“動(dòng)量守恒中的經(jīng)典模型與類比解題莊盛文 一、人船模型 例1 在平靜的湖面上停泊著一條長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為M的船，如果有一質(zhì)量為m的人從船的一端走到另一端，求船和人相對(duì)水面的位移各為多少？ 解析：設(shè)人從船的一端走到另一端所用時(shí)間為t，人、船的速度分別為，由人、船整個(gè)系統(tǒng)在水平方向上滿足動(dòng)量守恒，那么： 模型特征： 1. 無(wú)關(guān)； 2. 由12得，在系統(tǒng)滿足動(dòng)量守恒的方向上，人船的位移與質(zhì)量成正比； 3. 對(duì)，分式中的分子m為船上一端移到另一端的“凈質(zhì)量，分母M+m為船和船上所有物體的質(zhì)量和。 類比解題： 1. 在冰面上靜止著質(zhì)量為M、長(zhǎng)為L(zhǎng)的車，車的一端由一名士兵進(jìn)行實(shí)彈射擊在車另一端的靶子，士兵和其武器裝備的質(zhì)量為m，每顆子彈的質(zhì)量，當(dāng)士兵發(fā)射了顆子彈后稍做休息，又發(fā)射了顆子彈，并全部擊中靶子，求車后退的距離_。 解析：車、人和子彈三者構(gòu)成的體系在水平方向上滿足動(dòng)量守恒，從車的一端移到另一端的凈質(zhì)量為，由模型特征得 。 2. 在距離地面高h(yuǎn)處的氣球上站有一人，人和氣球的質(zhì)量分別為m和M，開(kāi)始兩者均靜止，人要沿繩平安的滑到地面上，繩至少多長(zhǎng)？ 解析：人和氣球兩者在豎直方向上滿足動(dòng)量守恒，人滑到地面相對(duì)地的位移為，設(shè)球上升的高度為，繩長(zhǎng)至少為L(zhǎng)，那么由得。 所以繩子長(zhǎng)至少為。 3. 在光滑水平面上有一質(zhì)量為M的斜劈，斜劈斜面與水平面的夾角為，斜面長(zhǎng)為L(zhǎng)，斜劈的頂端有一質(zhì)量為m的小球，當(dāng)小球滑到斜劈的低端時(shí)，求斜劈后退的距離。 解析：小球和斜劈兩者組成的系統(tǒng)在水平方向上滿足動(dòng)量守恒，斜劈斜面長(zhǎng)在水平方向的投影。 由上面的模型特點(diǎn)得斜劈后退的距離。 二、子彈打木塊模型 例2 如圖4所示，質(zhì)量為M的木塊放在光滑的水平面上，質(zhì)量為m的子彈以初速度水平射向木塊，設(shè)木塊沒(méi)有被射穿且子彈受到的阻力f恒定，求 1木塊的最大速度； 2木塊的最短水平長(zhǎng)度； 3木塊的速度到達(dá)最大時(shí)，子彈射入木塊的深度與木塊的位移之比； 4子彈與木塊相對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能。 解析：1當(dāng)木塊與子彈的速度相等時(shí)，木塊的速度最大，由動(dòng)量守恒列式 2子彈和木塊對(duì)地的位移不相等，木塊未被擊穿，說(shuō)明木塊的水平長(zhǎng)度應(yīng)不小于兩者位移之差，即 由<1>、<2>、<5>式得，所以木塊的最短水平長(zhǎng)度為 3設(shè)子彈進(jìn)入木塊的深度為d，聯(lián)立<1>、<2>、<4>、<5>式得 4系統(tǒng)增加的內(nèi)能等于系統(tǒng)減少的動(dòng)能 由<1>、<5>得表示子彈原有動(dòng)能，系統(tǒng)內(nèi)能增加。 模型特征： <1>當(dāng)子彈和木塊的速度相等時(shí)木塊的速度最大，兩者的相對(duì)位移子彈射入的深度取得極值； <2>系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，但系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒，系統(tǒng)內(nèi)力與兩者相對(duì)位移的乘積等于系統(tǒng)機(jī)械能的減少，當(dāng)兩者的速度相等時(shí)，系統(tǒng)機(jī)械能損失最大；由上式可以看出，子彈的質(zhì)量越小，木塊的質(zhì)量越大，動(dòng)能損失越多； <3>根據(jù)能量守恒，系統(tǒng)損失的動(dòng)能等于系統(tǒng)其他形式能的增加； <4>解決該類問(wèn)題，既可以從動(dòng)量、能量?jī)煞矫娼忸}，也可以從力和運(yùn)動(dòng)的角度，借助圖像求解。 類比解題： 1. 