專題19 以三角形為背景的證明與計(jì)算考點(diǎn)分析【例1】（2019·山東中考真題）如圖，已知等邊，于，為線段上一點(diǎn)，且，連接，BF，于，連接（1）求證：；（2）試說明與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系【答案】（1）詳見解析；（2），理由詳見解析【解析】（1）是等邊三角形，且，（2），.理由如下：連接，是等邊三角形，且，.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練運(yùn)用三角形中位線定理是本題的關(guān)鍵【例2】（2019·山東中考真題）小圓同學(xué)對(duì)圖形旋轉(zhuǎn)前后的線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究.（一）猜測探究在中，是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)與相等的角度，得到線段，連接（1）如圖1，若是線段上的任意一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系是 ，與的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）如圖2，點(diǎn)是延長線上點(diǎn)，若是內(nèi)部射線上任意一點(diǎn)，連接，（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明，若不成立，請(qǐng)說明理由（二）拓展應(yīng)用如圖3，在中，是上的任意點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接求線段長度的最小值【答案】（一）（1）結(jié)論：，理由見解析；（2）如圖2中，中結(jié)論仍然成立理由見解析；（二）的最小值為【解析】（一）（1）結(jié)論：，理由：如圖1中，（），故答案為，（2）如圖2中，中結(jié)論仍然成立理由：，（），（二）如圖3中，在上截取，連接，作于，作于，（），當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的值最小，在中，在，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，的最小值為【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用垂線段最短解決最值問題，屬于中考?jí)狠S題考點(diǎn)集訓(xùn)1（2019·湖北中考真題）如圖，在中，是邊上的一點(diǎn)，平分，交邊于點(diǎn)，連接（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)【答案】(1)見解析；（2）【解析】（1）證明：平分，在和中，；（2），平分，在中，【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵2（2019·浙江中考真題）如圖，在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CFAB交ED的延長線于點(diǎn)F，（1）求證：BDECDF；（2）當(dāng)ADBC，AE1，CF2時(shí)，求AC的長【答案】（1）見解析；（2）.【解析】解：（1），.是邊上的中線，.（2），.，.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵3（2019·天津）在RtABC中，A=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)若等腰RtADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰RtRtAD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（0180°），記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P（1）如圖1，當(dāng)=90°時(shí)，線段BD1的長等于 ，線段CE1的長等于 ；（直接填寫結(jié)果）（2）如圖2，當(dāng)=135°時(shí)，求證：BD1=CE1 ，且BD1CE1 ；（3）求點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值（直接寫出結(jié)果）【答案】（1）BD1=，CE1=；（2）見解析；（3）1 +【解析】解：（1）解：A=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，AE=AD=2，等腰RtADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰RtAD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（0180°），當(dāng)=90°時(shí)，AE1=2，E1AE=90°，;（2）證明：當(dāng)=135°時(shí)，如下圖：由旋轉(zhuǎn)可知D1AB=E1AC=135°又AB=AC，AD1=AE1，D1AB E1ACBD1=CE1且 D1BA=E1CA設(shè)直線BD1與AC交于點(diǎn)F，有BFA=CFPCPF=FAB=90°，BD1CE1；（3）解：如圖3，作PGAB，交AB所在直線于點(diǎn)G，D1，E1在以A為圓心，AD為半徑的圓上，當(dāng)BD1所在直線與A相切時(shí)，直線BD1與CE1的交點(diǎn)P到直線AB的距離最大，此時(shí)四邊形AD1PE1是正方形，PD1=2，則，故ABP=30°，則，故點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值為：考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)變換，直角三角形，勾股定理，三角形全等，正方形的性質(zhì)4（2019·江西初二期末）（1）如圖（1），已知：在ABC中，BAC90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD直線m, CE直線m,垂足分別為點(diǎn)D、E.