類型二 與切線有關(guān)的證明與計(jì)算例1、如圖，在ABC中，ABAC，點(diǎn)D在BC上，BDDC，過(guò)點(diǎn)D作DEAC，垂足為E，O經(jīng)過(guò)A，B，D三點(diǎn)(1)求證：AB是O的直徑；(2)判斷DE與O的位置關(guān)系，并加以證明；(3)若O的半徑為3，BAC60°，求DE的長(zhǎng)【分析】：(1)連接AD，證ADBC可得；(2)連接OD，利用中位線定理得到OD與AC平行，可證ODE為直角，由OD為半徑，可證DE與圓O相切；(3)連接BF，先證三角形ABC為等邊三角形，再求出BF的長(zhǎng)，由DE為三角形CBF中位線，即可求出DE的長(zhǎng)【答案】：(1)連接AD，ABAC，BDDC，ADBC，ADB90°，AB為圓O的直徑(2)DE與圓O相切，證明：連接OD，O，D分別為AB，BC的中點(diǎn)，OD為ABC的中位線，ODAC，DEAC，DEOD，OD為圓的半徑，DE與圓O相切(3)ABAC，BAC60°，ABC為等邊三角形，ABACBC6，連接BF，AB為圓O的直徑，AFBDEC90°，AFCF3，DEBF，D為BC的中點(diǎn)，E為CF的中點(diǎn)，即DE為BCF中位線，在RtABF中，AB6，AF3，根據(jù)勾股定理得BF3，則DEBF例2、如圖，ABC內(nèi)接于O，BD為O的直徑，BD與AC相交于點(diǎn)H，AC的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)B的直線相交于點(diǎn)E，且AEBC.(1)求證：BE是O的切線；(2)已知CGEB，且CG與BD，BA分別相交于點(diǎn)F，G，若BG·BA48，F(xiàn)G，DF2BF，求AH的值【分析】：(1)證EBD90°即可；(2)由ABCCBG得，可求出BC，再由BFCBCD得BC2BF·BD，可求出BF，再求出CF，CG，GB，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)CGAG，可證CHCB，即可求出AC.【答案】：(1)連接CD，BD是直徑，BCD90°，即DCBD90°，AD，AEBC，CBDEBC90°，BEBD，BE是O切線(2)CGEB，BCGEBC，ABCG，又CBGABC，ABCCBG，即BC2BG·BA48，BC4，CGEB，CFBD，BFCBCD，BC2BF·BD，DF2BF，BF4，在RtBCF中，CF4，CGCFFG5，在RtBFG中，BG3，BG·BA48，BA8，AG5，CGAG，AACGBCG，CFHCFB90°，CHFCBF，CHCB4，ABCCBG，AC，AHACCH例3、如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，對(duì)角線AC為O的直徑，過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，連接DB，DC，DF.(1)求CDE的度數(shù)；(2)求證：DF是O的切線；(3)若AC2DE，求tanABD的值【答案】：(1)對(duì)角線AC為O的直徑，ADC90°，EDC90°(2)連接DO，EDC90°，F(xiàn)是EC的中點(diǎn)，DFFC，F(xiàn)DCFCD，ODOC，OCDODC，OCF90°，ODFODCFDCOCDDCFOCF90°，DF是O的切線(3)EDCE90°，DCADCE90°，DCAE，又ADCCDE90°，CDEADC，DC2AD·DE.設(shè)DEx，則AC2x，AC2AD2DC2AD·DE，即(2x)2AD2AD·x，整理得AD2AD·x20x20，解得AD4x或AD5x(舍去)，則DC2x，故tanABDtanACD2例4、如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O在對(duì)角線AC上，以O(shè)A的長(zhǎng)為半徑的圓O與AD，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且ACBDCE.(1)判斷直線CE與O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)若tanACB，BC2，求O的半徑【答案】：(1)直線CE與O相切. 