第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算 [知識能否憶起] 一、向量的有關(guān)概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：長度等于0的向量，其方向是任意的． 3．單位向量：長度等于1個單位的向量． 4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線． 5．相等向量：長度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：長度相等且方向相反的向量． 二、向量的線性運(yùn)算 向量運(yùn)算 定義 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個向量和的運(yùn)算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律：a＋b＝b＋a； (2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差 三角形法則 三、向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義 1．定義：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運(yùn)算叫向量的數(shù)乘，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下： ①|(zhì)λa|＝|λ||a|； ②當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0. 2．運(yùn)算律：設(shè)λ，μ是兩個實(shí)數(shù)，則： ①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λ a＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb. 四、共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa. [小題能否全取] 1．下列命題正確的是(　　) A．不平行的向量一定不相等 B．平面內(nèi)的單位向量有且僅有一個 C．a(chǎn)與b是共線向量，b與c是平行向量，則a與c是方向相同的向量 D．若a與b平行，則b與a方向相同或相反 解析：選A　對于B，單位向量不是僅有一個，故B錯；對于C，a與c的方向也可能相反，故C錯；對于D，若b＝0，則b的方向是任意的，故D錯，綜上可知選A. 2.如右圖所示，向量a－b等于(　　) A．－4e1－2e2　　 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2　　　 D．3e1－e2 解析：選C　由題圖可得a－b＝＝e1－3e2. 3．(教材習(xí)題改編)設(shè)a，b為不共線向量，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，則下列關(guān)系式中正確的是(　　) A．＝　　　　　　　　 B．＝2 C．＝－ D．＝－2 解析：選B?。剑絘＋2b＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2. 4．若菱形ABCD的邊長為2，則|－＋|＝________. 解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2. 答案：2 5．已知a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________. 解析：由題意知a＋λb＝k[－(b－3a)]， 所以解得 答案：－ 　 共線向量定理應(yīng)用時的注意點(diǎn) (1)向量共線的充要條件中要注意“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個． (2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時，才能得出三點(diǎn)共線；另外，利用向量平行證明向量所 在直線平行，必須說明這兩條直線不重合． 向量的有關(guān)概念 典題導(dǎo)入 [例1]　給出下列命題： ①兩個具有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量； ②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件； ③若a與b同向，且|a|>|b|，則a>b； ④λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線． 其中假命題的個數(shù)為(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 [自主解答]?、俨徽_．當(dāng)起點(diǎn)不在同一直線上時，雖然終點(diǎn)相同，但向量不共線． ②正確．∵＝，∴||＝||且∥. 又∵A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)， ∴四邊形ABCD是平行四邊形． 反之，若四邊形ABCD是平行四邊形，則AB綊DC且與方向相同，因此＝. ③不正確．兩向量不能比較大小． ④不正確．當(dāng)λ＝μ＝0時，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線． [答案]　C 由題悟法 1．平面向量的概念辨析題的解題方法 準(zhǔn)確理解向量的基本概念是解決該類問題的關(guān)鍵，特別是對相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例進(jìn)行否定也是行之有效的方法． 2．幾個重要結(jié)論 (1)向量相等具有傳遞性，非零向量的平行具有傳遞性； (2)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量； (3)向量平行與起點(diǎn)的位置無關(guān). 以題試法 1．設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選D　向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數(shù)是3. 