類型四 二次函數(shù)與特殊三角形判定問題例1、如圖，已知拋物線yax2bxc(a0)的對稱軸為直線x1，且經(jīng)過A(1，0)，C(0，3)兩點，與x軸的另一個交點為B.(1)若直線ymxn經(jīng)過B，C兩點，求拋物線和直線BC的解析式；(2)在拋物線的對稱軸x1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求點M的坐標(biāo)；(3)設(shè)點P為拋物線的對稱軸x1上的一個動點，求使BPC為直角三角形的點P的坐標(biāo)【解析】解：(1)依題意，得，解得拋物線的解析式為yx22x3.對稱軸為x1，拋物線經(jīng)過A(1，0)，B(3，0)設(shè)直線BC的解析式為ymxn(m0)，把B(3，0)，C(0，3)分別代入ymxn，得，解得直線BC的解析式為yx3.(2)如解圖，設(shè)直線BC與對稱軸x1的交點為M，連接MA，MAMB，MAMCMBMCBC.使MAMC最小的點M應(yīng)為直線BC與對稱軸x1的交點把x1代入直線yx3，得y2.M(1，2)(3)設(shè)P(1，t)，結(jié)合B(3，0)，C(0，3)，得BC218，PB2(13)2t24t2，PC2(1)2(t3)2t26t10. 若B為直角頂點，則BC2PB2PC2，即184t2t26t10，解得t2；若C為直角頂點，則BC2PC2PB2，即18t26t104t2，解得t4；若P為直角頂點，則PB2PC2BC2，即4t2t26t1018，解得t1，t2.綜上所述，滿足條件的點P共有四個，分別為：P1(1，2)，P2(1，4)，P3(1，)，P4(1，)例2、如圖，拋物線yx2x4與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸與x軸交于點M.P是拋物線在x軸上方的一個動點(點P、M、C不在同一條直線上)(1)求點A，B的坐標(biāo)；(2)連接AC、PB、BC，當(dāng)SPBCSABC時，求出此時點P的坐標(biāo)；(3)分別過點A、B作直線CP的垂線，垂足分別為點D、E，連接MD、ME.問MDE能否為等腰直角三角形？若能，求此時點P的坐標(biāo)；若不能，說明理由第2題 【解析】解：(1)令yx2x40，解得x11，x25，A點的坐標(biāo)為(1，0)，B點的坐標(biāo)為(5，0)(2)如解圖，過點A作APBC，與拋物線交于點P，則SPBCSABC，第1題解圖 第2題解圖第2題解圖當(dāng)x0時，yx2x4 4，點C的坐標(biāo)為(0，4)，設(shè)過點B，C兩點的直線的解析式為ykxb(k0)，則有解得直線BC的解析式為yx4，由于PABC，設(shè)AP的解析式為yxm，代入點A(1，0)，解得m，直線AP的解析式為yx，聯(lián)立方程組得解得： P點的坐標(biāo)為(4，) (3)MDE能成為等腰直角三角形，理由：拋物線yx2x4(x3)2，對稱軸是直線x3.M(3，0)當(dāng)MED90°時，點E，B，M在一條直線上，此種情況不成立；同理：當(dāng)MDE90°時，不成立；當(dāng)DME90°時，如解圖所示，設(shè)直線PC與對稱軸交于點N，EMDM，MNAM，EMNDMA.MDE45°，EDA90°，MDA135°.MED45°，NEM135°，ADMNEM135°.在ADM與NEM中， ADMNEM(ASA)MNMA2，N(3，2)設(shè)直線PC的解析式為ykxb(k0)，將點N(3，2)，C(0，4)代入直線的解析式得： 解得： 直線PC的解析式為y2x4.將y2x4代入拋物線解析式得：2x4 x2x4，解得：x0或x，P(，3)綜上所述，MDE能成為等腰直角三角形，此時點P的坐標(biāo)為(，3)例3、如圖，拋物線yax2bx4交x軸于A、B兩點(點A在點B左側(cè))，交y軸于點C，連接AC、BC，其中COBO2AO.