二次函數(shù)專題考點(diǎn)一：二次函數(shù)的解析式及其求解一般的，形如的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中，x是自變量，分別為二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。（1）一般式：。已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式.（2）頂點(diǎn)式：。已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.（3）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：.（4）對(duì)稱點(diǎn)式：已知圖像上有兩個(gè)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，那么函數(shù)的方程可以選用對(duì)稱點(diǎn)式，代入已知的另外的點(diǎn)就可以求出函數(shù)的方程來(lái)了。例題1：根據(jù)題意，求解二次函數(shù)的解析式。（1）求過(guò)點(diǎn)A(1,0)，B(2,3)，C(3,1)的拋物線的方程（2）已知拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2和1 ，且通過(guò)點(diǎn)（2，8），求二次函數(shù)的解析式（3）已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），并且圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4，求二次函數(shù)的解析式。（4）已知二次方程的兩個(gè)根是-1和2，而且函數(shù)過(guò)點(diǎn)（3,4），求函數(shù)的解析式。（5）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-2），且通過(guò)點(diǎn)（1，10），求此二次函數(shù)的解析式.（6）已知二次函數(shù)當(dāng)x2時(shí)有最大值3，且它的圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為6，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。變式1：（1）、已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1),B(3,4),且與y軸交點(diǎn)為（0，7），則求函數(shù)的解析式（2）已知過(guò)點(diǎn)（2，0），（3，5）的拋物線與直線相交與x軸上，求二次函數(shù)的解析式（3）已知二次函數(shù)，其頂點(diǎn)為（2,2)，圖象在x軸截得的線段長(zhǎng)為2，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。（4）已知函數(shù)的過(guò)點(diǎn)(1,3),且函數(shù)的對(duì)應(yīng)方程的根是2和4，求方程的解（5）拋物線的對(duì)稱軸是直線（ ）A、 B、 C、D、考點(diǎn)二：二次函數(shù)的基本圖像（1）二次函數(shù)的圖像：一般地，拋物線的對(duì)稱軸是y軸，頂點(diǎn)是原點(diǎn)。當(dāng)a>0時(shí)，拋物線的開(kāi)口向上，頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)，a越大，拋物線的開(kāi)口越??；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線的開(kāi)口向下，頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)，a越大，拋物線的開(kāi)口越大。（2）二次函數(shù)的圖像：當(dāng)a>0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)a<0時(shí)，開(kāi)口向下；對(duì)稱軸是直線x=h；頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）。（3）二次函數(shù)與圖像的關(guān)系：一般地，拋物線與形狀相同，位置不同。把拋物線向上（下）向左（右）平移，可以得到拋物線。平移的方向、距離要根據(jù)h，k的值來(lái)決定。（4）二次函數(shù)的圖像：一般地，我們可以用配方法求拋物線的頂點(diǎn)與對(duì)稱軸。，因此，拋物線的對(duì)稱軸是，頂點(diǎn)坐標(biāo)是。例題2.1：把拋物線y=3x2先向上平移2個(gè)單位再向右平移3個(gè)單位，所得的拋物線是（ ）A、 y=3(x+3)22B、y=3(x+3)2+2C、y=3(x3)22D、.y=3(x3)2+2變式2.1、（1）在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，將函數(shù)的圖象沿軸方向向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后再沿軸向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）A、（，1） B、（1，） C、（2，） D、（1，）(2)、將拋物線y=3x2向上平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，那么得到的拋物線的解析式為（ ）A、 B、 C、 D、例題2.2：已知函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖，那么函數(shù)解析式為（ ）A、y=x2+2x+3B、y=x22x3C、y=x22x+3D、y=x22x3變式2.2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長(zhǎng)為2的正方形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，二次函數(shù)y=的圖像經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)（1） 求該二次函數(shù)的解析式； （2）結(jié)合函數(shù)的圖像探索：當(dāng)y>0時(shí)x的取值范圍。