類型一 動點探究例1、已知：等邊三角形的邊長為4厘米，長為1厘米的線段在的邊上沿方向以1厘米/秒的速度向點運動（運動開始時，點與點重合，點到達點時運動終止），過點分別作邊的垂線，與的其它邊交于兩點，線段運動的時間為秒（1）線段在運動的過程中，為何值時，四邊形恰為矩形？并求出該矩形的面積；CPQBAMN（2）線段在運動的過程中，四邊形的面積為，運動的時間為求四邊形的面積隨運動時間變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍【解析】：（1）過點作，垂足為則，CPQBAMN當運動到被垂直平分時，四邊形是矩形，即時，四邊形是矩形，秒時，四邊形是矩形，CPQBAMN（2）當時， 當時， 當時， 點評：此題關(guān)鍵也是對P、Q兩點的不同位置進行分類。圖（15）CcDcAcBcQcPcEc例2、如圖，在梯形中，厘米，厘米，的坡度動點從出發(fā)以2厘米/秒的速度沿方向向點運動，動點從點出發(fā)以3厘米/秒的速度沿方向向點運動，兩個動點同時出發(fā)，當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止設(shè)動點運動的時間為秒（1）求邊的長；（2）當為何值時，與相互平分；（3）連結(jié)設(shè)的面積為探求與的函數(shù)關(guān)系式，求為何值時，有最大值？最大值是多少？【解析】：（1）作于點，如圖（3）所示，則四邊形為矩形又2分在中，由勾股定理得：（2）假設(shè)與相互平分由則是平行四邊形（此時在上）即解得即秒時，與相互平分（3）當在上，即時，作于，則即=當秒時，有最大值為當在上，即時，=易知隨的增大而減小故當秒時，有最大值為綜上，當時，有最大值為 例3、如圖，已知中，厘米，厘米，點為的中點AQCDBP（1）如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，與是否全等，請說明理由；若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使與全等？（2）若點Q以中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿三邊運動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在的哪條邊上相遇？【解析】：（1）秒，厘米，厘米，點為的中點，厘米又厘米，厘米，又， ，又，則，點，點運動的時間秒，厘米/秒（2）設(shè)經(jīng)過秒后點與點第一次相遇，由題意，得，解得秒點共運動了厘米，點、點在邊上相遇，經(jīng)過秒點與點第一次在邊上相遇例4、在梯形中，動點從點出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動設(shè)運動的時間為秒（1）求的長 （2）當時，求的值（3）試探究：為何值時，為等腰三角形【解析】：（1）如圖，過、分別作于，于，則四邊形是矩形在中，在，中，由勾股定理得，（圖）ADCBKH（圖）ADCBGMN（2）如圖，過作交于點，則四邊形是平行四邊形由題意知，當、運動到秒時，又ADCBMN（圖）（圖）ADCBMNHE即解得，（3）分三種情況討論：當時，如圖，即當時，如圖，過作于解法一：由等腰三角形三線合一性質(zhì)得在中，又在中，解得即（圖）ADCBHNMF當時，如圖，過作于點.解法一：（方法同中解法一）解得解法二：即綜上所述，當、或時，為等腰三角形例5、如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90o，AB12cm，AD8cm，BC22cm，AB為O的直徑，動點P從點A開始沿AD邊向點D以1cm/s的速度運動，動點Q從點C開始沿CB邊向點B以2cm/s的速度運動，P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，ABOCDPQ當其中一點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動設(shè)運動時間為t(s)(1)當t為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形？(2)當t為何值時，PQ與O相切？【解析】：(1)直角梯形當時，四邊形為平行四邊形由題意可知：，當時，四邊形為平行四邊形 OAPDBQCHEOAPDBQC（2）解：設(shè)與相切于點過點作垂足為直角梯形由題意可知：為的直徑，為的切線在中，即：，因為在邊運動的時間為秒，而（舍去）當秒時，與相切例6、.如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時運動，當有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，運動即停止已知在相同時間內(nèi)，若BQ=xcm()，則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm（1）當x為何值時，以PQ，MN為兩邊,以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個三角形；（2）當x 為何值時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形；ABDCPQMN（3）以P，Q，M，N為頂點的四邊形能否為等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，請說明理由【解析】（1）當點P與點N重合或點Q與點M重合時，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個三角形當點P與點N重合時，（舍去）因為BQ+CM=，此時點Q與點M不重合所以符合題意當點Q與點M重合時，此時，不符合題意故點Q與點M不能重合所以所求x的值為 （2）由（1）知，點Q 只能在點M的左側(cè)，當點P在點N的左側(cè)時，由，解得當x=2時四邊形PQMN是平行四邊形當點P在點N的右側(cè)時，由， 解得當x=4時四邊形NQMP是平行四邊形所以當時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形 （3）過點Q，M分別作AD的垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)由于2x>x，所以點E一定在點P的左側(cè)若以P，Q，M，N為頂點的四邊形是等腰梯形， 則點F一定在點N的右側(cè)，且PE=NF，即解得由于當x=4時， 以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，所以,以P，Q，M，N為頂點的四邊形不能為等腰梯形8