類型三 新解題方法型例1、 求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)是常見的數(shù)學問題，中國古代數(shù)學專著九章算術(shù)中便記載了求兩個正整數(shù)最大公數(shù)最大公約數(shù)的一種方法更相減損術(shù)，術(shù)曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數(shù)，以少成多，更相減損，求其等也以等數(shù)約之”，意思是說，要求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)，先用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，得到差，然后用減數(shù)與差中的較大數(shù)減去較小數(shù)，以此類推，當減數(shù)與差相等時，此時的差(或減數(shù))即為這兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)例如：求91與56的最大公約數(shù)915635563521352114211471477所以，91與56的最大公約數(shù)是7.請用以上方法解決下列問題：(1)求108與45的最大公約數(shù)；(2)求三個數(shù)78、104、143的最大公約數(shù)【解答】解：(1)1084563634518451827271891899所以，108與45的最大公約數(shù)是9；(2)先求104與78的最大公約數(shù)，1047826782652522626所以，104與78的最大公約數(shù)是26；再求26與143的最大公約數(shù)，143261171172691912665652639392613261313所以，26與143的最大公約數(shù)是13.綜上所述，78、104、143的最大公約數(shù)是13.例2、數(shù)和形是數(shù)學的兩個主要研究對象，我們經(jīng)常運用數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法解決一些數(shù)學問題下面我們來探究“由數(shù)思形，以形助數(shù)”的方法在解決代數(shù)問題中的應用探究：求不等式|x1|< 2的解集(1)探究|x1|的幾何意義【解答】如圖，在以O(shè)為原點的數(shù)軸上，設(shè)點A對應的數(shù)是x1，由絕對值的定義可知，點A與點O的距離為|x1|，可記為AO|x1|.將線段AO向右平移1個單位得到線段AB，此時點A對應的數(shù)是x，點B對應的數(shù)是1.因為ABAO，所以AB|x1|.因此，|x1|的幾何意義可以理解為數(shù)軸上x所對應的點A與1所對應的點B之間的距離AB.第2題圖 (2)求方程|x1|2的解【解答】因為數(shù)軸上3和1所對應的點與1所對應的點之間的距離都為2，所以方程的解為3，1.(3)求不等式|x1|<2的解集因為|x1|表示數(shù)軸上x所對應的點與1所對應的點之間的距離，所以求不等式解集就轉(zhuǎn)化為求這個距離小于2的點對應的數(shù)x的范圍請在圖的數(shù)軸上表示|x1|<2的解集，并寫出這個解集【解答】 解：在數(shù)軸上表示如解圖所示第2題解圖所以，不等式的|x1|<2的解集為1<x<3.例3、古希臘數(shù)學家丟番圖(公元250年前后)在算術(shù)中提到了一元二次方程的問題，不過當時古希臘人還沒有尋求到它的求根公式，只能用圖解等方法來求解在歐幾里得的幾何原本中，形如x2axb2(a0，b0)的方程的圖解法是：如圖，以和b為兩直角邊作RtABC，再在斜邊上截取BD，則AD的長就是所求方程的解(1)請用含字母a、b的代數(shù)式表示AD的長(2)請利用你已學的知識說明該圖解法的正確性，并說說這種解法的遺憾之處第3題圖 【解答】解：(1)C90°，BC，ACb，AB，AD；(2)用求根公式求得：x1；x2故AD的長就是方程的正根，遺憾之處：圖解法不能表示方程的負根例4、請你閱讀引例及其分析解答，希望能給你以啟示，然后完成對探究一和探究二的解答引例：設(shè)a，b，c為非負實數(shù)，求證：(abc)，分析：考慮不等式中各式的幾何意義，我們可以試構(gòu)造一個邊長為abc的正方形來研究解：如圖，設(shè)正方形的邊長為abc，則AB，BC，CD，顯然ABBCCDAD，(abc)探究一：已知兩個正數(shù)x，y，滿足xy12，求的最小值(圖僅供參考)；探究二：若a，b為正數(shù)，求以，為邊的三角形的面積第4題圖【解答】解：探究一：如解圖，構(gòu)造矩形AECF，并設(shè)矩形的兩邊長分別為12，5，第4題解圖則xy12，AB，BC，顯然ABBCAC，當A，B，C三點共線時，ABBC最小，即的最小值為AC，AC13，的最小值為13；第4題解圖探究二：如解圖，設(shè)矩形ABCD的兩邊長分別為2a，2b，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，則CF，CE，EF，設(shè)以，為邊的三角形的面積為SCEF，SCEFS矩形ABCDSCDFSAEFSBCE4ab×2a×baba×2bab，以，為邊的三角形的面積為ab.5