類型五 圖形面積問題例1、小明的家門前有一塊空地，空地外有一面長(zhǎng)10米的圍墻，為了美化生活環(huán)境，小明的爸爸準(zhǔn)備靠墻修建一個(gè)矩形花圃，他買回了32米長(zhǎng)的不銹鋼管準(zhǔn)備作為花圃的圍欄，為了澆花和賞花的方便，準(zhǔn)備在花圃的中間再圍出一條寬為一米的通道及在左右花圃各放一個(gè)1米寬的門（木質(zhì)）花圃的長(zhǎng)與寬如何設(shè)計(jì)才能使花圃的面積最大？【答案】：寬6米，長(zhǎng)10米【解析】：設(shè)花圃的寬為米，面積為平方米則長(zhǎng)為：(米)則：，與的二次函數(shù)的頂點(diǎn)不在自變量的范圍內(nèi)，而當(dāng)內(nèi)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，(平方米)答：可設(shè)計(jì)成寬米，長(zhǎng)10米的矩形花圃，這樣的花圃面積最大例2、某人定制了一批地磚，每塊地磚（如圖(1)所示）是邊長(zhǎng)為0.4米的正方形ABCD，點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上，CFE、ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成CFE、ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價(jià)格依次為30元、20元、10元，若將此種地磚按圖(2)所示的形式鋪設(shè)，且能使中間的陰影部分組成四邊形EFGH(1)判斷圖(2)中四邊形EFGH是何形狀，并說明理由；(2)E、F在什么位置時(shí)，定制這批地磚所需的材料費(fèi)用最??？【答案】：（1）四邊形EFGH是正方形（2）當(dāng)CE=CF=0.1米時(shí)，總費(fèi)用最省【解析】：(1) 四邊形EFGH是正方形圖(2)可以看作是由四塊圖(1)所示地磚繞C點(diǎn)按順(逆)時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的，故CE=CF =CGCEF是等腰直角三角形因此四邊形EFGH是正方形 (2)設(shè)CE=x, 則BE=0.4x，每塊地磚的費(fèi)用為y元那么：y=x×30+×0.4×(0.4-x)×20+ 當(dāng)x=0.1時(shí)，y有最小值，即費(fèi)用為最省，此時(shí)CE=CF=0.1答：當(dāng)CE=CF=0.1米時(shí)，總費(fèi)用最省例3、某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻(墻長(zhǎng)15m)的空地上修建一個(gè)矩形花園ABCD，花園的一邊靠墻，另三邊用總長(zhǎng)為40m的柵欄圍成若設(shè)花園的寬為x(m) ，花園的面積為y(m²)(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出自變量的取值范圍；（2）根據(jù)（1）中求得的函數(shù)關(guān)系式，描述其圖象的變化趨勢(shì)；并結(jié)合題意判斷當(dāng)x取何值時(shí)，花園的面積最大，最大面積是多少？【答案】：（1）y=（2）187.5【解析】： 二次函數(shù)的頂點(diǎn)不在自變量的范圍內(nèi)，而當(dāng)內(nèi)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，(平方米)答：當(dāng)米時(shí)花園的面積最大，最大面積是187.5平方米例4、如圖，要建一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻，如果用50 m長(zhǎng)的籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養(yǎng)雞場(chǎng)，設(shè)它的長(zhǎng)度為x米(1)要使雞場(chǎng)面積最大，雞場(chǎng)的長(zhǎng)度應(yīng)為多少m？(2)如果中間有n(n是大于1的整數(shù))道籬笆隔墻，要使雞場(chǎng)面積最大，雞場(chǎng)的長(zhǎng)應(yīng)為多少米？比較(1)(2)的結(jié)果，你能得到什么結(jié)論？ 【答案】：（1）25（2）25【解析】：(1)長(zhǎng)為x米，則寬為米，設(shè)面積為平方米當(dāng)時(shí)，(平方米)即：雞場(chǎng)的長(zhǎng)度為25米時(shí)，面積最大(2) 中間有道籬笆，則寬為米，設(shè)面積為平方米則：當(dāng)時(shí)，(平方米)由(1)(2)可知，無論中間有幾道籬笆墻，要使面積最大，長(zhǎng)都是25米即：使面積最大的值與中間有多少道隔墻無關(guān)例5、如圖，矩形ABCD的邊AB=6 cm，BC=8cm，在BC上取一點(diǎn)P，在CD邊上取一點(diǎn)Q，使APQ成直角，設(shè)BP=x cm，CQ=y cm，試以x為自變量，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式【答案】：【解析】：APQ=90°, APB+QPC=90°.APB+BAP=90°,QPC=BAP，B=C=90°.ABPPCQ.例6、如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給他做了一個(gè)簡(jiǎn)易的秋千，拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的那棵樹0.5米時(shí)，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點(diǎn)距地面的距離為多少米？【答案】：0.5【解析】：如圖所示建立直角坐標(biāo)系則：設(shè) 將點(diǎn)，代入，解得 頂點(diǎn)，最低點(diǎn)距地面0.5米例7、小李想用籬笆圍成一個(gè)周長(zhǎng)為60米的矩形場(chǎng)地，矩形面積S(單位：平方米)隨矩形一邊長(zhǎng)x(單位：米)的變化而變化（1）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)x是多少時(shí)，矩形場(chǎng)地面積S最大？