向量的線性運(yùn)算 典題導(dǎo)入 [例2]　(1)(2011·四川高考)如圖，正六邊形ABCDEF中，＋＋＝(　　) A．0　　　　　　　 B． C． D． (2)在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若＝2，＝＋λ，則λ等于(　　) A. B. C．－ D．－ [自主解答]　(1)如圖，∵在正六邊形ABCDEF中，＝，＝， ∴＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝CF―→. (2)∵＝＋，＝＋， ∴2＝＋＋＋. 又∵＝2， ∴2＝＋＋ ＝＋＋(－) ＝＋. ∴＝＋，即λ＝. [答案]　(1)D　(2)A 若(2)中的條件作如下改變：若點(diǎn)D是AB邊延長線上一點(diǎn)且||＝||，若＝λ＋μ，則λ－μ的值為________． 解析：∵＝＋＝＋2＝＋2(－)＝2－＝λ＋μ. ∴λ＝2，μ＝－1.∴λ－μ＝3. 答案：3 由題悟法 在進(jìn)行向量的線性運(yùn)算時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則求解，并注意利用平面幾何的性質(zhì)，如三角形中位線、相似三角形等知識． 以題試法 2．(2012·漢陽調(diào)研)若A，B，C，D是平面內(nèi)任意四點(diǎn)，給出下列式子： ①＋＝＋；②＋＝＋； ③－＝＋.其中正確的有(　　) A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 解析：選C　①式的等價式是－＝－，左邊＝＋，右邊＝＋，不一定相等；②式的等價式是－＝－，＋＝＋＝成立；③式的等價式是－＝＋，＝成立． 共 線 向 量 典題導(dǎo)入 [例3]　設(shè)兩個非零向量a與b不共線． (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求證：A，B，D三點(diǎn)共線； (2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線． [自主解答]　(1)證明：∵＝a＋b，＝2a＋8b， ＝3(a－b)， ∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b) ＝2a＋8b＋3a－3b ＝5(a＋b)＝5. ∴，共線， 又∵它們有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線． (2)∵ka＋b與a＋kb共線， ∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb. ∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a，b是不共線的兩個非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，即k2－1＝0. ∴k＝±1. 由題悟法 1．當(dāng)兩向量共線時，只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，解決向量共線問題要注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用． 2．證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系． 以題試法 3．已知a，b不共線，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，設(shè)t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在實(shí)數(shù)t使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上？若存在，求出實(shí)數(shù)t的值，若不存在，請說明理由． 解：由題設(shè)知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb， 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b. 因?yàn)閍，b不共線，所以有 解之得t＝. 故存在實(shí)數(shù)t＝使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上． 1．下列等式：①0a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0a；⑤a－b＝a＋(－b)．正確的個數(shù)是(　　) A．2　　　　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．5 解析：選C　a＋(－a)＝0，故③錯． 2．(2012·福州模擬)若a＋b＋c＝0，則a，b，c(　　) A．都是非零向量時也可能無法構(gòu)成一個三角形 B．一定不可能構(gòu)成三角形 C．都是非零向量時能構(gòu)成三角形 D．一定可構(gòu)成三角形 解析：選A　當(dāng)a，b，c為非零向量且不共線時可構(gòu)成三角形，而當(dāng)a，b，c為非零向量共線時不能構(gòu)成三角形． 3．(2012·威海質(zhì)檢)已知平面上不共線的四點(diǎn)O，A，B，C.若＋2＝3，則的值為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　由＋2＝3，得－＝2－2 ，即＝2，所以＝. 4．(2012·海淀期末)如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個三等分點(diǎn)(靠近B)，那么＝(　　) A. －　　　　 B. ＋ C. ＋ D. － 解析：選D　在△CEF中，有＝＋，因?yàn)辄c(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，所以＝.因?yàn)辄c(diǎn)F為BC的一個三等分點(diǎn)，所以＝.所以＝＋＝＋＝－. 5．(2013·揭陽模擬)已知點(diǎn)O為△ABC外接圓的圓心，且＋＋＝0，則△ABC的內(nèi)角A等于(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 解析：選A　由＋＋＝0得＋＝，由O為△ABC外接圓的圓心，結(jié)合向量加法的幾何意義知四邊形OACB為菱形，且∠CAO＝60°，故A＝30°. 