專題10 二次根式考點(diǎn)總結(jié)【思維導(dǎo)圖】【知識要點(diǎn)】知識點(diǎn)一 二次根式的有關(guān)概念和性質(zhì)二次根式概念：一般地，我們把形如（𝑎0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號。【注意】1.二次根式，被開方數(shù)a可以是一個(gè)具體的數(shù)，也可以是代數(shù)式。2.二次根式是一個(gè)非負(fù)數(shù)。3.二次根式與算術(shù)平方根有著內(nèi)在聯(lián)系，（𝑎0）就表示a的算術(shù)平方根。二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a0時(shí)，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。二次根式的性質(zhì)： 1含有兩種相同的運(yùn)算，兩者都需要進(jìn)行平方和開方。2結(jié)果的取值范圍相同，兩者的結(jié)果都是非負(fù)數(shù)。3當(dāng)a0時(shí)，考查題型一 利用二次根式非負(fù)性解題1（2013·四川中考真題）已知實(shí)數(shù)x，y，m滿足，且y為負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是（ ）Am6Bm6Cm6Dm6【答案】A【解析】根據(jù)算術(shù)平方根和絕對值的非負(fù)數(shù)性質(zhì)，得：，解得：。y為負(fù)數(shù)，6m0，解得：m6。故選A。2（2016·四川中考真題）若+b24b+4=0，則ab的值等于（）A2B0C1D2【答案】D【解析】試題分析：由，得：a1=0，b2=0解得a=1，b=2ab=2故選D3（2012·湖北中考真題）若與|xy3|互為相反數(shù)，則x+y的值為（）A3B9C12D27【答案】D【解析】依題意得.xy27.故選D.考查題型二 判斷二次根式有意義的取值范圍1（2013·四川中考真題）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（ ）A B C D且【答案】D【解析】根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)和分式分母不為0的條件，要使在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須且x1。故選D。2（2018·內(nèi)蒙古中考真題）代數(shù)式中x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）ABCD【答案】A【詳解】由題意，得：3x0且x10，解得：x3且x1，在數(shù)軸上表示如圖： 故選A3（2018·山東中考真題）若式子有意義，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 AB且CD且【答案】D【詳解】由題意可知： m2且m1故選D考查題型三 根據(jù)二次根式性質(zhì)進(jìn)行化簡1（2012·湖南中考真題）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，且|a|b|，則化簡的結(jié)果為（ ）A2a+bB-2a+bCbD2a-b【答案】C【解析】試題分析：利用數(shù)軸得出a+b的符號，進(jìn)而利用絕對值和二次根式的性質(zhì)得出即可：由數(shù)軸可知，b0a，且 |a|b|，.故選C2（2016·山東中考真題）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡|a|+的結(jié)果是( ) A2a-bB2abCbDb【答案】A【詳解】由圖可知：，.故選A.3（2011·北京中考真題）如果，則a的取值范圍是（ ）A B C D【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)1可知：，即故答案為B.4（2015·湖北中考真題）當(dāng)1a2時(shí)，代數(shù)式|1a|的值是( )A1B1C2a3D32a【答案】B【解析】試題解析：1a2，=|a-2|=-（a-2），|a-1|=a-1，+|a-1|=-（a-2）+（a-1）=2-1=1故選A5（2011·四川中考真題）已知，則的值為（ ）ABCD【答案】A【解析】試題解析：由，得，解得2xy=2×2.5×（-3）=-15，故選A知識點(diǎn)二 二次根式的運(yùn)算二次根式的乘法法則:【注意】1、要注意這個(gè)條件，只有a，b都是非負(fù)數(shù)時(shí)法則成立。:3、乘法交換律在二次根式中仍然適用。二次根式的乘法法則變形（積的算術(shù)平方根）：化簡二次根式的步驟（易錯(cuò)點(diǎn)）：1.把被開方數(shù)分解因式(或因數(shù)) ；2.把各因式(或因數(shù))積的算術(shù)平方根化為每個(gè)因式(或因數(shù))的算術(shù)平方根的積；3.如果因式中有平方式(或平方數(shù))，應(yīng)用關(guān)系式(𝑎)2=𝑎（𝑎0）把這個(gè)因式(或因數(shù))開出來，將二次根式化簡。二次根式的除法法則：【注意】1、要注意這個(gè)條件，因?yàn)閎=0時(shí)，分母為0，沒有意義。2、在實(shí)際解題時(shí)，若不考慮a、b的正負(fù)性，直接得是錯(cuò)誤的。二次根式的除法法則變形（商的算術(shù)平方根）：二次根式的特點(diǎn)：1.被開方數(shù)不含分母，例： ；2.被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，例： ?！径胃竭\(yùn)算中的注意事項(xiàng)】一般將最后結(jié)果化為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式。二次根式的加減：先將二次根式化為最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）進(jìn)行合并。（合并方法為：將系數(shù)相加減，二次根式部分不變），不能合并的直接抄下來。