類型三 其他探究題例1、已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EFBD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG（1）直接寫出線段EG與CG的數(shù)量關(guān)系；（2）將圖1中BEF繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)45º，如圖2所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明 （3）將圖1中BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（不要求證明）FBACE圖3DFBADCEG圖2FBADCEG圖1【答案】解：（1）CG=EG（2）（1）中結(jié)論沒有發(fā)生變化，即EG=CG證明：連接AG，過G點(diǎn)作MNAD于M，與EF的延長線交于N點(diǎn)FBADCEGMNN圖 2在DAG與DCG中， AD=CD，ADG=CDG，DG=DG， DAGDCG AG=CG在DMG與FNG中， DGM=FGN，F(xiàn)G=DG，MDG=NFG， DMGFNG MG=NG FBADCE圖3G 在矩形AENM中，AM=EN在RtAMG 與RtENG中， AM=EN， MG=NG， AMGENG AG=EG EG=CG （3）（1）中的結(jié)論仍然成立例2、請閱讀下列材料問題：如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2， PB=， PC=1求BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長李明同學(xué)的思路是：將BPC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖2）連接PP，可得PPC是等邊三角形，而PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證）所以APC=150°，而BPC=APC=150°進(jìn)而求出等邊ABC的邊長為問題得到解決請你參考李明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=，BP=，PC=1求BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長圖2圖3圖1【答案】解：（1）如圖，將BPC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得BPA，則BPCBPAAP=PC=1，BP=BP=連結(jié)P P，在RtBPP中， BP=BP=，PBP=90°， P P=2，BPP=45° 在APP中， AP=1，P P=2，AP=， ，即AP 2 + PP 2 = AP2 APP是直角三角形，即A P P=90° APB=135° BPC=APB=135° （2）過點(diǎn)B作BEAP 交AP 的延長線于點(diǎn)E EP B=45°. EP=BE=1. AE=2. 在RtABE中，由勾股定理，得AB= BPC=135°，正方形邊長為例3、如圖1，已知ABC=90°，ABE是等邊三角形，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），連結(jié)AP，將線段AP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連結(jié)QE并延長交射線BC于點(diǎn)F.（1）如圖2，當(dāng)BP=BA時，EBF=°，猜想QFC= °；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)時，猜想QFC的度數(shù)，并加以證明；圖1ACBEQFP（3）已知線段AB=，設(shè)BP=，點(diǎn)Q到射線BC的距離為y，求y關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式圖2ABEQPFC【答案】解: （1） 30° = 60° （2）=60°不妨設(shè)BP, 如圖1所示 BAP=BAE+EAP=60°+EAP EAQ=QAP+EAP=60°+EAP BAP=EAQ 在ABP和AEQ中 AB=AE，BAP=EAQ， AP=AQABPAEQ（SAS） AEQ=ABP=90°BEF=60° (事實(shí)上當(dāng)BP時，如圖2情形，不失一般性結(jié)論仍然成立，不分類討論不扣分）(3)在圖1中，過點(diǎn)F作FGBE于點(diǎn)GABE是等邊三角形 BE=AB=，由（1）得30°在RtBGF中， BF= EF=2ABPAEQ QE=BP= QF=QEEF過點(diǎn)Q作QHBC，垂足為H在RtQHF中，（x0）即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是：.例4、如圖，將OA= 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)M、N以每秒個單位的速度分別從點(diǎn)A、C同時出發(fā)，其中點(diǎn)M沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動，點(diǎn)N沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動，當(dāng)兩個動點(diǎn)運(yùn)動了t秒時，過點(diǎn)N作NPBC，交OB于點(diǎn)P，連接MP （1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為；用含t的式子表示點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（2）記OMP的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式（0 < t < 6）；并求t為何值時，S有最大值？（3）試探究：當(dāng)S有最大值時，在y軸上是否存在點(diǎn)T，使直線MT把ONC分割成三角形和四邊形兩部分，且三角形的面積是ONC面積的？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（備用圖）【答案】解：（1）（6，4）；（）.（2）SOMP =×OM×，S =×（6 -t）×=+2t （0 < t <6）當(dāng)時，S有最大值（3）存在由（2）得：當(dāng)S有最大值時，點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為：M（3，0），N（3，4），則直線ON的函數(shù)關(guān)系式為：（備用圖）R2T1T2R1D2D1設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（0，b），則直線MT的函數(shù)關(guān)系式為：，解方程組得直線ON與MT的交點(diǎn)R的坐標(biāo)為例5、如圖，在RtABC中，ACB90°，A30°，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P為直線BC上的動點(diǎn)(不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合)，連接OC、OP，將線段OP繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段PQ，連接BQ.(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時，請直接寫出線段BQ與CP的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)P在CB延長線上時，(1)中結(jié)論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)P在BC延長線上時，若BPO45°，AC，請直接寫出BQ的長第3題圖【答案】解：(1)CPBQ; 【解法提示】如解圖，連接OQ，第3題解圖由旋轉(zhuǎn)可知，PQOP，OPQ60°，POQ是等邊三角形，OPOQ，POQ60°，在RtABC中，O是AB中點(diǎn)，OCOAOB，BOC2A60°POQ，COPBOQ，在COP和BOQ中，COPBOQ(SAS)，CPBQ；(2)成立，理由如下：如解圖，連接OQ，第3題解圖由旋轉(zhuǎn)知PQOP，OPQ60°，POQ是等邊三角形，OPOQ，POQ60°，在RtABC中，O是AB中點(diǎn)，OCOAOB，BOC2A60°POQ，COPBOQ，在COP和BOQ中，COPBOQ(SAS)，CPBQ；(3)BQ.【解法提示】在RtABC中，A30°，AC，BCAC·tanA，如解圖，過點(diǎn)O作OHBC于點(diǎn)H，第3題解圖OHB90°BCA，OHAC，O是AB中點(diǎn)，CHBC，OHAC，BPO45°，OHP90°，BPOPOH，PHOH，CPPHCH，連接OQ，同(1)的方法得，BQCP.6