圓1如圖1，ABD內(nèi)接于O，AD是直徑，BAD的平分線交BD于H，交O于點(diǎn)C，連接DC并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，（1）求證：AEAD；（2）若，求的值；（3）如圖2，連接CB并延長(zhǎng)，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若AHHC，AF6，求BEC的面積解：（1）AD是直徑，ACD90°，即ACED，BD是BAD的平分線，故AEAD；（2），則設(shè)BE3a，AB2a，ADAE5a，O交BD于點(diǎn)G，BD是BAD的平分線，則，則OCBD，故OCAB，則OC是ADE的中位線，則OGABa，OCAD，則CGOCOG，CGAB，則；（3）設(shè)：OGm，則AB2m，當(dāng)AHHC時(shí)，由（2）知，AHBCHG（AAS），則ABCG2m，則OC3m，即圓的半徑為3m，ABCO，則，即，解得：m1，故AB2，AD6，BE4，則BD4，ECDC，則BEC的面積SEBD×BE×BD×4×442如圖，AB是O的直徑，M是OA的中點(diǎn)，弦CDAB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DECA交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E（1）連接AD，求OAD；（2）點(diǎn)F在上，CDF45°，DF交AB于點(diǎn)N若DE，求FN的長(zhǎng)解：（1）如圖1，連接OD，是的直徑，于點(diǎn)AB垂直平分CD，M是OA的中點(diǎn)，DOM60°，AOOD，OAD是等邊三角形，OAD60°；（2）如圖2，連接CF，CN，OACD于點(diǎn)M，點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，AB垂直平分CD，NCND，CDF45°，NCDNDC45°，CND90°，CNF90°，由（1）可知，AOD60°，ACD30°，又DECA交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，E90°，ACD30°，DECD2DE2，CNCDsin45°2，由（1）可知，CAD2OAD120°，F(xiàn)180°120°60°，在RtCFN中，F(xiàn)N3如圖1，銳角ABC，ABAC，O是ABC的外接圓，連接BO并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)D，（1）若BDC30°，求BAC的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)0°BAC60°時(shí)，作點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE、DE，DE交AB于F點(diǎn)E在O上（選填“內(nèi)”、“上”、“外”）；證明：AEFEAB；若BDC為等腰三角形，AD2，求AE的長(zhǎng)解：（1）延長(zhǎng)BD交圓O于點(diǎn)G，連結(jié)CG，如圖：，AG，直徑BG，BCG90°，ABAC，BCACBA，設(shè)BCACBA，則AG180°2，DCG90°，BDCG+DCG180°2+90°30°，80°，BACG180°2×80°20°；（2）連結(jié)OC、OE，延長(zhǎng)BD交圓O于點(diǎn)M，連結(jié)CM，如圖：C、E是關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)，OCOE，點(diǎn)E在O上，故答案為：上；證明：C、E是關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)，23，45M，設(shè)1ABCx，則45M180°2x，690°x，23M+6270°3x，AEFEDCEAD23242（270°3x）2（180°2x）180°2x，AEF5180°2x，即AEFEAB；1ABCDBC，BDDC，BDC為等腰三角形，分兩種情況討論：（）當(dāng)BDBC時(shí)，12，即x270°3x，解得：x67.5°，445°60°，滿足題意，此時(shí)AED為等腰直角三角形，AEAD2，AE2；（）當(dāng)DCBC時(shí)，2DBC，即270°3x180°2x，解得：x90°，40°，不滿足0°BAC60°；綜上所述：AE24如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C、D在O上，AD與BC相交于點(diǎn)E連接BD，作BDFBAD，DF與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F（1）求證：DF是O的切線；（2）若DFBC，求證：AD平分BAC；（3）在（2）的條件下，