小專題(四)二次函數(shù)與幾何圖形綜合1如圖，拋物線yx2x5與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C.若點(diǎn)E為x軸下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)SABESABC時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)解：令yx2x50，即x22x150，解得x15，x23.A(5，0)，B(3，0)AB8.令x0，則y5，C(0，5)OC5.SABCAB·OC20.設(shè)點(diǎn)E到AB的距離為h，SABESABC，×8·h20.h5.點(diǎn)E在x軸下方，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為5.當(dāng)y5時(shí)，x2x55.x12，x20(與點(diǎn)C重合，舍去)E(2，5)2如圖，拋物線yx2x3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D(2，2)是拋物線上一點(diǎn)，那么在拋物線的對稱軸上，是否存在一點(diǎn)P，使得BDP的周長最小，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：令yx2x30，解得x13，x22.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)連接AD，交對稱軸于點(diǎn)P，則P為所求的點(diǎn)設(shè)直線AD的表達(dá)式為ykxt.將點(diǎn)A，D的坐標(biāo)代入，得解得直線AD的表達(dá)式為yx1.拋物線的對稱軸為直線x，將x代入yx1，得y.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)3如圖，二次函數(shù)yx2mxn的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1，4)，B(1，0)，yxb經(jīng)過點(diǎn)B，且與二次函數(shù)yx2mxn交于點(diǎn)D.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)N是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)(點(diǎn)N在BD上方)，過N作NPx軸，垂足為P，交BD于點(diǎn)M，求MN的最大值解：(1)二次函數(shù)yx2mxn的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1，4)，B(1，0)，解得二次函數(shù)的表達(dá)式為yx22x3.(2)yxb經(jīng)過點(diǎn)B，×1b0.解得b.yx.設(shè)M(t，t)，則N(t，t22t3)，MNt22t3(t)t2t(t)2.MN的最大值為.4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線yx24x5與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.若點(diǎn)D是y軸上的一點(diǎn)，且以B，C，D為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)解：令yx24x50，解得x11，x25.A(1，0)，B(5，0)令x0，則y5，C(0，5)OCOB，OBCOCB45°.AB6，BC5.要使以B，C，D為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，需有或.當(dāng)時(shí)，CDAB6，D(0，1)當(dāng)時(shí)，CD.D(0，)綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，1)或(0，)5如圖，已知拋物線yx22x3與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P.若以A，C，P，M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)解：yx22x3中，當(dāng)x0時(shí)，y3，C(0，3)yx22x3中，令y0，即x22x30，解得x13，x21.A(3，0)，B(1，0)yx22x3(x1)24，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，4)如圖，分別過PAC的三個(gè)頂點(diǎn)作對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個(gè)符合條件的點(diǎn)M1，M2，M3.AM1CP，且C(0，3)，P(1，4)，A(3，0)，M1(4，1)AM2PC，且P(1，4)，C(0，3)，A(3，0)，M2(2，1)CM3AP，且A(3，0)，P(1，4)，C(0，3)，M3(2，7)綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4，1)或(2，1)或(2，7)6如圖，已知拋物線yx2x2與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊)，與y軸交于點(diǎn)C.(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；(2)此拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得ACP是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：(1)令y0，得x2x20，解得x12，x24.A(4，0)，B(2，0)令x0，得y2.C(0，2)(2)存在點(diǎn)P，使得ACP是等腰三角形設(shè)P(1，a)，則AP2a29，CP2(a2)21a24a5，AC220.當(dāng)APCP時(shí)，即a29a24a5，解得a1.P1(1，1)；當(dāng)CPAC時(shí)，即a24a520，解得a2±.P2(1，2)，P3(1，2)；當(dāng)APAC時(shí)，即a2920，解得a±.P4(1，)，P5(1，)綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(1，1)，P2(1，2)，P3(1，2)，P4(1，)，P5(1，)5