題型七 綜合實(shí)踐題例1【問(wèn)題情境】已知RtABC中，BAC90°，ABAC，點(diǎn)E是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A、C重合)，以CE為一邊作RtDCE，使DCE90°，且CDCA.沿CA方向平移CDE，使點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)A，得到ABF.過(guò)點(diǎn)F作FGBC，交線段BC于點(diǎn)G，連接DG、EG.【深入探究】(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，小文猜想GCGF，請(qǐng)你幫他證明這一結(jié)論；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC的延長(zhǎng)線上，且CECA時(shí)，猜想線段DG與EG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的猜想；【拓展應(yīng)用】(3)如圖，將(2)中的“CECA”改為“CECA”，若設(shè)CDE，請(qǐng)用含的式子表示CGE的度數(shù)(直接回答即可，不必證明)第1題圖【答案】(1)證明：在RtBAC中，BAC90°，ABAC，BCAABC45°，F(xiàn)GBC，F(xiàn)GC90°，GFC90°GCF45°，GFCGCF，GCGF；(2)解：DGEG，DGEG；證明：同(1)可證GCGF，DCE90°，BCA45°，DCG45°，GFC45°，DCGEFG，CDE平移得到ABF，CEAF，CECFAFCF，即EFAC，ACCD，EFCD，DCGEFG(SAS)，DGEG，DGCEGF，DGCEGCEGFEGC，即DGECGF90°，DGEG；(3)解：CGE180°.例2在正方形ABCD中，BD是一條對(duì)角線，點(diǎn)P在直線CD上(不與點(diǎn)C、D重合)，連接AP，平移ADP，使點(diǎn)D移動(dòng)到點(diǎn)C，得到BCQ，過(guò)點(diǎn)Q作QHBD于H，連接AH，PH.【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】(1)如圖，若點(diǎn)P在線段CD上，AH與PH的數(shù)量關(guān)系是_，位置關(guān)系是_； 【拓展探究】(2)如圖，若點(diǎn)P在線段CD的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明，否則說(shuō)明理由；【解決問(wèn)題】(3)若點(diǎn)P在線段DC的延長(zhǎng)線上，且AHQ120°，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，請(qǐng)直接寫(xiě)出DP的長(zhǎng)度第2題圖【答案】解：(1)AHPH，AHPH；【解法提示】如解圖，連接HC，第2題解圖四邊形ABCD是正方形，BDC45°，又QHBD，DHQ是等腰直角三角形，HDHQ，HDPHQC45°，由平移的性質(zhì)可知DPCQ，在HDP和HQC中，HDPHQC.HPHC，DHPQHC.根據(jù)正方形是軸對(duì)稱圖形得到HAHC，AHDCHD，AHPAHDDHPCHDQHC90°，即AHPH.HAHP，AHPH.(2)(1)中的結(jié)論仍然成立，理由如下：如解圖，連接HC，第2題解圖四邊形ABCD是正方形，BDC45°，又QHBD，DHQ是等腰直角三角形，HDPHQC135°，HDHQ，由平移的性質(zhì)可知DPCQ，在HDP和HQC中，HDPHQC(SAS)，HPHC，DHPQHC，根據(jù)正方形是軸對(duì)稱圖形得到HAHC，AHDCHD，AHPAHDDHPCHDCHQ90°，HAHP，AHPH；(3)DP2.【解法提示】由(1)知，AHPH，AHPH，HPA45°，AHQ120°，PHQ120°90°30°.PHDQHDPHQ60°，AHBCHBAHPPHD30°，CHPCHBAHB30°，CPH75°，APDCPHAPH30°，在RtADP中，AD2，DP2.例3如圖，在RtABC中，ACB90°，A30°，點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合)，連接OC、OP，將線段OP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段PQ，連接BQ.(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BQ與CP的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)P在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)中結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，若BPO45°，AC，請(qǐng)直接寫(xiě)出BQ的長(zhǎng)第3題圖【答案】解：(1)CPBQ; 【解法提示】如解圖，連接OQ，第3題解圖由旋轉(zhuǎn)可知，PQOP，OPQ60°，POQ是等邊三角形，OPOQ，POQ60°，在RtABC中，O是AB中點(diǎn)，OCOAOB，BOC2A60°POQ，COPBOQ，在COP和BOQ中，COPBOQ(SAS)，CPBQ；(2)成立，理由如下：如解圖，連接OQ，圖由旋轉(zhuǎn)知PQOP，OPQ60°，POQ是等邊三角形，OPOQ，POQ60°，在RtABC中，O是AB中點(diǎn)，OCOAOB，BOC2A60°POQ，COPBOQ，在COP和BOQ中，COPBOQ(SAS)，CPBQ；(3)BQ.【解法提示】在RtABC中，A30°，AC，BCAC·tanA，如解圖，過(guò)點(diǎn)O作OHBC于點(diǎn)H，第3題解圖OHB90°BCA，OHAC，O是AB中點(diǎn)，CHBC，OHAC，BPO45°，OHP90°，BPOPOH，PHOH，CPPHCH，連接OQ，同(1)的方法得，BQCP.