6．已知△ABC的三個頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足＋＋＝，則點(diǎn)P與△ABC的關(guān)系為(　　) A．P在△ABC內(nèi)部 B．P在△ABC外部 C．P在AB邊所在直線上 D．P是AC邊的一個三等分點(diǎn) 解析：選D　∵＋＋＝， ∴＋＋＝－，∴＝－2＝2， ∴P是AC邊的一個三等分點(diǎn)． 7．(2012·鄭州五校聯(lián)考)設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，2＝16，|＋|＝|－|，則||＝________. 解析：由|＋|＝|－|可知，⊥，則AM為Rt△ABC斜邊BC上的中線，因此，||＝||＝2. 答案：2 8．(2013·大慶模擬)已知O為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且向量，，，滿足等式＋＝＋，則四邊形ABCD的形狀為________． 解析：∵＋＝＋，∴－＝－， ∴＝.∴四邊形ABCD為平行四邊形． 答案：平行四邊形 9．設(shè)向量e1，e2不共線，＝3(e1＋e2)，＝e2－e1，＝2e1＋e2，給出下列結(jié)論：①A，B，C共線；②A，B，D共線；③B，C，D共線；④A，C，D共線，其中所有正確結(jié)論的序號為________． 解析：由＝－＝4e1＋2e2＝2，且與不共線，可得A，C，D共線，且B不在此直線上． 答案：④ 10．設(shè)i，j分別是平面直角坐標(biāo)系Ox，Oy正方向上的單位向量，且＝－2i＋mj，＝n i＋j，＝5i－j，若點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，且m＝2n，求實(shí)數(shù)m，n的值． 解：＝－＝(n＋2)i＋(1－m)j， ＝－＝(5－n)i－2j. ∵點(diǎn)A，B，C在同一條直線上， ∴∥，即＝λ. ∴(n＋2)i＋(1－m)j＝λ[(5－n)i－2j]． ∴解得或 11.如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，＝，＝a，＝b. (1)用a，b表示向量，，，，； (2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線． 解：(1)延長AD到G， 使＝， 連接BG，CG，得到?ABGC， 所以＝a＋b， ＝＝(a＋b)， ＝＝(a＋b)， ＝＝b， ＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)， ＝－＝b－a＝(b－2a)． (2)證明：由(1)可知＝，又因?yàn)? ，有公共點(diǎn)B， 所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線． 12．設(shè)e1，e2是兩個不共線向量，已知＝2e1－8e2， ＝e1＋3e2，＝2e1－e2. (1)求證：A，B，D三點(diǎn)共線； (2)若＝3e1－ke2，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值． 解：(1)證明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2 ∵＝2e1－8e2，∴＝2， 又∵AB與BD有公共點(diǎn)B， ∴A，B，D三點(diǎn)共線． (2)由(1)可知＝e1－4e2，且＝3e1－ke2， ∵B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，得＝λ， 即3e1－ke2＝λe1－4λe2， 得解得k＝12， ∴k＝12. 1.如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，且＝x，＝y(tǒng)，則的值為(　　) A．3 B. C．2 D. 解析：選B　(特例法)利用等邊三角形，過重心作平行于底面BC的直線，易得＝. 2．(2012·吉林四平質(zhì)檢)若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足5＝＋3，則△ABM與△ABC的面積比為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　設(shè)AB的中點(diǎn)為D， 由5＝＋3， 得3－3＝2－2， 即3＝2，如圖所示， 故C，M，D三點(diǎn)共線，且＝，也就是△ABM與△ABC對于邊AB的兩高之比為，則△ABM與△ABC的面積比為. 3．已知O，A，B三點(diǎn)不共線，且＝m＋n，(m，n∈R)． (1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線； (2)若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：m＋n＝1. 證明：(1)∵m，n∈R，且m＋n＝1， ∴＝m＋n＝m＋(1－m) ， ∴－＝m(－)． ∴＝m，而≠0，且m∈R. ∴與共線， 又，有公共點(diǎn)B. ∴A，P，B三點(diǎn)共線． (2)∵A，P，B三點(diǎn)共線，∴與共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ， ∴－＝λ(－)． ∴＝λ＋(1－λ) . 又∵＝m＋n， ∴m＋n＝λ＋(1－λ) . 又∵O，A，B不共線，∴，不共線． 由平面向量基本定理得 ∴m＋n＝1. 1．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，則a與b共線的條件是(　　) A．λ＝0　　　　　　　　 B．e2＝0 C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0 解析：選D　若e1與e2共線，則e2＝λ′e1. 因此a＝(1＋λλ′)e1，此時a∥b. 若e1與e2不共線，設(shè)a＝μb，則 e1＋λe2＝μ·2e1，因此λ＝0,1－2μ＝0. 2.如圖，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，則等于(　　) A．a(chǎn)＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析：選B?。剑剑絘＋(b－a)＝a＋b.