(1)求拋物線的解析式；(2)點Q為直線BC上方的拋物線上一點，過點Q作QEAC交BC于點E，作QNx軸于點N，交BC于點M，當(dāng)EMQ的周長L最大時，求點Q的坐標(biāo)及L的最大值；(3)如圖，在(2)的結(jié)論下，連接AQ分別交BC于點F，交OC于點G，四邊形BOGF從F開始沿射線FC平移，同時點P從C開始沿折線COOB運動，且點P的運動速度為四邊形BOGF平移速度的倍，當(dāng)點P到達B點時，四邊形BOGF停止運動，設(shè)四邊形BOGF平移過程中對應(yīng)的圖形為B1O1G1F1，當(dāng)PFF1為等腰三角形時，求B1F的長度第3題圖【解析】 解：(1)拋物線yax2bx4與y軸交于點C，點C的坐標(biāo)為(0，4)COBO2AO，點A的坐標(biāo)為(2，0)，點B的坐標(biāo)為(4，0)，將點A、B的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得解得拋物線的解析式為yx2x4.(2)點A(2，0)，點B(4，0)，點C(0，4)，直線AC的解析式為y2x4，直線BC的解析式為yx4.設(shè)點Q的坐標(biāo)為(q，q2q4)，QEAC，過點E作EFQM于點F，如解圖，第3題解圖則，QF2EF，QEEF，在RtEFM中，易得FEMFMEMBN45°，EMEF，EFMF，QM3EF，當(dāng)EF最大時，EQM的周長最大，直線AC的解析式為y2x4，直線QEAC，設(shè)直線QE的解析式為y2xt，將Q點坐標(biāo)代入得，tq2q4，直線QE的解析式為y2x(q2q4)，與直線BC聯(lián)立解得點E的坐標(biāo)為(q2q，q2q4)EFqq2qq2q(q2)2，根據(jù)二次函數(shù)最值性質(zhì)可知，當(dāng)q2時，EF最大，為.此時點Q的坐標(biāo)為(2，4)，L3EFEFEF(3)(3)由(2)知點Q的坐標(biāo)為(2，4)，則直線QA的解析式為yx2，AQBC于F，且點F的坐標(biāo)為(1，3)點B(4，0)，BF3.設(shè)四邊形BOGF平移的距離FF1t，則點P運動的速度為2t.當(dāng)點P在OC上，此時0<t2，則點B1在BF上此時易得點F1的坐標(biāo)為(1t，t3)，點P的坐標(biāo)為(0，42t)PF21(12t)24t24t2，PF12(1t)2(3t42t)210t28t2，F(xiàn)F122t2.(i)當(dāng)PF2FF12時，4t24t22t2，解得t1t21，此時B1FB1F1FF1BFFF12；(ii)當(dāng)PF2PF12時，4t24t210t28t2，解得t1，t20(舍)，此時B1FB1F1FF1； (iii)當(dāng)F1F2PF12時，2t210t28t2，解得t1t2，此時B1F；當(dāng)點P在OB上，此時2<t4，當(dāng)2<t<3時，點B1在BF上，當(dāng)3<t4時，點B1在BF的延長線上此時點P的坐標(biāo)是(2t4，0)，在PFF1中，PFF1>90°，若PFF1是等腰三角形，則只能是PFFF1，即(2t41)292t2，解得t152，t252(舍)，此時t52<3，B1FB1F1FF13(52)×42.綜上所述，當(dāng)PFF1為等腰三角形時，B1F的長度為2或或或42.例4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax2bxc的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊)，與y軸交于點C，點A、C的坐標(biāo)分別為(1，0)，(0，3)，直線x1為拋物線的對稱軸，點D為拋物線的頂點，直線BC與對稱軸相交于點E.(1)求拋物線的解析式及點D的坐標(biāo)；(2)點P為直線x1右方拋物線上的一點(點P不與點B重合)，記A、B、C、P四點所構(gòu)成的四邊形面積為S，若SSBCD，求點P的坐標(biāo)；(3)點Q是線段BD上的動點，將DEQ沿邊EQ翻折得到DEQ，是否存在點Q使得DEQ與BEQ的重疊部分圖形為直角三角形，若存在，請求出BQ的長；若不存在，請說明理由【解析】解：(1)點A與點B關(guān)于直線x1對稱，B(3，0)，設(shè)拋物線的解析式為ya(x1)(x3)，把C(0，3)代入得3a3，解得a1，拋物線的解析式為y(x1)(x3)x22x3，y(x1)24，拋物線頂點D的坐標(biāo)為(1，4)(2)設(shè)P(m，m22m3)，易得直線BC的解析式為yx3，當(dāng)x1時，y132，則E(1，2)，SBDCSBDESCDE×2×(12)3，當(dāng)點P在x軸上方時，即m>3，如解圖，第4題解圖第4題解圖第4題解圖SSCABSPAB×3×(31)×(31)×(m22m3)2m24m，SSBCD， 