例4已知正方形ABCD，點(diǎn)E在直線AD上(不與點(diǎn)A、D重合)，連接BE，作EFBE，且EFBE，過(guò)點(diǎn)F作FGBC，交直線BC于點(diǎn)G.(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)G在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：ABAEBG；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)E在邊DA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)G在邊BC上時(shí)，F(xiàn)G交AD于點(diǎn)H，試猜想AB、AE與BG的關(guān)系，并加以證明；(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)E在邊AD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)G在邊BC上時(shí)，F(xiàn)G交AD于點(diǎn)N，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AB、AE、BG之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明圖 圖 圖第4題圖【答案】(1)證明：如解圖，延長(zhǎng)AD交GF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，四邊形ABCD是正方形，第4題解圖A90°，ABC90°，又FGBC，四邊形ABGM是矩形，AMBG，A90°，EFBE，M90°，AEBMFE，在ABE和MEF中，ABEMEF(AAS)，ABEM，AMAEEMAEAB，ABAEBG；(2)ABAEBG；證明：FEHBEA90°，BEAABE90°，F(xiàn)EHABE，在ABE和HEF中，ABEHEF(AAS)，EHAB，EHAEABAEAH，四邊形ABGH是矩形，AHBG，ABAEBG；(3)AEABBG.【解法提示】由(2)得ABENEF，NEAB，ANNEANABAE，BGAN，AEABBG.例5如圖，ABC中，ABBC，BDAC于點(diǎn)D，F(xiàn)ACABC，且FAC在AC下方，點(diǎn)P，Q分別是射線BD，射線AF上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合，點(diǎn)Q不與點(diǎn)A重合，連接CQ，過(guò)點(diǎn)P作PECQ于點(diǎn)E，連接DE.(1)若ABC60°，BPAQ.如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段DE和線段AQ的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；如圖，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，試判斷中的結(jié)論是否成立，并說(shuō)明理由；(2)若ABC260°，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)線段BP和線段AQ滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，能使(1)中的結(jié)論仍然成立(用含的三角函數(shù)表示)第5題圖【答案】解：(1)DEAQ，DEAQ；成立；【解法提示】如解圖，連接PC、PQ，第5題解圖BABC，ABC60°，ABC是等邊三角形，BCAC，BCAC，F(xiàn)ACPBC30°，AQBP，AQCBPC(SAS)，QCPC，ACQBCP，ACQACPBCPACP60°，PCQ是等邊三角形，又PEQC，E為QC的中點(diǎn)，ABBC，BDAC，D為AC的中點(diǎn)，DEAQ，DEAQ；成立理由如下：如解圖，連接PC、PQ.第5題解圖BABC，ABC60°，ABC是等邊三角形，BCAC，BCAC，F(xiàn)ACPBC30°，AQBP，AQCBPC(SAS)，QCPC，ACQBCP，PCQBCA60°，PCQ是等邊三角形，又PEQC，E為QC的中點(diǎn)，ABBC，BDAC，D為AC的中點(diǎn)，DEAQ，DEAQ；第5題解圖(2)如解圖，連接PC，取PC中點(diǎn)M，連接MD、ME，設(shè)PE與AC交點(diǎn)為N，PDC90°，MDPC，同理MEPC，即MPMCMDME，P、D、E、C四點(diǎn)共圓，NCENPD，EDCNPC，DEAQ，QACEDC，又QACPBC，NPCPBC，EPDNPCPBCBCP，EPDBCP，NCEBCP.由NCEBCP，QACPBC，得QACPBC，2sinDBC2sin，即 2sin.例6已知，ABC為直角三角形，ACB90°，點(diǎn)P是射線CB上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合)，線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ，連接QB交射線AC于點(diǎn)M.