證明:DE=BD+CE.（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上,并且有BDA=AEC=BAC=,其中為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立,請(qǐng)你給出證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合）,點(diǎn)F為BAC平分線上的一點(diǎn),且ABF和ACF均為等邊三角形，連接BD、CE,若BDA=AEC=BAC，試判斷DEF的形狀.【答案】（1）見解析（2）成立（3）DEF為等邊三角形【解析】解：（1）證明：BD直線m，CE直線m，BDACEA=900BAC900，BAD+CAE=900BAD+ABD=900，CAE=ABD又AB="AC" ，ADBCEA（AAS）AE=BD，AD=CEDE="AE+AD=" BD+CE（2）成立證明如下：BDA =BAC=，DBA+BAD=BAD +CAE=1800DBA=CAEBDA=AEC=，AB=AC，ADBCEA（AAS）AE=BD，AD=CEDE=AE+AD=BD+CE（3）DEF為等邊三角形理由如下：由（2）知，ADBCEA，BD=AE，DBA =CAE，ABF和ACF均為等邊三角形，ABF=CAF=600DBA+ABF=CAE+CAFDBF=FAEBF=AF，DBFEAF（AAS）DF=EF，BFD=AFEDFE=DFA+AFE=DFA+BFD=600DEF為等邊三角形（1）因?yàn)镈E=DA+AE，故由AAS證ADBCEA，得出DA=EC，AE=BD，從而證得DE=BD+CE（2）成立，仍然通過證明ADBCEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD（3）由ADBCEA得BD=AE，DBA =CAE，由ABF和ACF均等邊三角形，得ABF=CAF=600，F(xiàn)B=FA，所以DBA+ABF=CAE+CAF，即DBF=FAE，所以DBFEAF，所以FD=FE，BFD=AFE，再根據(jù)DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=600得到DEF是等邊三角形5（2019·貴州中考真題）（1）如圖，在四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若是的平分線，試判斷，之間的等量關(guān)系解決此問題可以用如下方法：延長交的延長線于點(diǎn)，易證得到，從而把，轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中即可判斷，之間的等量關(guān)系_；（2）問題探究：如圖，在四邊形中，與的延長線交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若是的平分線，試探究，之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論【答案】（1）；（2），理由詳見解析.【解析】解：（1）.理由如下：如圖，是的平分線，.點(diǎn)是的中點(diǎn)，又，（AAS），.故答案為：.（2）.理由如下：如圖，延長交的延長線于點(diǎn).，又，（AAS），是的平分線，.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義和等角對(duì)等邊等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵6（2019·江蘇初二期中）如圖，ABC中，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊BC上，BE=CF，點(diǎn)D在AF的延長線上，AD=AC，（1）求證：ABEACF；（2）若BAE=30°，則ADC= °【答案】（1）證明見解析；（2）75【解析】（1）AB=AC，B=ACF，在ABE和ACF中，ABEACF（SAS）；（2）ABEACF，BAE=30°，CAF=BAE=30°，AD=AC，ADC=ACD，ADC=75°，故答案為75【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵.7（2019·江蘇中考真題）如圖，中，點(diǎn)在邊上，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，連接，與交于點(diǎn)(1)求證：；(2)若，求的度數(shù).【答案】(1)證明見解析；(2)78°.