質(zhì)量為的小木塊以水平速度為滑上一個(gè)靜止在光滑地面上的平板車，如圖5所示，平板車的質(zhì)量，假設(shè)木塊沒(méi)有滑出平板車，它們之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，求 1求整個(gè)系統(tǒng)損失的機(jī)械能； 2這一過(guò)程所經(jīng)歷的時(shí)間。 解析：1整個(gè)系統(tǒng)損失的能量為： 2以為研究對(duì)象，受到水平向右的恒力 2. 如圖6所示，兩根足夠長(zhǎng)的固定的平行的金屬導(dǎo)軌位于同一水平面上，兩根導(dǎo)軌間的距離為L(zhǎng)。導(dǎo)軌上面橫放著兩根導(dǎo)體棒ab和cd，構(gòu)成矩形回路。兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量均為m，電阻分別為，回路中其余局部的電阻不計(jì)。在整個(gè)導(dǎo)軌平面內(nèi)都有豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，兩導(dǎo)體棒均可沿導(dǎo)軌無(wú)摩擦的滑行。開(kāi)始時(shí)cd棒靜止，棒ab有指向棒cd的初速度，假設(shè)兩導(dǎo)體棒在運(yùn)動(dòng)中始終不接觸，求在運(yùn)動(dòng)中ab棒產(chǎn)生的焦耳熱是多少？ 解析：ab棒向右切割磁感線運(yùn)動(dòng)，整個(gè)回路中有感應(yīng)電流存在，在安培力的作用下，ab棒做減速運(yùn)動(dòng)，cd棒做加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩棒的速度相等后，整個(gè)回路中的電流等于零，兩棒保持向右做勻速運(yùn)動(dòng)。兩棒組成系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由上面的結(jié)論知，系統(tǒng)損失的動(dòng)能等于系統(tǒng)產(chǎn)生的焦耳熱， ab棒產(chǎn)生的焦耳熱 3. 1919年盧瑟福用粒子轟擊一個(gè)靜止的核發(fā)現(xiàn)質(zhì)子。上面的核反響可以用下面的模型來(lái)認(rèn)識(shí)。運(yùn)動(dòng)粒子撞擊一個(gè)靜止的核，它們暫時(shí)形成一個(gè)整體復(fù)合核，隨即復(fù)合核迅速轉(zhuǎn)化成一個(gè)質(zhì)子和一個(gè)原子核，復(fù)合核發(fā)生轉(zhuǎn)化需要1.19MeV，要想發(fā)生該核反響，入射的粒子的動(dòng)能至少為多少？ 解析：粒子撞擊一個(gè)靜止的核符合動(dòng)量守恒，系統(tǒng)損失的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為復(fù)合核轉(zhuǎn)化所需要的能量為，所以入射粒子的動(dòng)能。 三、彈性球正碰模型 例3 A、B兩個(gè)彈性小球，質(zhì)量分別為，B物體靜止在光滑的平面上，A以初速度與B物體發(fā)生正碰，求碰后A物體速度為和B物體速度的大小和方向。 解析：因發(fā)生的是彈性碰撞，取方向?yàn)檎较?由動(dòng)量守恒 由機(jī)械能守恒 由<1>、<2>兩式得： 模型特征： <1>在碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒； <2>當(dāng)時(shí)，A物體靜止，B物體以A的初速度運(yùn)動(dòng)，速度發(fā)生互換；當(dāng)，那么，即物體A、B同方向運(yùn)動(dòng)，因，所以速度大小，即兩小球不會(huì)發(fā)生第二次碰撞。其中當(dāng)，即當(dāng)質(zhì)量很大的物體A碰撞質(zhì)量很小的物體B，物體A的速度幾乎不變，物體B以2倍于物體A的速度和物體A同向運(yùn)動(dòng)。 當(dāng)時(shí)，那么，即物體A、B反方向運(yùn)動(dòng)，其中，當(dāng)時(shí)，即物體A以原速度的大小彈回，物體B靜止不動(dòng)。 類比解題： 1. 如圖8，質(zhì)量分別為M、mM>>m的母子球從高h(yuǎn)處下落。試證明：大球與地面相碰后，小球從大球頂反彈的最大高度為。 