例題2.3：關(guān)于x的二次函數(shù)y=x22mx+m2和一次函數(shù)y=mx+n（m0），在同一坐標(biāo)系中的大致圖象正確的是（ ）變式2.3，函數(shù)y=ax1與y=ax2bx1（a0）的圖象可能是（ ）A、 B、 C、 D、考點(diǎn)三：二次函數(shù)的增減性及其最值（1）開(kāi)口向上的二次函數(shù)，在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨著x的增大而減小；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨著x的增大而增大；在對(duì)稱軸處取到最小值，越靠近對(duì)稱軸，函數(shù)值越小。（2）開(kāi)口向下的二次函數(shù)，在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨著x的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨著x的增大而減小；在對(duì)稱軸處取到最大值，越靠近對(duì)稱軸，函數(shù)值越大。例題,3.1：二次函數(shù)的圖象如圖2所示，若點(diǎn)A（1，y1）、B（2，y2）是它圖象上的兩點(diǎn)，則y1與y2的大小關(guān)系是（）A、 B、 C、 D、不能確定變式3.1：（1）設(shè)A是拋物線上的三點(diǎn)，則的大小關(guān)系為（ ）A、 B、 C、 D、(2)已知二次函數(shù)yx 27x，若自變量x分別取x1，x2，x3，且0x1x2x3，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y1，y2，y3的大小關(guān)系正確的是( )A、y1y2y3 B、 y1y2y3 C、y2y3y1 D、 y2y3y1考點(diǎn)四：二次函數(shù)中三大參數(shù)的和函數(shù)圖像的關(guān)系（1）決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與中的完全一樣。（2）和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置，由于拋物線的對(duì)稱軸是直線,故：時(shí)，對(duì)稱軸為軸；(即、同號(hào))時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè)；(即、異號(hào))時(shí),對(duì)稱軸在軸右側(cè)。（3）的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置。當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0，)：，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)； ,與軸交于正半軸；,與軸交于負(fù)半軸。以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立；如拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，則 。例題4.1：已知二次函數(shù)（）的圖象如圖4所示，有下列四個(gè)結(jié)論：，其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)變式4.1：已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：；abc0；8a+c0；9a+3b+c0。其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )。A、1 B、2 C、3 D、4變式4.2：.已知二次函數(shù)(其中，)，關(guān)于這個(gè)二次函數(shù)的圖象有如下說(shuō)法：圖象的開(kāi)口一定向上；圖象的頂點(diǎn)一定在第四象限；圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在y軸的右側(cè)。以上說(shuō)法正確的有( ) A、0個(gè)B、1個(gè) C、2個(gè) D、3個(gè)變式4.3; 已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列5個(gè)代數(shù)式：ac，a+b+c，4a-2b+c，2a+b，2a-b中，其值大于0的個(gè)數(shù)為( )A、2 B、3 C、4D、5變式4.1 變式4.2考點(diǎn)五：二次函數(shù)和不等式、方程的結(jié)合（1）二次函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)以及求解：通過(guò)判斷的正負(fù)可以得到二次函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，注意，前提是需要注意一個(gè)函數(shù)是否為二次函數(shù)，需要判斷二次項(xiàng)次數(shù)是否為零，其中。（2）二次函數(shù)和不等式的結(jié)合：在x軸上方，則函數(shù)大于零；在x軸下方，則函數(shù)小于零；在直線上方，說(shuō)明；在直線下方，則說(shuō)明。 例題5.1：二次函數(shù)的圖象如圖，若一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則m的最大值為（ ）A、 -3 B、3 C、-5 D、9 變式5.1、對(duì)于二次函數(shù)，我們把使函數(shù)值等于0的實(shí)數(shù)x叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)，則二次函數(shù)(m為實(shí)數(shù))的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( )A、1 B、2 C、0 D、不能確定例題5.2：如圖，已知拋物線y1=2x22，直線y2=2x+2，當(dāng)x任取一值時(shí)，x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y1、y2.若y1y2，取y1、y2中的較小值記為M；若y1=y2，記M= y1=y2。例如：當(dāng)x=1時(shí)，y1=0，y2=4，y1y2，此時(shí)M=0。下列判斷： 當(dāng)x0時(shí)，y1y2； 當(dāng)x0時(shí)，x值越大，M值越??；使得M大于2的x值不存在； 使得M=1的x值是 或 .其中正確的是 ( )A、 B、 C、 D、xyOy2y1變式5.2：（1）設(shè)二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，總有；當(dāng)時(shí)，總有。