【解析】 (1) (2) 【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形證明與性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，比較簡單，基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)是解題關(guān)鍵8（2019·江蘇中考真題）如圖，在ABC中，AB=AC,點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于點(diǎn)0；求證：（1）（2）【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】 (1)AB=AC，ECB=DBC，在 ， ；(2)由(1) ，DCB=EBC，OB=OC.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.9（2019·江蘇中考真題）如圖，中，（1）用直尺和圓規(guī)作的垂直平分線；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）若（1）中所作的垂直平分線交于點(diǎn)，求的長【答案】（1）詳見解析；（2）【解析】（1）如圖直線即為所求（2）垂直平分線段，設(shè)，在中，解得，【點(diǎn)睛】本題考查作圖基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型10（2019·湖北初二期中）（問題提出）如圖，已知ABC是等邊三角形，點(diǎn)E在線段AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC，將BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至ACF連接EF試證明：AB=DB+AF（類比探究）（1）如圖，如果點(diǎn)E在線段AB的延長線上，其他條件不變，線段AB，DB，AF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由（2）如果點(diǎn)E在線段BA的延長線上，其他條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D的基礎(chǔ)上將圖形補(bǔ)充完整，并寫出AB，DB，AF之間的數(shù)量關(guān)系，不必說明理由【答案】證明見解析；（1）AB=BDAF；（2）AF=AB+BD【解析】（1）證明：DE=CE=CF，BCE由旋轉(zhuǎn)60°得ACF，ECF=60°，BE=AF，CE=CF，CEF是等邊三角形，EF=CE，DE=EF，CAF=BAC=60°，EAF=BAC+CAF=120°，DBE=120°，EAF=DBE，又A，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，AEF=ACF，又ED=DC，D=BCE，BCE=ACF，D=AEF，EDBFEA，BD=AF，AB=AE+BF，AB=BD+AF類比探究（1）DE=CE=CF，BCE由旋轉(zhuǎn)60°得ACF，ECF=60°，BE=AF，CE=CF，CEF是等邊三角形，EF=CE，DE=EF，EFC=BAC=60°，EFC=FGC+FCG，BAC=FGC+FEA，F(xiàn)CG=FEA，又FCG=EADD=EAD，D=FEA，由旋轉(zhuǎn)知CBE=CAF=120°，DBE=FAE=60°DEBEFA，BD=AE， EB=AF，BD=FA+AB即AB=BD-AF（2）AF=BD+AB（或AB=AF-BD）如圖，ED=EC=CF，BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至ACF，ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC，CEF是等邊三角形，EF=EC，又ED=EC，ED=EF，AB=AC，BC=AC，ABC是等邊三角形，ABC=60°，又CBE=CAF，CAF=60°，EAF=180°-CAF-BAC=180°-60°-60°=60°DBE=EAF；ED=EC，ECD=EDC，BDE=ECD+DEC=EDC+DEC，又EDC=EBC+BED，BDE=EBC+BED+DEC=60°+BEC，AEF=CEF+BEC=60°+BEC，BDE=AEF，在EDB和FEA中， EDBFEA（AAS），BD=AE，EB=AF，BE=AB+AE，AF=AB+BD，即AB，DB，AF之間的數(shù)量關(guān)系是：AF=AB+BD考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)變化，等邊三角形，三角形全等，11（2019·浙江中考真題）如圖，在中，.已知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點(diǎn)P，連結(jié)AP，求證：；以點(diǎn)B為圓心，線段AB的長為半徑畫弧，與BC邊交于點(diǎn)Q，連結(jié)AQ，若，求的度數(shù).【答案】（1）見解析；（2）B=36°.【解析】（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)P在AB的垂直平分線上，所以PA=PB，所以PAB=B，所以APC=PAB+B=2B.（2）根據(jù)題意，得BQ=BA，所以BAQ=BQA，設(shè)B=x，所以AQC=B+BAQ=3x，所以BAQ=BQA=2x，在ABQ中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即B=36°.