2m24m，整理得4m28m150，解得m1，m2(舍去)，P點坐標(biāo)為(，)；當(dāng)點P在x軸下方時，即1<m<3，如解圖，連接OP，SSAOCSCOPSPOB×3×1×3×m×3×(m22m3)m2m6， SSBCD， m2m6，整理得m23m10，解得m1，m2(舍去)，P點坐標(biāo)為(，)，綜上所述，P點坐標(biāo)為(，)或(，)(3)存在直線x1交x軸于點F，BD2，如解圖，EQDB于點Q，DEQ沿EQ翻折得到DEQ，EDQBDF，RtDEQRtDBF，即，解得DQ，BQBDDQ2；如解圖，EDBD于H，EDHBDF，RtDEHRtDBF，即，解得DH，EH，在RtQHD中，設(shè)QHx，DQDQDHHQx，DHDEEHDEEH2，x2(2)2(x)2，解得x1，BQBDDQBD(DHHQ)BDDHHQ211；如解圖，DQBC于點G，作EIBD于點I，由得EI，BI，第4題解圖第4題解圖DEQ沿邊EQ翻折得到DEQ，EQDEQD， EGEI，BE2， BGBEEG2，GBQIBE，RtBQGRtBEI，即， BQ，綜上所述，當(dāng)BQ為或1或時，將DEQ沿邊EQ翻折得到DEQ，使得DEQ與BEQ的重疊部分圖形為直角三角形例5、已知如圖，拋物線yx22x與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，對稱軸交x軸于點E.(1)如圖，連接BD，試求出直線BD的解析式；(2)如圖，點P為拋物線第一象限上一動點，連接BP，CP，AC，當(dāng)四邊形PBAC的面積最大時，線段CP交BD于點F，求此時DFBF的值；(3)如圖，已知點K(0，2)，連接BK，將BOK沿著y軸上下平移(包括BOK)，在平移的過程中直線BK交x軸于點M，交y軸于點N，則在拋物線的對稱軸上是否存在點G，使得GMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由第5題圖【解析】 解：(1)在yx22x中，令y0，則x22x0，解得x11，x25，則點A的坐標(biāo)是(1，0)，點B的坐標(biāo)是(5，0)拋物線yx22x的對稱軸是x2，把x2代入解析式得y，則點D的坐標(biāo)是(2，)設(shè)直線BD的解析式是ykxb(k0)，將B、D兩點坐標(biāo)代入得： 解得直線BD的解析式是yx.(2)連接BC，如解圖，yx22x中，令x0，則y，則點C的坐標(biāo)是(0，)設(shè)直線BC的解析式y(tǒng)mxn(m0)，則解得則直線BC的解析式是yx.S四邊形PBACSABCSBCP，SABCAB·OC×6×，BCP面積最大時，S四邊形PBAC有最大值，設(shè)與BC平行且與拋物線只有一個公共點的直線的解析式是yxd.則x22xxd，即x25x(2d5)0，當(dāng)0時，x，代入yx22x中得：y，則點P的坐標(biāo)是(，)又點C的坐標(biāo)是(0，)，設(shè)直線CP的解析式是yexf，則解得則直線CP的解析式是yx.根據(jù)題意得解得則點F的坐標(biāo)是(，)DF，BF，則.(3)存在，點G的坐標(biāo)為(2，)，(2，)，(2，3)或(2，7)【解法提示】假設(shè)存在設(shè)BK的解析式是ykxb(k0)，將點B(5，0)，K(0，2)代入得 解得直線BK的解析式是yx2，設(shè)直線MN的解析式為yxm，當(dāng)y0時，xm，即M(m，0)，當(dāng)x0時，ym，即N(0，m)GMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形分兩種情況：MGMN，GMN90°，如解圖.第5題解圖 第5題解圖 第5題解圖 第5題解圖MGEGME90°，GMEOMN90°，MGEOMN.