那么的取值范圍是A、 B、 C、 D、（2）、如圖是二次函數(shù)的部分圖象，由圖象可知不等式的解集是A、 B、 C、D、（3）如圖所示是二次函數(shù)圖象的一部分，其對(duì)稱軸為直線x1，若其與x軸一交點(diǎn)為(3，0)，則由圖象可知，不等式的解集是 ?？键c(diǎn)六：二次函數(shù)的基本應(yīng)用例題6.1：某商場(chǎng)在銷售旺季臨近時(shí) ，某品牌的童裝銷售價(jià)格呈上升趨勢(shì)，假如這種童裝開(kāi)始時(shí)的售價(jià)為每件20元，并且每周（7天）漲價(jià)2元，從第6周開(kāi)始，保持每件30元的穩(wěn)定價(jià)格銷售，直到11周結(jié)束，該童裝不再銷售。（1）請(qǐng)建立銷售價(jià)格y（元）與周次x之間的函數(shù)關(guān)系；（2）若該品牌童裝于進(jìn)貨當(dāng)周售完，且這種童裝每件進(jìn)價(jià)z（元）與周次x之間的關(guān)系為， 1 x 11，且x為整數(shù)，那么該品牌童裝在第幾周售出后，每件獲得利潤(rùn)最大？并求最大利潤(rùn)為多少？變式6.1、新星電子科技公司積極應(yīng)對(duì)2008年世界金融危機(jī)，及時(shí)調(diào)整投資方向，瞄準(zhǔn)光伏產(chǎn)業(yè)，建成了太陽(yáng)能光伏電池生產(chǎn)線。由于新產(chǎn)品開(kāi)發(fā)初期成本高，且市場(chǎng)占有率不高等因素的影響，產(chǎn)品投產(chǎn)上市一年來(lái)，公司經(jīng)歷了由初期的虧損到后來(lái)逐步盈利的過(guò)程（公司對(duì)經(jīng)營(yíng)的盈虧情況每月最后一天結(jié)算1次）公司累積獲得的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與銷售時(shí)間第x（月）之間的函數(shù)關(guān)系式（即前x個(gè)月的利潤(rùn)總和y與x之間的關(guān)系）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在如圖所示的圖象上該圖象從左至右，依次是線段OA、曲線AB和曲線BC，其中曲線AB為拋物線的一部分，點(diǎn)A為該拋物線的頂點(diǎn)，曲線BC為另一拋物線的一部分，且點(diǎn)A，B，C的橫坐標(biāo)分別為4，10，12（1）求該公司累積獲得的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與時(shí)間第x（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）直接寫出第x個(gè)月所獲得S（萬(wàn)元）與時(shí)間x（月）之間的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫出計(jì)算過(guò)程）；（3）前12個(gè)月中，第幾個(gè)月該公司所獲得的利潤(rùn)最多？最多利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？備用圖例題6.2：如圖，某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度為6米，底部寬度OM為12米. 現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.（1）直接寫出點(diǎn)M及拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）求這條拋物線的解析式；（3）若要搭建一個(gè)矩形“支撐架”AD- DC- CB，使C、D點(diǎn)在拋物線上，A、B點(diǎn)在地面OM上，則這個(gè)“支撐架”總長(zhǎng)的最大值是多少？變式6.2、一座拱橋的輪廓是拋物線型（如左圖所示），拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m。（1）將拋物線放在所給的直角坐標(biāo)系中（如右圖所示），求拋物線的解析式；（2）求支柱的長(zhǎng)度；（3）拱橋下地平面是雙向行車道（正中間是一條寬2m的隔離帶），其中的一條行車道能否并排行駛寬2m、高3m的三輛汽車（汽車間的間隔忽略不計(jì))）？請(qǐng)說(shuō)明你的理由?？键c(diǎn)七：二次函數(shù)中的面積問(wèn)題例題7.1：（1）如圖所示，在一個(gè)直角MBN的內(nèi)部作一個(gè)長(zhǎng)方形ABCD，其中AB和BC分別在兩直角邊上，設(shè)AB=x m，長(zhǎng)方形的面積為y m2，要使長(zhǎng)方形的面積最大，其邊長(zhǎng)x應(yīng)為（ ）A、m B、6 m C、15 m D、m（2）：如圖，O的半徑為2，C1是函數(shù)y=x2的圖象，C2是函數(shù)y=-x2的圖象，則陰影部分的面積是 。變式7.1：如圖，直線分別與軸、軸交于兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，與過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線交于點(diǎn)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿軸向左運(yùn)動(dòng)過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，分別交直線于兩點(diǎn)，以為邊向右作正方形，設(shè)正方形與重疊部分（陰影部分）的面積為（平方單位）點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）求（2）中的最大值；（4）當(dāng)時(shí)，直接寫出點(diǎn)在正方形內(nèi)部時(shí)的取值范圍yxDNMQBCOPEA變式7.2、如圖，把拋物線y=x2平移得到拋物線m，拋物線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-6，0）和原點(diǎn)O（0，0），它的頂點(diǎn)為P，它的對(duì)稱軸與拋物線y=x2交于點(diǎn)Q，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)變式7.3、如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a0）的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，交x軸于點(diǎn)A，其頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，）（1）求拋物線的函數(shù)解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)； （2）在拋物線上求點(diǎn)P，使SPOA=2SAOB；考點(diǎn)八：二次函數(shù)與圓的綜合例題8.1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為1的圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸分別交于四點(diǎn)。