解析：設(shè)母子球著地的速度為v，由于M>>m，著地后，大球反彈，以速度v碰撞小球，小球獲得豎直向上的速度2v；同時(shí)小球以速度v碰撞大球，必然以速度v返回，所以小球以速度3v反彈，那么小球從大球頂部反彈的最大高度為 2. 帶有光滑圓弧的軌道、質(zhì)量為M的滑車靜止于光滑的水平面上，如圖9所示。一個(gè)質(zhì)量為m的小球以速度水平?jīng)_向滑車，當(dāng)小球在返回并脫離滑車時(shí)，以下說(shuō)法可能正確的選項(xiàng)是 A. 小球一定沿水平方向向左平拋運(yùn)動(dòng) B. 小球可能沿水平方向向右平拋運(yùn)動(dòng) C. 小球可能做自由落體運(yùn)動(dòng) D. 小球可能做水平向右運(yùn)動(dòng) 解析：小球滑上滑車，又返回，到離開(kāi)滑車的整個(gè)過(guò)程中，相當(dāng)于小球與滑車發(fā)生彈性碰撞的過(guò)程。如果m<M，小球離開(kāi)滑車向左平拋運(yùn)動(dòng)，如果m=M，小球離開(kāi)滑車做自由落體運(yùn)動(dòng)；如果m>M，小球離開(kāi)滑車向右做平拋運(yùn)動(dòng)，故答案應(yīng)選B、C、D。 3. 如圖10中兩單擺的擺長(zhǎng)相同，平衡時(shí)，兩鋼球剛好接觸，現(xiàn)將擺球A在兩擺線所在的平面向左拉開(kāi)一小角度釋放，碰撞后兩球分開(kāi)各自做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，以分別表示兩擺球A、B的質(zhì)量，那么 A. 如果，下次碰撞發(fā)生在平衡位置的右側(cè) B. 如果，下次碰撞發(fā)生在平衡位置的左側(cè) C. 無(wú)論擺球質(zhì)量之比是多少，下次碰撞都不可能發(fā)生在平衡位置的右側(cè) D. 無(wú)論擺球質(zhì)量之比是多少，下次碰撞都不可能發(fā)生在平衡位置的左側(cè) 解析：當(dāng)時(shí)，A球以與B球在平衡位置發(fā)生彈性碰撞，速度互換，A球靜止；當(dāng)B球反向擺回，以的速度與A球在平衡位置再次發(fā)生彈性碰撞，如此反復(fù)； 當(dāng)時(shí)，A球與B球在平衡位置發(fā)生第一次碰撞，因，所以兩球同向右擺動(dòng)，各經(jīng)過(guò)半個(gè)周期后第二次到達(dá)平衡位置。因兩擺球的擺線等長(zhǎng)，故兩擺球的周期相等，所以兩球同時(shí)到達(dá)平衡位置，在平衡位置發(fā)生第二次碰撞。同理，當(dāng)，兩球也在平衡位置發(fā)生第二次碰撞，故答案應(yīng)選C、D。 四、平射炮反沖模型 例4 光滑的水平面上靜止一輛質(zhì)量為M的炮車，當(dāng)炮車水平發(fā)射一枚質(zhì)量為m的炮彈，炮彈出口時(shí)有的火藥能量釋放，其中有的能量轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的內(nèi)能，求炮彈和炮車的動(dòng)能各為多少？ 解析：炮彈和炮車組成的系統(tǒng)在水平方向上滿足動(dòng)量守恒，設(shè)炮彈和炮車的速度分別為，由動(dòng)量守恒得，即動(dòng)量大小關(guān)系 設(shè)炮彈和炮車的動(dòng)能分別為，系統(tǒng)機(jī)械能的增加量為，那么由能量守恒得 模型特征： <1>在滿足動(dòng)量守恒的方向上，整個(gè)系統(tǒng)任意時(shí)刻的動(dòng)量為零，即； <2>炮車和炮彈獲得動(dòng)能為； <3>讓1式比上2式得，即炮彈和炮車獲得動(dòng)能與其質(zhì)量成反比。 類比解題： 1. 如圖11所示，帶有光滑的半徑為R的圓弧軌道的滑塊靜止在光滑的水平面上，此滑塊的質(zhì)量為M，一個(gè)質(zhì)量為m的小球靜止從A點(diǎn)釋放，當(dāng)小球從滑塊B處水平飛出時(shí)，求滑塊的動(dòng)能。 解析：當(dāng)小球從B點(diǎn)飛出時(shí)，小球和滑塊在水平方向上滿足動(dòng)量守恒，由上面的模型特點(diǎn)的滑塊獲得的動(dòng)能為 2. 在光滑的水平面上放有質(zhì)量分別為M、m的兩小球，兩球間放有一被壓縮的輕質(zhì)彈簧，其彈性勢(shì)能為E，釋放彈簧，兩球被彈開(kāi)，求小球m的最大速度。 解析：當(dāng)彈簧完全彈開(kāi)后，由上面的模型特征知，小球m的動(dòng)能，由動(dòng)能定理得小球的最大速度。