理由如下：四邊形ABCD是矩形，BCAD，ACBDAC，又ACBDCE，DACDCE，連接OE，有OAOE，則DACAEODCE.DCEDEC90°，AEODEC90°，OEC90°，即OECE.又OE是O的半徑，直線CE與O相切(2)tanACB，BC2，ABBC·tanACB，AC.又ACBDCE，tanDCEtanACB，DEDC·tanDCE1.在RtCDE中，CE，設(shè)O的半徑為r，則在RtCOE中，CO2OE2CE2，即(r)2r23，解得r例5、如圖，已知AB為O的直徑，AC為O的切線，OC交O于點(diǎn)D，BD的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)E.(1)求證：1CAD；(2)若AEEC2，求O的半徑【答案】：(1)AB為O的直徑，ADB90°，ADOBDO90°，AC為O的切線，OAAC，OADCAD90°，OAOD，OADODA，1BDO，1CAD(2)1CAD，CC，CADCDE，CDCACECD，CD2CA·CE，AEEC2，ACAEEC4，CD2，設(shè)O的半徑為x，則OAODx，在RtAOC中，OA2AC2OC2，x242(2x)2，解得x，O的半徑為例6、如圖，已知O是ABC的外接圓，AD是O的直徑，且BDBC，延長(zhǎng)AD到E，且有EBDCAB.(1)求證：BE是O的切線；(2)若BC，AC5，求圓的直徑AD及切線BE的長(zhǎng)【答案】：(1)連接OB，BDBC，CABBAD，EBDCAB，BADEBD，AD是O的直徑，ABD90°，OAOB，BADABO，EBDABO，OBEEBDOBDABOOBDABD90°，點(diǎn)B在O上，BE是O的切線(2)設(shè)圓的半徑為R，連接CD，AD為O的直徑，ACD90°，BCBD，OBCD，OBAC，OAOD，OFAC，四邊形ACBD是圓內(nèi)接四邊形，BDEACB，DBECAB，DBECAB，DE，OBEOFD90°，DFBE，R0，R3，AB，BE例7、如圖，CD是O的直徑，AB是O的弦，ABCD，垂足為G，OGOC35，AB8.(1)求O的半徑；(2)點(diǎn)E為圓上一點(diǎn)，ECD15°，將沿弦CE翻折，交CD于點(diǎn)F，求圖中陰影部分的面積【答案】：(1)連接AO，CD為O的直徑，ABCD，AB8，AG4，OGOC35，設(shè)O的半徑為5k，則OG3k，(3k)242(5k)2，解得k1或k1(舍去)，5k5，即O的半徑是5(2)將陰影部分沿CE翻折，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，ECD15°，由對(duì)稱性可知，DCM30°，S陰影S弓形CBM，連接OM，則MOD60°，MOC120°，過(guò)點(diǎn)M作MNCD于點(diǎn)N，MNMO·sin60°5×，S陰影S扇形OMCSOMC×5×，即圖中陰影部分的面積是例8、如圖，在RtABC中，ABC90°，ABCB，以AB為直徑的O交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合)，DE的延長(zhǎng)線交O于點(diǎn)G，DFDG，且交BC于點(diǎn)F.(1)求證：AEBF；(2)連接GB，EF，求證：GBEF；(3)若AE1，EB2，求DG的長(zhǎng)【答案】：(1)連接BD，在RtABC中，ABC90°，ABBC，AC45°，AB為圓O的直徑，ADB90°，即BDAC，ADDCBDAC，CBDC45°，AFBD，DFDG，F(xiàn)DG90°，F(xiàn)DBBDG90°，又EDABDG90°，EDAFDB，可證AEDBFD(ASA)，AEBF(2)連接EF，BG，AEDBFD，DEDF，EDF90°，EDF是等腰直角三角形，DEF45°，GA45°，GDEF，GBEF(3)AEBF，AE1，BF1，在RtEBF中，EBF90°，根據(jù)勾股定理得EF2EB2BF2，EB2，BF1，EF，DEF為等腰直角三角形，EDF90°，cosDEF，EF，DE×，GA，GEBAED，GEBAED，即GE·EDAE·EB，·GE2，GE，則GDGEED6