2 3離散型隨機變量的均值與方差2 3 1離散型隨機變量的均值 自主學(xué)習(xí)新知突破 1 通過實例 理解取有限個值的離散型隨機變量均值 數(shù)學(xué)期望 的概念和意義 2 能計算簡單離散型隨機變量的均值 數(shù)學(xué)期望 并能解決一些實際問題 3 會求兩點分布和二項分布的均值 某書店訂購一新版圖書 根據(jù)以往經(jīng)驗預(yù)測 這種新書的銷售量為40 100 120本的概率分別為0 2 0 7 0 1 這種書每本的進價為6元 銷售價為8元 如果售不出去 以后處理剩余書時每本為5元 問題 試用盈利決定書店應(yīng)訂購多少本新書 提示 銷售量的平均值為40 0 2 100 0 7 120 0 1 90 由此決定書店應(yīng)訂購90本新書 定義 一般地 若離散型隨機變量X的分布列如下 則稱E X 為隨機變量X的均值或X的數(shù)學(xué)期望 它反映了離散型隨機變量取值的 離散型隨機變量的均值或數(shù)學(xué)期望 x1p1 x2p2 xnpn 平均水平 1 兩點分布 E X 2 二項分布 在n次獨立重復(fù)試驗中 X B n p 則E X 兩點分布 二項分布的均值 p np 若Y aX b 其中a b為常數(shù) X是隨機變量 則Y也是隨機變量 且有E aX b 均值的性質(zhì) aE X b 準(zhǔn)確理解均值的性質(zhì) 1 特別地 當(dāng)a 0時 E b b 也就是說常數(shù)的數(shù)學(xué)期望是這個常數(shù)的本身 當(dāng)a 1時 E X b E X b 當(dāng)b 0時 E aX aE X 這些特殊情況同學(xué)們一定要掌握 2 對于任意實數(shù)a b X是隨機變量 Y也是隨機變量 一定有E aX bY aE X bE Y 1 已知 的分布列為 答案 D 2 同時拋擲5枚均勻的硬幣80次 設(shè)5枚硬幣正好出現(xiàn)2枚正面向上 3枚反面向上的次數(shù)為X 則X的均值是 A 20B 25C 30D 40 4 某次英語單元測驗由100道選擇題構(gòu)成 每道選擇題有4個選項 其中有且僅有一個選項是正確答案 每道題選擇正確得1分 不選或選錯均不得分 學(xué)生甲在測驗中對每道題都從4個選項中隨機選擇一個 求他在這次單元測驗中成績的期望 合作探究課堂互動 離散型隨機變量的均值 在10件產(chǎn)品中 有3件一等品 4件二等品 3件三等品 從這10件產(chǎn)品中任取3件 求取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望 規(guī)律方法 求離散型隨機變量X的均值的步驟 1 理解X的意義 寫出X可能取的全部值 2 求X取每個值的概率 3 寫出X的分布列 有時可以省略 4 利用定義公式E X x1p1 x2p2 xnpn求出均值 1 盒中裝有5節(jié)同牌號的五號電池 其中混有兩節(jié)廢電池 現(xiàn)在無放回地每次取一節(jié)電池檢驗 直到取到好電池為止 求抽取次數(shù)X的分布列及均值 均值性質(zhì)的應(yīng)用 思路點撥 分布列中含有字母m 應(yīng)先根據(jù)分布列的性質(zhì) 求出m的值 再利用均值的定義求解 對于 2 可直接套用公式 也可以先寫出Y的分布列 再求E Y 規(guī)律方法 1 該類題目屬于已知離散型分布列求期望 求解方法是直接套用公式 E X x1p1 x2p2 xnpn求解 2 對于aX b型的隨機變量 可利用均值的性質(zhì)求解 即E aX b aE X b 也可以先列出aX b的分布列 再用均值公式求解 比較兩種方式顯然前者較方便 解析 兩點分布 二項分布的應(yīng)用 某運動員投籃命中率為p 0 6 求 1 一次投籃時命中次數(shù) 的期望 2 重復(fù)5次投籃時 命中次數(shù) 的期望 思路點撥 1 投籃一次有兩個結(jié)果 命中與不中 因此命中次數(shù) 服從兩點分布 2 重復(fù)5次投籃可認為是5次獨立重復(fù)試驗 命中次數(shù) 服從二項分布 規(guī)律方法 常見的隨機變量的均值 1 若X服從兩點分布 則E X p 2 若X服從二項分布 則E X np 特別提醒 二項分布的數(shù)學(xué)期望是求期望的一種常見的形式 同學(xué)們在理解的基礎(chǔ)上應(yīng)熟練記住 因為在有些二項分布的解答中 如果采用E X np 會使問題的解答大大減少運算量 3 某電視臺開展有獎答題活動 每次要求答30個選擇題 每個選擇題有4個選項 其中有且只有一個正確答案 每一題選對得5分 選錯或不選得0分 滿分150分 規(guī)定滿100分拿三等獎 滿120分拿二等獎 滿140分拿一等獎 有一選手選對任意一題的概率是0 8 則該選手有望能拿到幾等獎 解析 選對題的個數(shù)X B 30 0 8 故E X 30 0 8 24 由于24 5 120 分 所以該選手有望能拿到二等獎 提示 上述解答錯誤的主要原因是沒有明確隨機變量 取值的意義 1表示第一次試驗就成功 2表示第一次失敗 第二次成功 由于實驗最多進行3次 所以 3表示前兩次失敗 第三次可能成功也可能失敗 因此在求隨機變量取各值的概率時 務(wù)必理解各取值的實際意義 以免失誤