拋物線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，且分別與圓相切于點(diǎn)和點(diǎn)。（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，連結(jié)，并延長(zhǎng)交圓于，求的長(zhǎng)；（3）過(guò)點(diǎn)作圓的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，判斷點(diǎn)是否在拋物線上，說(shuō)明理由。OxyNCDEFBMA變式8.1：如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，與軸的交點(diǎn)為設(shè)的外接圓的圓心為點(diǎn)。（1）求與軸的另一個(gè)交點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如果恰好為的直徑，且的面積等于，求和的值?？键c(diǎn)九、二次函數(shù)中的運(yùn)動(dòng)性問(wèn)題題型1、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題注意動(dòng)的點(diǎn)以及其所構(gòu)成的位置關(guān)系（如等腰三角形，直角三角形，平行四邊形，）。一般而言會(huì)有兩個(gè)到三個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。此時(shí)需要我們注意這幾個(gè)點(diǎn)之間的關(guān)系以及各個(gè)點(diǎn)之間的運(yùn)動(dòng)的不同。例題9.1：在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三點(diǎn).（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，AMB的面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；（3）若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能使以點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)。變式9.11：如圖，拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D。（1）直接寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸；（2）連結(jié)BC，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF/DE交拋物線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m。用含m的代數(shù)式表示線段PF的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形？設(shè)BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系。變式9.12：如圖，已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1）求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)拋物線的解析式；（2）設(shè)直線BC交y軸于點(diǎn)E，連接AE，求證：AE=CE；（3）設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)D，連接AD交BC于點(diǎn)F，試問(wèn)以A、B、F為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。G題型2、折疊、旋轉(zhuǎn)、平移問(wèn)題例題9.2：已知：如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)A（，0）和點(diǎn)B，將拋物線沿軸向上翻折，頂點(diǎn)P落在點(diǎn)P（1，3）處。（1）求原拋物線的解析式；（2）學(xué)校舉行班徽設(shè)計(jì)比賽，九年級(jí)5班的小明在解答此題時(shí)頓生靈感：過(guò)點(diǎn)P作軸的平行線交拋物線于C、D兩點(diǎn)，將翻折后得到的新圖象在直線CD以上的部分去掉，設(shè)計(jì)成一個(gè)“W”型的班徽，“5”的拼音開(kāi)頭字母為W，“W”圖案似大鵬展翅，寓意深遠(yuǎn)；而且小明通過(guò)計(jì)算驚奇的發(fā)現(xiàn)這個(gè)“W”圖案的高與寬（CD）的比非常接近黃金分割比（約等于0.618）。請(qǐng)你計(jì)算這個(gè)“W”圖案的高與寬的比到底是多少？（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果可保留根號(hào)）。變式9.21：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象所示，若ax2+bx+c=k（k0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）A、 k<-3 B、 k>-3 C、 k<3 D、k>3變式9.22：正方形在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，在軸正半軸上，在軸的負(fù)半軸上，交軸正半軸于交軸負(fù)半軸于，拋物線過(guò)三點(diǎn)（1）求拋物線的解析式； （2）是拋物線上間的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平行于軸的直線交邊于，交所在直線于，若，則判斷四邊形的形狀；（3）在射線上是否存在動(dòng)點(diǎn)，在射線上是否存在動(dòng)點(diǎn)，使得且，若存在，請(qǐng)給予嚴(yán)格證明，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。15