若AB10，BD6，求CE的長(zhǎng)解：（1）連接OD，CD，AB是直徑，ADB90°，ADO+ODB90°，OAOD，BADADO，BDFBAD，BDF+ODB90°，ODF90°，ODDF，DF是O的切線；（2）DFBC，F(xiàn)DBCBD，CADCBD，且BDFBAD，CADBADCBDBDF，AD平分BAC；（3）AB10，BD6，AD8，CBDBAD，ADBBDE90°，BDEADB，DE，AEADDE，CADBAD，sinCADsinBADCE5如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O1與x軸相切于點(diǎn)A（3，0），與y軸相交于B、C兩點(diǎn)，且BC8，連接AB（1）求證：ABO1ABO；（2）求AB的長(zhǎng)；（3）如圖2，O2經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)M，與O1B的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，求出BMBN的值（1）證明：如圖11，連接AO1，O1與x軸相切于點(diǎn)A，OAO190°，又AOB90°，OAO1+AOB180°，AO1OB，ABOO1AB，O1AO1B，O1ABABO1，ABO1ABO；（2）解：如圖12，過(guò)點(diǎn)O1作O1HBC于H，則CHBHBC4，O1HOHOAOAO190°，四邊形AO1HO是矩形，AO1AO3，在RtO1HB中，O1B5，HOO1AO1B5，OBHOBH1，在RtAOB中，AB；（3）解：如圖2，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，則點(diǎn)OB'OB1，ABAB'，BB'2，AB'OABO由（1）知，ABOABO1，ABO1AB'O，180°ABO1180°AB'O，即ABNAB'M，又，AMB'N，AMB'ANB（AAS），MB'NB，BMBNBMB'MBB'2，BMBN的值為26如圖，P是直徑AB上的一點(diǎn)，AB6，CPAB交半圓于點(diǎn)C，以BC為直角邊構(gòu)造等腰RtBCD，BCD90°，連接OD小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)線段AP，BC，OD的長(zhǎng)度之間的關(guān)系進(jìn)行了探究下面是小明的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）對(duì)于點(diǎn)P在AB上的不同位置，畫圖、測(cè)量，得到了線段AP，BC，OD的長(zhǎng)度的幾組值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置AP0.001.002.003.004.005.00BC6.005.484.904.243.462.45OD6.717.247.076.716.165.33在AP，BC，OD的長(zhǎng)度這三個(gè)量中確定AP的長(zhǎng)度是自變量，BC的長(zhǎng)度和OD的長(zhǎng)度都是這個(gè)自變量的函數(shù)；（2）在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出（1）中所確定的函數(shù)的圖象；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，推斷：當(dāng)OD2BC時(shí)，線段AP的長(zhǎng)度約為4.5解：（1）由圖表觀察，可看出隨著AP的變化，BC和OD都在發(fā)生變化，且都有唯一確定的值和其對(duì)應(yīng)，所以AP的長(zhǎng)度是自變量，BC和OD的長(zhǎng)度都是這個(gè)自變量的函數(shù)，故答案分別為：AP，BC，OD；（2）如右圖，可先描點(diǎn)，再畫出如圖所示圖象；（3）由圖象可推斷：當(dāng)OD2BC時(shí)，線段AP的長(zhǎng)度約為4.5，故答案為：4.57如圖，以ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，且與BC邊交于點(diǎn)E，D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AD交BC于F，若ACFC（1）求證：AC是O的切線；（2）若BF8，DF，求O的半徑（3）過(guò)點(diǎn)B作O的切線交CA的延長(zhǎng)線于G，如果連接AE，將線段AC以直線AE為對(duì)稱軸作對(duì)稱線段AH，點(diǎn)H正好落在O上，連接BH，求證：四邊形AHBG為菱形（1）證明：如圖1，連接OA，OD，則OAFD，D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，EODBOD×180°90°，OFD+D90°，CACF，CAFCFAOFD，CAF+OAF90°，即CAO90°，OACA，AC是O的切線；（2）如圖1，設(shè)半徑為r，則OFBFOB8r，在RtOFD中，OF2+OD2DF2，（8r）2+r2（）2，解得，r16，r22（舍去），O的半徑為6；（3）如圖2，連接EH，由對(duì)稱性可知ACAH，CAEHAE，又AEAE，CAEHAE（SAS），CEHA，EHAABE，CABE，OAOB，OABOBA，BE為O的直徑，EAB90°，OAB+OAE90°，又CAE+OAE90°，CAEOAB，COBAOABCAE，ACAB，CAEBAO（ASA），AEAOOE，AEO是等邊三角形，AEO60°，ABE90°AEO30°，AHBAEO60°，ABG90°ABE60°，CAAH，CAAB，AHAB，又AHB60°，ABH是等邊三角形，ABBHAH，GB，GA是O的切線，GBGA，又ABG60°，ABG是等邊三角形，ABBGAG，BHAHBGAG，四邊形AHBG是菱形8已知：ABC是O的內(nèi)接三角形，AB為直徑，ACBC，D、E是O上兩點(diǎn)，連接AD、DE、AE（1）如圖1，求證：AEDCAD45°；（2）如圖2，若DEAB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作DGAC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EKAD于點(diǎn)K，交AC于點(diǎn)F，求證：AF2DG；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接DF、CD，若CDFGAD，DK3，求O的半徑（1）證明：如圖1，連接CO，CE，AB是直徑，ACB90°，ACBC，BCAB45°，COA2B90°，CADCED，AEDCADAEDCEDAECCOA45°，即AEDCAD45°；（2）如圖2，連接CO并延長(zhǎng)，交O于點(diǎn)N，連接AN，過(guò)點(diǎn)E作EMAC于M，則CAN90°，ACBC，AOBO，CNAB，AB垂直平分CN，ANAC，NABCAB，AB垂直平分DE，ADAE，DABEAB，NABEABCABDAB，即GADNAE，CANCME90°，ANEM，NAEMEA，GADMEA，又GAME90°，ADEA，ADGEAM（AAS），AGEM，AMDG，又MEF+MFE90°，MFE+GAD90°，MEFGAD，又GFME90°，ADGEFM（ASA），DGMF，DGAM，AFAM+MF2DG；（3）CDFGAD，F(xiàn)CDDCA，F(xiàn)CDDCA，CFDCDACBA，ACBC，AB為直徑，ABC為等腰直角三角形，CFDCDACBA45°，GFD為等腰直角三角形，設(shè)GFGDa，則FDa，AF2a，F(xiàn)AKDAG，AKFG90°，AFKADG，在RtAFK中，設(shè)FKx，則AK3x，F(xiàn)K2+AK2AF2，x2+（3x）2（2a）2，解得，xa（取正值），F(xiàn)Ka，在RtFKD中，F(xiàn)K2+DK2FD2，（a）2+32（a）2，解得，a（取正值），GFGD，AF，F(xiàn)CDDCA，CD2CAFC，CD2CG2+GD2，CG2+GD2CAFC，設(shè)FCn，則（n）2+（）2（+n）n，解得，n，ACAF+CF+，ABAC，O的半徑為9如圖，在ABCD中，AB4，BC8，ABC60°點(diǎn)P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，作PAB的外接圓O交BD于E（1）如圖1，當(dāng)PB3時(shí)，求PA的長(zhǎng)以及O的半徑；（2）如圖2，當(dāng)APB2PBE時(shí)，求證：AE平分PAD；（3）當(dāng)AE與ABD的某一條邊垂直時(shí)，求所有滿足條件的O的半徑解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作BP的垂線，垂足為H，作直徑AM，連接MP，在RtABH中，ABH60°，BAH30°，BHAB2，AHABsin60°2，HPBPBH1，在RtAHP中，AP，AB是直徑，APM90°，在RtAMP中，MABP60°，AM，O的半徑為，即PA的長(zhǎng)為，O的半徑為；（2）當(dāng)APB2PBE時(shí)，PBEPAE，APB2PAE，在平行四邊形ABCD中，ADBC，APBPAD，PAD2PAE，PAEDAE，AE平分PAD；（3）如圖31，當(dāng)AEBD時(shí)，AEB90°，AB是O的直徑，rAB2；如圖32，當(dāng)AEAD時(shí)，連接OB，OE，延長(zhǎng)AE交BC于F，ADBC，AFBC，BFEDAE，在RtABF中，ABF60°，AFABsin60°2，BFAB2，EF，在RtBFE中，BE，BOE2BAE60°，OBOE，OBE是等邊三角形，r；當(dāng)AEAB時(shí)，BAE90°，AE為O的直徑，BPE90°，如圖33，