(1)如圖，當(dāng)ACBC，點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，線段PB，CM的數(shù)量關(guān)系是_；(2)如圖，當(dāng)ACBC，點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖，若，點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上，CM2，AP13，求ABP的面積第6題圖【答案】解：(1)PB2CM；【解法提示】如解圖，過(guò)點(diǎn)Q作QDAC于點(diǎn)D，第6題解圖QEBC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.AQ是由AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，APAQ，且PAQ90°，PACQAD90°，又PACAPC90°，QADAPC，ACPQDA(AAS)，ACQDCE，又ABC為等腰直角三角形，ACBCEC，即點(diǎn)C為BE的中點(diǎn)，CMQE，即QE2CM，連接AE，ACCEBC，ABE為等腰直角三角形，AEAB，BAEPAQ90°，BAPEAQ，又APAQ，APBAQE(SAS)，BPQE2CM，PB2CM；(2)(1)中的結(jié)論P(yáng)B2CM仍然成立； 證明：如解圖所示，過(guò)點(diǎn)Q作QGBC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)A作AFQG交QG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.第6題解圖AQ是由AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，APAQ，且PAQ90°，PACCAQ90°，又QAFCAQ90°，PACQAF，PACQAF(AAS)，ACAF，四邊形AFGC為正方形，CGACBC，即C為BG的中點(diǎn)，QG2CM，連接AG可得，ABG為等腰直角三角形，ABAG，PABBAQQAGBAQ90°，PABQAG，PABQAG(SAS)，PBQG2CM，PB2CM；(3) 如解圖所示，過(guò)點(diǎn)Q作QHAC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.第6題解圖由題知，設(shè)AC5a，BC2a，由(2)知，ACPQHA，QHAC5a，又BCMQHM，MH5，又APAQ13，在RtAHQ中，根據(jù)勾股定理得：QH2AH2AQ2，(5a)2(5a25)2132，化簡(jiǎn)得：5a27a120，即(a1)(5a12)0，解得：a11，a2(舍)，BC2，AHCP12，AC5，BPPCBC12210，SABPBP·AC×10×525.例7如圖，等邊ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，DMN為等邊三角形(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，請(qǐng)你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)，其他條件不變，(1)的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)利用圖證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)M在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，請(qǐng)你在圖中畫(huà)出相應(yīng)的圖形，并判斷(1)的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論，若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由第7題圖【答案】解：(1)ENMF；【解法提示】如解圖，連接DE、DF，D、E、F是等邊ABC三邊中點(diǎn)，DEF是等邊三角形，DEDF，EDF60°，DMN為等邊三角形，DMDN，MDN60°，MDFNDE60°NDF，DMFDNE(SAS)，ENMF. 圖 圖第7題解圖(2)成立證明：如解圖，連接DE、DF和EF，ABC是等邊三角形，ABACBC.又D，E，F(xiàn)是三邊的中點(diǎn)， DE，DF，EF為三角形的中位線，DEDFEF，F(xiàn)DE60°.又MDFFDN60°， NDEFDN60°， MDFNDE. 在DMF和DNE中，DMFDNE(SAS)，ENFM；(3)畫(huà)出圖形如解圖，第7題解圖MF與EN相等的結(jié)論仍然成立(或ENMF成立)【解法提示】如解圖，連接DE、EF、DF.第7題解圖D、E、F分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，且ABC是等邊三角形，DEF是等邊三角形，DEDF，EDF60°.DMN是等邊三角形，DMDN，MDN60°，MDFMDEMDENDE，MDFNDE，MDFNDE(SAS)，MFNE.例8已知，在矩形ABCD中，BC2AB，點(diǎn)M為AD邊的中點(diǎn)，連接BD，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)作EPF90°，PE交AB邊于點(diǎn)E，PF交AD邊于點(diǎn)F.(1)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題如圖，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中PBA與PAB互余時(shí)，線段BE、MF與AB的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)；(2)解決問(wèn)題如圖，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中PBA與PAB相等時(shí)，請(qǐng)判斷(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)拓展延伸在(2)的條件下，連接EF并延長(zhǎng)EF，交直線BD于點(diǎn)G，若BEAF23，EF，求DG的長(zhǎng)第8題圖【答案】解：(1)BEMFAB；【解法提示】如解圖，取AB的中點(diǎn)N，連接PN、PM.第8題解圖PBA與PAB互余，PBAPAB90°，APB90°，APD90°，N是AB的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)，PNBNANAB，AMDMPMAD，NAPNPA，MAPMPA.