【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì).12（2019·山東初三）（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖，小明畫了一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB=AC，在ABC的外側(cè)分別以AB，AC為腰作了兩個(gè)等腰直角三角形ABD，ACE，分別取BD，CE，BC的中點(diǎn)M，N，G，連接GM，GN小明發(fā)現(xiàn)了：線段GM與GN的數(shù)量關(guān)系是_；位置關(guān)系是_（2）類比思考：如圖，小明在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入思考把等腰三角形ABC換為一般的銳角三角形，其中ABAC，其它條件不變，小明發(fā)現(xiàn)的上述結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由（3）深入研究：如圖，小明在（2）的基礎(chǔ)上，又作了進(jìn)一步的探究向ABC的內(nèi)側(cè)分別作等腰直角三角形ABD，ACE，其它條件不變，試判斷GMN的形狀，并給與證明【答案】（1）MG=NG； MGNG；（2）成立，MG=NG，MGNG；（3）答案見解析【解析】（1）連接BE，CD相交于H，如圖1，ABD和ACE都是等腰直角三角形，AB=AD，AC=AE，BAD=CAE=90°CAD=BAE，ACDAEB（SAS），CD=BE，ADC=ABE，BDC+DBH=BDC+ABD+ABE=BDC+ABD+ADC=ADB+ABD=90°，BHD=90°，CDBE，點(diǎn)M，G分別是BD，BC的中點(diǎn)，MGCD且MG=CD，同理：NGBE且NG=BE，MG=NG，MGNG，（2）連接CD，BE，相交于H，如圖2，同（1）的方法得，MG=NG，MGNG；（3）連接EB，DC并延長相交于點(diǎn)H，如圖3.同（1）的方法得，MG=NG，同（1）的方法得，ABEADC，AEB=ACD，CEH+ECH=AEHAEC+180°ACDACE=ACD45°+180°ACD45°=90°，DHE=90°，同（1）的方法得，MGNGGMN是等腰直角三角形.點(diǎn)睛：此題是三角形綜合題，主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，正確作出輔助線用類比的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵13（2019·山東）（提出問題）（1）如圖1，在等邊ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊AMN，連結(jié)CN求證：ABC=ACN（類比探究）（2）如圖2，在等邊ABC中，點(diǎn)M是BC延長線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其它條件不變，（1）中結(jié)論ABC=ACN還成立嗎？請(qǐng)說明理由（拓展延伸）（3）如圖3，在等腰ABC中，BA=BC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰AMN，使頂角AMN=ABC連結(jié)CN試探究ABC與ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由【答案】見解析【解析】解：（1）證明：ABC、AMN是等邊三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60°BAM=CAN在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS）ABC=ACN（2）結(jié)論ABC=ACN仍成立理由如下：ABC、AMN是等邊三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60°BAM=CAN在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS）ABC=ACN（3）ABC=ACN理由如下：BA=BC，MA=MN，頂角ABC=AMN，底角BAC=MANABCAMN又BAM=BACMAC，CAN=MANMAC，BAM=CAN.BAMCANABC=ACN14（2019·遼寧中考真題）如圖，是具有公共邊AB的兩個(gè)直角三角形，其中，AC=BC，ACB=ADB=90°(1)如圖1，若延長DA到點(diǎn)E，使AE=BD，連接CD，CE求證：CD=CE，CDCE；求證：AD+BD=CD；(2)若ABC與ABD位置如圖2所示，請(qǐng)直接寫出線段AD，BD，CD的數(shù)量關(guān)系【答案】(1)證明見解析；證明見解析；(2)AD-BD=CD.【解析】 (1)證明：在四邊形ADBC中，DAC+DBC+ADB+ACB=360°，ADB+ACB=180°，DAC+DBC=180°，EAC+DAC=180°，DBC=EAC，BD=AE，BC=AC，BCDACE(SAS)，CD=CE，BCD=ACE，BCD+DCA=90°，ACE+DCA=90°，DCE=90°，CDCE；CD=CE，CDCE，CDE是等腰直角三角形，DE=CD，DE=AD+AE，AE=BD，DE=AD+BD，AD+BD=CD；(2)解：AD-BD=CD；理由：如圖2，在AD上截取AE=BD，連接CE，AC=BC，ACB=90°，BAC=ABC=45°，ADB=90°，CBD=90°-BAD-ABC=90°-BAD-45°=45°-BAD，CAE=BAC-BAD=45°-BAD，CBD=CAE，BD=AE，BC=AC，CBDCAE(SAS)，CD=CE，BCD=ACE，ACE+BCE=ACB=90°，BCD+BCE=90°，即DCE=90°，DE=CD，DE=AD-AE=AD-BD，AD-BD=CD【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