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，延開(kāi)PE交AD于點(diǎn)Q，在RtDCN中，DCN60°，DC4，DNDCsin60°2，CNCD2，PQDN2，設(shè)QEx，則PE2x，在RtAEQ中，QAEBADBAE30°，AE2QE2x，PEDN，BPEBND，BP10x，在RtABE與RtBPE中，AB2+AE2BP2+PE2，16+4x2（10x）2+（2x）2，解得，x16（舍），x2，AE2，BE2，r，O的半徑為2或或10已知：四邊形ABCD內(nèi)接于O，連接AC，ABAD（1）如圖1，求證：CA平分BCD；（2）如圖2，連接BD交AC于點(diǎn)E，若BD為O直徑，求證：tanCAD；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，連接AF并延長(zhǎng)交O于G，若FG2，tanGAD，求DE的長(zhǎng)（1）證明：ABAD，ACBACD，CA平分BCD；（2）證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線交BC延長(zhǎng)線于Q，CADCBD，BD為直徑，BCD90°，tanCADtanCBD，DQACQACB，ACDCDQ，由（1）得ACBACD，QCDQ，CDCQ，CEDQ，DE：EBCQ：BC，即DE：EBCD：CB，tanCAD；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)D、B分別作DHAG于H，BNAG于N，過(guò)O作OMAG于M，tanGAD，設(shè)AH3k，DH4k，BAN+NAD90°，NAD+ADH90°，BANADH，又BNAAHD90°，ABAD，ADHBAN（AAS），BNAH3k，ANDH4k，DHOMBN，且OBOD，MHMN，NHANAHk，OMAG，MAMG，AHNG3k，F(xiàn)N3k2，連接CG，過(guò)點(diǎn)C作CPAB，則ABFPCF，BAFP，又BFCF，ABFPCF（AAS），F(xiàn)AFP，BAFGCB，GCFP，F(xiàn)CGFPC，CF2FGFP，CFBF，即BN2+FN2FGFA，（3k）2+（3k2）22（4k+3k2），解得k1 或k（FN0舍去），在RtAHD中，AH3，DH4，AD5，BDAB5，BF2BN2+FN2（3k）2+（3k2）210，BF，BC2，在RtBCD中，CD，tanCBD，DEBD11已知：AB、AC是O中的兩條弦，連接OC交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AC上，連接OE，AEOBDO（1）如圖1，若CADCOE，求證：；（2）如圖2，連接OA，若OABCOE，求證：AECD；（3）如圖3，在第（2）問(wèn)的條件下，延長(zhǎng)AO交O于點(diǎn)F，點(diǎn)G在AB上，連接GF，若ADC2BGF，AE5，DG1，求線段BG的長(zhǎng)（1）證明：設(shè)OE與AB交于點(diǎn)H，CADCOE，EHADHO，AEOODA，AEOBDO，BDO+ADO180°，ADOBDO90°，ODAB，；（2）證明：AEO+CEO180°，BDO+ADO180°，AEOBDO，CEOADO，在CEO和ODA中，COEOAD，CEOADO，OCOA，CEOODA（AAS），CEOD，ECOAOD，OAACOC，AOC為等邊三角形，AEACCE，CDOCOD，AECD；（3）證明：延長(zhǎng)FG交OC于點(diǎn)S，延長(zhǎng)CO到點(diǎn)T，使OTOS，連接AT，BF，設(shè)BGF，則BGFSGD，ADC2BGF2，ADCGSD+SGDDSGDGSSDDG1AECD5CSCDSD4在FOS和AOT中，OSOT，SOFAOT，OFOA，F(xiàn)OSAOT（SAS）ATOFSO，ADC2，DATDTA，ADDT，設(shè)OAOCACr，OTOSr4，ODr5，ADDT2r9，在ADC中，CD5，ACr，AD2r9，ACD60°，解ADC得，r8，AD7，過(guò)點(diǎn)D作DKOA，在DOK中，OD3，DOK60°，OK，AK，cosDAK，在ABF中，ABAF×cosDAK，BGABAG12已知四邊形ABCD為O的內(nèi)接四邊形，直徑AC與對(duì)角線BD相交于點(diǎn)E，作CHBD于H，CH與過(guò)A點(diǎn)的直線相交于點(diǎn)F，F(xiàn)ADABD（1）求證：AF為O的切線；（2）若BD平分ABC，求證：DADC；（3）在（2）的條件下，N為AF的中點(diǎn)，連接EN，若AED+AEN135°，O的半徑為2，求EN的長(zhǎng)（1）證明：如圖1，AC為O的直徑，ADC90°，DAC+DCA90°，ABDDCA，F(xiàn)ADABD，F(xiàn)ADDCA，F(xiàn)AD+DCA90°，CAAF，AF為O的切線（2）證明：如