在GME和MNO中GMEMNO(AAS)，MEON，EGOM，當(dāng)點M在點E右側(cè)時，MEm2，ONm，OMm，m2m，解得m.EGOMm，G點的坐標(biāo)為(2，); 當(dāng)M在線段OE上時，如解圖，ME2m，ONm，EGOMm，2mm，解得m， EGOMm，點G的坐標(biāo)為(2，)；當(dāng)M在點O左側(cè)時，易得MN<MG，此時不存在點G使GMN為等腰直角三角形；NGMN，GNM90°，過點N作NF拋物線對稱軸于點F，如解圖所示ONGMNO90°，ONGGNF90°，MNOGNF.在GNF和MNO中，GNFMNO(AAS)，NFON，F(xiàn)GOM，當(dāng)點N在y軸正半軸時，ONm，OMm，2m.FGOMm5，EGFGEFFGON3，G點的坐標(biāo)為(2，3)；當(dāng)點N在y軸負(fù)半軸時，如解圖，ONm，OMm，NF2，第5題解圖第6題解圖m2，OM×(2)5(此時M與B重合，N與K重合)，EGEFFGONOM7，點G的坐標(biāo)為(2，7)綜上可知：在拋物線的對稱軸上存在點G，使得GMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形，點G的坐標(biāo)為(2，)，(2，)，(2，3)或(2，7)例6、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx2x3與x軸交于A，B兩點(點A在點B左側(cè))，與y軸交于點C，拋物線的頂點為點E.(1)判斷ABC的形狀，并說明理由；(2)經(jīng)過B，C兩點的直線交拋物線的對稱軸于點D，點P為直線BC上方拋物線上的一動點，當(dāng)PCD的面積最大時，點Q從點P出發(fā)，先沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\動到拋物線的對稱軸上點M處，再沿垂直于拋物線對稱軸的方向運動到y(tǒng)軸上的點N處，最后沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\動到點A處停止當(dāng)點Q的運動路徑最短時，求點N的坐標(biāo)及點Q經(jīng)過的最短路徑的長；(3)如圖，平移拋物線，使拋物線的頂點E在射線AE上移動，點E平移后的對應(yīng)點為點E，點A的對應(yīng)點為點A.將AOC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至A1OC1的位置，點A，C的對應(yīng)點分別為點A1，C1，且點A1恰好落在AC上，連接C1A，C1E，AC1E是否能為等腰三角形？若能，請求出所有符合條件的點E的坐標(biāo)；若不能，請說明理由第6題圖 解：(1)ABC為直角三角形，理由如下：在拋物線yx2x3中，令y0，得x2x30，解得x1，x23，故A(，0)，B(3，0)令x0，得y3，故C(0，3)，AC212，BC236，AB248，AC2BC2AB2，ABC為直角三角形(2)設(shè)直線BC的解析式為ykxb，將B(3，0)，C(0，3)代入，得解得直線BC的解析式為yx3，如解圖，過點P作PRy軸交BC于點R，設(shè)P(t，t2t3)，則R(t，t3)，PRt2t3(t3)t2t，則SPCDSPRCSPRD·PR·xR(xRxD)t2t(t)2， 0t<3，當(dāng)t時，SPCD取得最大值，此時P(，)，將P(，)向左平移個單位，得P(，)，連接AP交y軸于點N，過點N作NM拋物線對稱軸于點M，連接PM，點Q沿PMNA運動，所走的路徑最短，即最短路徑的長為PMMNAN.設(shè)直線AP的解析式為ymxn，將A(，0)，P(，)代入，得： 解得直線AP的解析式為yx， 令x0，得y，故N(0，)，AP， MN，點Q經(jīng)過的最短路徑等于PMMNANAPMN.(3)CAO60°，OAOA1，AA1O為等邊三角形，C1OB30°，C1(，)， E(，4)，A(，0)，直線AE的解析式為：yx2，設(shè)A(t，t2)，則E(t2，t6)，AE228，AC12t2t7，EC12t27t21，當(dāng)AC1EC1時，t2t7t27t21，解得t，故E(，5)；當(dāng)AEAC1時，28t2t7，解得t，t，t，故E(，7)；當(dāng)AEEC1時，t27t2128，解得t，t，t，故E(，3)綜上，所有符合條件的點E的坐標(biāo)為(，5)或(，7)或(，3)17