二次根式比較大小：1、若，則有；2、若，則有3、將兩個(gè)根式都平方，比較平方后的大小，對應(yīng)平方前的大小。二次根式混合運(yùn)算順序：先計(jì)算括號內(nèi)，再乘方（開方），再乘除，再加減。注意：運(yùn)算結(jié)果是根式的，一般應(yīng)表示為最簡二次根式?？疾轭}型四 二次根式化簡的方法1（2016·甘肅中考真題）下列根式中是最簡二次根式的是ABCD【答案】B【詳解】A=，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B是最簡二次根式，故此選項(xiàng)正確；C=3，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D=，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選B2（2018·甘肅中考真題）下列二次根式中，是最簡二次根式的是ABCD【答案】B【詳解】A、不是最簡二次根式，錯(cuò)誤；B、是最簡二次根式，正確；C、不是最簡二次根式，錯(cuò)誤；D、不是最簡二次根式，錯(cuò)誤，故選B3（2011·廣東中考真題）下列二次根式中，最簡二次根式的是（）ABCD【答案】C【詳解】A、=，被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式；故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、=，被開方數(shù)為小數(shù)，不是最簡二次根式；故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，是最簡二次根式；故C選項(xiàng)正確；D=，被開方數(shù)，含能開得盡方的因數(shù)或因式，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選C考查題型五 二次根式乘除運(yùn)算的方法1（2015·安徽中考真題）計(jì)算×的結(jié)果是（ ）AB4CD2【答案】B【解析】試題解析：.故選B.2.（2013·海南中考真題）下列各數(shù)中，與的積為有理數(shù)的是（ ）A B C D【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算的法則對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一計(jì)算作出判斷：A、，是無理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，是無理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，是有理數(shù)，故本選項(xiàng)正確；D、，是無理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤。故選C。3（2018·江蘇中考真題）計(jì)算：=_【答案】2【詳解】=2，故答案為：2.4.（2018·湖南中考真題）_.【答案】6【詳解】原式=2×=6故答案為：65（2019·安徽中考真題）計(jì)算的結(jié)果是_.【答案】3【詳解】解：，故答案為36（2015·廣西中考真題）計(jì)算：_.【答案】【解析】試題分析：原式=3故答案為37.（2016·山東中考真題）計(jì)算：= 【答案】12【解析】試題分析：直接利用二次根式乘除運(yùn)算法則化簡求出答案=3×÷=3=12考察題型六 二次根式加減運(yùn)算的方法1（2018·山東中考真題）與最簡二次根式5是同類二次根式，則a=_【答案】2【解析】詳解：與最簡二次根式5是同類二次根式，且=2，a+1=3，解得：a=2故答案為22（2019·江蘇中考真題）計(jì)算：【答案】【解析】3（2018·黑龍江中考真題）計(jì)算610的結(jié)果是_【答案】 【解析】原式=6-10×=6-2=4，故答案為44（2018·遼寧中考真題）計(jì)算：=_【答案】【解析】詳解：原式=3-2=故答案為5（2018·湖北中考真題）計(jì)算的結(jié)果是_【答案】 【詳解】=，故答案為：.考查題型七 分母有理化的方法1（2015·江蘇中考真題）計(jì)算的結(jié)果是 【答案】5【詳解】.故答案為5.2（2019·江蘇中考真題）計(jì)算的結(jié)果是_【答案】0【詳解】解：原式2-20故答案為03（2015·湖南中考真題）把進(jìn)行化簡，得到的最簡結(jié)果是 （結(jié)果保留根號）?！敬鸢浮?【解析】首先將其進(jìn)行分母有理數(shù)，然后再進(jìn)行二次根式求和.原式=+=2.4（2019·山東中考真題）計(jì)算：_【答案】【詳解】.故答案為.考查題型八 二次根式混合運(yùn)算1（2019·山東中考真題）計(jì)算：_【答案】【詳解】解：原式，故答案為：2（2015·遼寧中考真題）計(jì)算的值是_【答案】1【詳解】原式=故答案為3（2015·內(nèi)蒙古中考真題）計(jì)算：= 【答案】8【解析】原式=91=8，故答案為84（2015·山東中考真題）計(jì)算（+）（）的結(jié)果為 【答案】1【解析】此題是整式的乘法運(yùn)算，其符合平方差公式，因此根據(jù)公式可直接計(jì)算，.考查題型九 二次根式化簡求值的方法1（2014·四川中考真題）已知，則x12+x22= 【答案】10【解析】，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=2（2019·山東中考真題）已知，那么的值是_【答案】4【詳解】，故答案為：43（2016·湖北中考真題）當(dāng)a=1時(shí)，代數(shù)式的值是 【答案】【解析】a=1， a+b=+1+1=2，ab=+1+1=2，=；4（2015·吉林中考真題）先化簡，再求值：，其中【答案】，5【解析】式=，當(dāng)時(shí)，原式=61=5考查題型十 二次根式比較大小的方法1（2018·河南中考模擬）比較大小：2_3（填“”、“”或“”）【答案】【解析】詳解：， 2（2019·陜西中考模擬）比較大小：5_【答案】【詳解】解：5=5故答案為3（2019·陜西中考模擬）比較大?。篲【答案】【詳解】，故答案為：14