圖2，連接OD，ABDAOD，DBCDOC，BD平分ABC，ABDDBC，DOADOC，DADC（3）如圖3，連接OD交CF于M，作EPAD于P，AC為O的直徑，ADC90°DADC，DOAC，F(xiàn)ACDOC90°，AFOM，AOOC，OMAFODE+DEO90°，OCM+DEO90°ODEOCMDOECOM，ODOC，ODEOCM，OEOM，設(shè)OMm，AE2m，APPE2m，DP2+m，AED+AEN135°，AED+ADE135°，AENADE，EANDPE，EANDPE，m，AN，AE，勾股定理得NE13MN是O上的一條不經(jīng)過(guò)圓心的弦，MN4，在劣弧MN和優(yōu)弧MN上分別有點(diǎn)A，B（不與M，N重合），且，連接AM，BM（1）如圖1，AB是直徑，AB交MN于點(diǎn)C，ABM30°，求CMO的度數(shù)；（2）如圖2，連接OM，AB，過(guò)點(diǎn)O作ODAB交MN于點(diǎn)D，求證：MOD+2DMO90°；（3）如圖3，連接AN，BN，試猜想AMMB+ANNB的值是否為定值，若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）如圖1，AB是O的直徑，AMB90°，AMNBMN45°OMOB，OMBOBM30°，CMO45°30°15°；（2）如圖2，連接OA，OB，ON，AONBON又OAOB，ONABODAB，DON90°OMON，OMNONMOMN+ONM+MOD+DON180°，MOD+2DMO90°；（3）如圖3，延長(zhǎng)MB至點(diǎn)M，使BMAM，連接NM，作NEMM于點(diǎn)E設(shè)AMa，BMb四邊形AMBN是圓內(nèi)接四邊形，A+MBN180°NBM+MBN180°，ANBM，ANBN，AMNBMN（SAS），MNNM，BMAMaNEMM于點(diǎn)EME2+（BN2BE2）MN2，化簡(jiǎn)得ab+NB216，AMMB+ANNB1614已知，在PAB中，PAPB，經(jīng)過(guò)A、B作O（1）如圖1，連接PO，求證：PO平分APB；（2）如圖2，點(diǎn)P在O上，PA：AB：2，E是O上一點(diǎn)，連接AE、BE求tanAEB的值；（3）如圖3，在（2）的條件下，AE經(jīng)過(guò)圓心O，AE交PB于點(diǎn)F，過(guò)F作FGBE于點(diǎn)G，EF+BG14，求線段OF的長(zhǎng)度（1）證明：連接OA，OB，則OAOB，又PAPB，PO垂直平分AB，PO平分APB；（2）解：延長(zhǎng)PO，交AB于H，過(guò)點(diǎn)A作AMPB于M，由（1）知PH垂直平分AB，PA：AB：2，設(shè)AB2，則APBP，AHBH1，在RtPAH中，PH3，SPABABPHPBAM，2×3×AM，AM，在RtPAM中，PM，tanAPM：，AEBAPM，tanAEB；（3）連接PO并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)H，由（1）知，PH垂直平分AB，AE為直徑，在RtEFG中，tanFEG，設(shè)FG3x，則EG4x，EF5x，EF+BG14，BG145x，ABE90°AHPPHB，PHEB，HPBGBF，HPBGBF，解得，x1，EF5，BEBG+EG9+413，ABBE，AE，OEAE，OFOEEF5，線段OF的長(zhǎng)度為15如圖1，在O中，點(diǎn)A為的中點(diǎn)，點(diǎn)D在O上（1）求證：BAC+2ADB180°；（2）如圖2，點(diǎn)G為O上一點(diǎn)，DG與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K，若CBD2ABC，BCCK，求證：BGKG；（3）如圖3，在（2）的條件下，AC與BG的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，CE3AC15，BE10，求線段BD的長(zhǎng)（1）證明：如圖1，連接DC，點(diǎn)A為的中點(diǎn)，ADBADC，BDC2ADB，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，BAC+BDC180°，BAC+2ADB180°；（2）如圖2，連接CG，ABCADCADB，BDC2ABC，CBD2ABC，BDCCDB，CBCD，BCCK，CDCK，CDKK，CBD+CDB+CDK+K180°，CBD+K90°，BDK90°，BG為O的直徑，BCG90°，GCBK，又BCCK，BGKG；（3）CE3AC15，ACAB5，四邊形ABGC是圓內(nèi)接四邊形，BAC+BGC180°，CGE+BGC180°，BACCGE，又EE，ECGEBA，即，GE6，CG，BGBEGE4，由（2）知，BGKG，KG4，在RtBCG中，BC5，BKBC+CK10，BDGGCK90°，KK，KCGKDB，即，DB，線段BD的長(zhǎng)為