旁內(nèi)角互補(bǔ)是假命題；全等三角形的對應(yīng)角相等是真命題；兩直線平行，同位角相等是真命題；故假命題有，故答案為：【分析】要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可15.寫出命題“兩個銳角的和是鈍角”是假命題的一個反例：_ 【答案】兩個銳角的度數(shù)分別為20°，30° 【解析】 ：若兩個銳角的度數(shù)分別為20°，30°則這兩個角的和為50°，50°的角是銳角故答案為：兩個銳角的度數(shù)分別為20°，30°（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意寫出兩個銳角的和是直角或銳角即可。16.命題“如果兩個角都是直角,那么這兩個角相等”的逆命題_. 【答案】如果兩個角相等，那么這兩個角是直角。 【解析】 ：原命題是：如果兩個角都是直角,那么這兩個角相等它的逆命題是;如果兩個角相等，那么這兩個角是直角。【分析】將原命題的題設(shè)和結(jié)論互換，再寫成如果，那么的形式即可。17.命題“全等三角形的面積相等”的逆命題是_命題.(填“真”或“假”) 【答案】假 【解析】 原命題的逆命題為：面積相等的兩個三角形為全等三角形，則這個命題為假命題.【分析】首先將原命題改寫成如果那么的形式，然后根據(jù)原命題與逆用的關(guān)系，將原命題的題設(shè)和結(jié)論交換位置得到其逆命題：面積相等的兩個三角形為全等三角形；再根據(jù)已有知識判斷此命題顯然是假命題。18.把命題“對頂角相等”改寫成“如果 那么 ”的形式：_ 【答案】如果兩個角是對頂角，那么它們相等 【解析】 ：題設(shè)為：對頂角，結(jié)論為：相等，故寫成“如果 那么 ”的形式是：如果兩個角是對頂角，那么它們相等，故答案為：如果兩個角是對頂角，那么它們相等【分析】根據(jù)命題的構(gòu)成可知題設(shè)為：對頂角，結(jié)論為：相等，所以用“如果 那么 ”的形式可表示為：如果兩個角是對頂角，那么它們相等。19.用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟：ABC90°90°C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，則AB90°不成立；所以一個三角形中不能有兩個直角；假設(shè)A，B，C中有兩個角是直角，不妨設(shè)AB90°.正確順序的序號排列為_ 【答案】 【解析】 由反證法證明的步驟知，先反證即，再推出矛盾即，最后作出判斷，肯定結(jié)論即，即順序應(yīng)為【分析】根據(jù)反證法的步驟，首先假設(shè)結(jié)論不成立，其次用已學(xué)的知識或已知條件得到與假設(shè)或已學(xué)的知識或已知條件相矛盾的結(jié)論，那么原命題成立。所以正確順序的序號排列。20. 如圖，圖中二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c（a0）則下列命題中正確的有_（填序號）abc0；b24ac；4a2b+c0；2a+bc【答案】 【解析】 ：拋物線開口向上，拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，拋物線與y軸交于y軸負(fù)半軸，a0， 0，c0，b0，abc0，正確；拋物線與x軸有兩個不同交點，=b24ac0，b24ac，錯誤；當(dāng)x=2時，y=4a2b+c0，正確；0 1，2ab0，2a+b0c，正確故答案為：【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及命題與定理，觀察函數(shù)圖象，根據(jù)二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系逐一分析四條結(jié)論判斷正誤即可.三、解答題 21.已知命題：“如圖，點B、F、C、E在同一條直線上，則ABDE”判斷這個命題是真命題還是假命題，如果是真命題，請給出證明；如果是假命題，在不添加其他輔助線的情況下，請?zhí)砑右粋€適當(dāng)?shù)臈l件使它成為真命題，并加以證明【答案】解：如圖，點B、F、C、E在同一條直線上，則ABDE，是假命題，當(dāng)添加：B=E時，ABDE，理由：B=E，ABDE 【解析】【分析】根據(jù)平行線的判定定理即可得出結(jié)論。22. 如圖，四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，在ABCD；AO=CO；AD=BC中任意選取兩個作為條件，“四邊形ABCD是平行四邊形”為結(jié)論構(gòu)造命題 （1）以作為條件構(gòu)成的命題是真命題嗎？若是，請證明；若不是，請舉出反例； （2）寫出按題意構(gòu)成的所有命題中的假命題，并舉出反例加以說明（命題請寫成“如果，那么”的形式） 【答案】（1）解：以作為條件構(gòu)成的命題是真命題， 證明：ABCD，OAB=OCD，在AOB和COD中，AOBCOD（ASA），OB=OD，四邊形ABCD是平行四邊形（2）解：根據(jù)作為條件構(gòu)成的命題是假命題，即如果有一組對邊平行，另一組對邊相等，那么四邊形是平行四邊形，如等腰梯形符合，但不是平行四邊形； 根據(jù)作為條件構(gòu)成的命題是假命題，即如果一個四邊形ABCD的對角線交于O，且OA=OC，AD=BC，那么這個四邊形是平行四邊形，如圖，根據(jù)已知不能推出OB=OD或ADBC或AB=DC，即四邊形不是平行四邊形【解析】【分析】（1）根據(jù)平行得出全等三角形，即可求出OB=OD，根據(jù)平行四邊形的判定推出即可；（2）根據(jù)等腰梯形和平行四邊形的判定判斷即可23. 正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點A，將正方形AEFG繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角DAG=，其中0°180°，連結(jié)DF，BF，如圖 （1）若=0°，則DF=BF，請加以證明； （2）試畫一個圖形（即反例），說明（1）中命題的逆命題是假命題； （3）對于（1）中命題的逆命題，如果能補(bǔ)充一個條件后能使該逆命題為真命題，請直接寫出你認(rèn)為需要補(bǔ)充的一個條件，不必說明理由 【答案】（1）證明：如圖1，四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形， AG=AE，AD=AB，GF=EF，DGF=BEF=90°，DG=BE，在DGF和BEF中，DGFBEF（SAS），DF=BF（2）解：圖形（即反例）如圖2， （3）解：補(bǔ)充一個條件為：點F在正方形ABCD內(nèi)； 即：若點F在正方形ABCD內(nèi)，DF=BF，則旋轉(zhuǎn)角=0° 【解析】【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)證明DGFBEF即可；（2）當(dāng)=180°時，DF=BF（3）利用正方形的性質(zhì)和DGFBEF的性質(zhì)即可證得是真命題11