最大面積是多少？【答案】：（1） （2）15,225【解析】：（1）根據(jù)題意，得 自變量的取值范圍是 （2），有最大值 當(dāng)時(shí)，答：當(dāng)為15米時(shí)，才能使矩形場(chǎng)地面積最大，最大面積是225平方米例8、隨著綠城南寧近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展，對(duì)花木的需求量逐年提高某園林專業(yè)戶計(jì)劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，種植樹木的利潤(rùn)與投資量成正比例關(guān)系，如圖12-所示；種植花卉的利潤(rùn)與投資量成二次函數(shù)關(guān)系，如圖12-所示(注：利潤(rùn)與投資量的單位：萬元)（1）分別求出利潤(rùn)與關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤(rùn)？他能獲取的最大利潤(rùn)是多少？【答案】：（1）關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式是=，關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式是（2）當(dāng)時(shí)，的最大值為32【解析】：（1）設(shè)=,由圖12-所示，函數(shù)=的圖像過（1，2），所以2=，故利潤(rùn)關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式是=；因?yàn)樵搾佄锞€的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，所以設(shè)=，由圖12-所示，函數(shù)=的圖像過（2，2），所以， 故利潤(rùn)關(guān)于投資量的函數(shù)關(guān)系式是；（2）設(shè)這位專業(yè)戶投入種植花卉萬元（），則投入種植樹木()萬元，他獲得的利潤(rùn)是萬元，根據(jù)題意，得=+=當(dāng)時(shí)，的最小值是14； 他至少獲得14萬元的利潤(rùn)因?yàn)?，所以在?duì)稱軸的右側(cè)，隨的增大而增大所以，當(dāng)時(shí)，的最大值為32例9、如圖，把一張長(zhǎng)10cm，寬8cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個(gè)同樣大小的正方形，再折合成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體盒子（紙板的厚度忽略不計(jì)）（1）要使長(zhǎng)方體盒子的底面積為48cm2，那么剪去的正方形的邊長(zhǎng)為多少？（2）你感到折合而成的長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積會(huì)不會(huì)有更大的情況？如果有，請(qǐng)你求出最大值和此時(shí)剪去的正方形的邊長(zhǎng)；如果沒有，請(qǐng)你說明理由；（3）如果把矩形硬紙板的四周分別剪去2個(gè)同樣大小的正方形和2個(gè)同樣形狀、同樣大小的矩形，然后折合成一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體盒子，是否有側(cè)面積最大的情況；如果有，請(qǐng)你求出最大值和此時(shí)剪去的正方形的邊長(zhǎng)；如果沒有，請(qǐng)你說明理由【答案】：（1）1（2）40.5（3）最大面積為cm2【解析】：（1）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為cm，則即解得（不合題意，舍去），剪去的正方形的邊長(zhǎng)為1cm（2）有側(cè)面積最大的情況設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為cm，盒子的側(cè)面積為cm2，則與的函數(shù)關(guān)系式為：即改寫為當(dāng)時(shí)，即當(dāng)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為2.25cm時(shí)，長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積最大為40.5cm2（3）有側(cè)面積最大的情況設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為cm，盒子的側(cè)面積為cm2若按圖1所示的方法剪折，則與的函數(shù)關(guān)系式為：即當(dāng)時(shí)，若按圖2所示的方法剪折，則與的函數(shù)關(guān)系式為：即當(dāng)時(shí)，比較以上兩種剪折方法可以看出，按圖2所示的方法剪折得到的盒子側(cè)面積最大，即當(dāng)剪去的正方形的邊長(zhǎng)為cm時(shí)，折成的有蓋長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積最大，最大面積為cm2例10、一座拱橋的輪廓是拋物線型(如圖16所示)，拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m（1）將拋物線放在所給的直角坐標(biāo)系中(如圖17所示)，求拋物線的解析式；（2）求支柱的長(zhǎng)度；（3）拱橋下地平面是雙向行車道(正中間是一條寬2m的隔離帶)，其中的一條行車道能否并排行駛寬2m、高3m的三輛汽車(汽車間的間隔忽略不計(jì))？請(qǐng)說明你的理由【答案】：（1）拋物線的表達(dá)式是 （2）5.5（3）能通過【解析】：（1）根據(jù)題目條件，的坐標(biāo)分別是設(shè)拋物線的解析式為，將的坐標(biāo)代入，得 解得所以拋物線的表達(dá)式是（2）可設(shè)，于是 從而支柱的長(zhǎng)度是米（3）設(shè)是隔離帶的寬，是三輛車的寬度和，則點(diǎn)坐標(biāo)是過點(diǎn)作垂直交拋物線于，則根據(jù)拋物線的特點(diǎn)，可知一條行車道能并排行駛這樣的三輛汽車8