四邊形ABCD是矩形，BAD90°，ABCD，ADBC.BC2AB，AD2AB，而NAPMAPBAD90°，NPAMPA90°，即NPM90°.EPF90°，NPMEPF，NPMEPMEPFEPM，NPEMPF.ABPBAP90°，BAPDAP90°，ABPDAP.PNBN，AMPM，ABPBPN，DAPMPA，ENPFMP，PNEPMF，.NEMF，BENEBN，BEMFBN，又BNAB，BEMFAB.(2)不成立；理由如下：如解圖，取AB的中點(diǎn)N，連接PN、PM，第8題解圖四邊形ABCD是矩形，BADABC90°，ABCD，ADBC，ADBC，ADBCBD，PBAPAB，PAPB，N是AB的中點(diǎn)，PNAB，ANP90°，PABPAD90°，PBAPBC90°，PADPBC，PADPDA，PAPD.M是AD的中點(diǎn)，PMAD，PMA90°，四邊形PMAN是矩形，NPM90°，ANPM，PNAM.EPF90°，NPMEPF，NPMEPMEPFEPM，NPEMPF.PNEPMF90°，PNEPMF，.AD2AB，NE2MF.BENEBN，BE2MFBN，N是AB的中點(diǎn)，BNAB，BE2MFAB，故(1)中結(jié)論不成立；(4) 如解圖，延長(zhǎng)CD交FG于點(diǎn)H，設(shè)BE2a，則AF3a.第8題解圖BE2MFAB，BE2(AFAM)AB.AMAB，2a2(3aAB)AB，ABa，ADa，AEa，F(xiàn)Da.AE2AF2EF2，(a)2(3a)2()2，解得a13，a23(舍去)AE2，BE6，AF9，DF7，BD8.HDAB，AEFDHF，DH.四邊形ABCD是矩形，ABCD，即HDBE.GDHGBE，DG.例9如圖，在等腰RtABC和等腰RtEDB中，ACBC，DEBD，ACBEDB90°，P為AE的中點(diǎn)(1)觀察猜想連接PC、PD，則線段PC與PD的位置關(guān)系是_，數(shù)量關(guān)系是_；(2)探究證明如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其他條件不變，作EFBC于F，連接PF，試判斷PCF的形狀，并說(shuō)明理由；(3)拓展延伸在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)PCF是等邊三角形時(shí)，直接寫(xiě)出ACB與EDB的兩直角邊之比第9題圖【答案】解：(1)PCPD，PCPD；【解法提示】如解圖，過(guò)點(diǎn)E作EFBC于F，過(guò)點(diǎn)P作PHBC于H，連接PF，第9題解圖易得四邊形EFBD是正方形，EFED，DEBFEB45°，PEFPED135°，在PEF和PED中，PEFPED(SAS)，PFPD，EPFEPD，ACPHEF，點(diǎn)P為AE的中點(diǎn)，點(diǎn)H是FC的中點(diǎn)，CHHF，又PHBC，PCPF，故PCF是等腰三角形，CPHFPH，PCPD；HPBHPFEPF45°，CPDCPHHPFEPFEPD2(HPFEPF)90°，PCPD.(2)PCF為等腰三角形，理由如下：如解圖，過(guò)點(diǎn)P作PHBC于點(diǎn)H，第9題解圖則ACPHEF，P為AE的中點(diǎn)，點(diǎn)H是FC的中點(diǎn)，CHHF，又PHBC，PCPF，PCF為等腰三角形；(3)2.【解法提示】如解圖，過(guò)點(diǎn)E作EFBC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)P作PHBC于點(diǎn)H，由(1)知，四邊形BDEF為正方形，設(shè)EFBFBDx，HFy，第9題解圖PCF是等邊三角形，PHy，PHEF，BEFBPH，即，解得yx，BCx2y(2)x，2.ACB與EDB的兩直角邊之比為2.例10已知在ABC中，AB邊上的動(dòng)點(diǎn)D由A向B運(yùn)動(dòng)(與A，B不重合)，點(diǎn)E與點(diǎn)D同時(shí)出發(fā)，由點(diǎn)C沿BC的延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)(E不與C重合)，連接DE交AC于F，點(diǎn)H是線段AF上一點(diǎn)(1)初步嘗試如圖，若ABC是等邊三角形，DHAC，且點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)速度相等，過(guò)點(diǎn)D作DGBC交AC于點(diǎn)G，則GH與AH的數(shù)量關(guān)系是_，GF與FC的數(shù)量關(guān)系是_，的值是_；(2)類比探究如圖，若在ABC中，ABC90°，ADHA30°，且點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)速度之比是1，求的值；(3)延伸拓展如圖，若在ABC中，ABAC，ADHA36°，記m，且點(diǎn)D，E的運(yùn)動(dòng)速度相等，試用含m的代數(shù)式表示.(直接寫(xiě)出結(jié)果，不必寫(xiě)出解答過(guò)程)第10題圖【答案】解：(1)GHAH，GFFC，2；【解法提示】DGBC，ADGB，AGDACB，ABC是等邊三角形，ABACB60°，ADGAGDA，ADG是等邊三角形，GDADCE，DHAC，GHAH，DGBC，GDFCEF，DGFECF，在GDF和CEF中，GDFCEF(ASA)，GFCF，GHGFAHCF，即HFAC，2.(2)如解圖，過(guò)點(diǎn)D作DGBC，交AC于點(diǎn)G，第10題解圖則ADGB90°，AADH30°，HGDHDG60°，DHG是等邊三角形，AHGHGD，ADGD，根據(jù)題意得ADCE，GDCE，DGBC，GDFCEF，DGFECF，在GDF和CEF中，GDFCEF(ASA)，GFCF，GHGFAHCF，即HFAC，2；(3).【解法提示】如解圖，過(guò)點(diǎn)D作DGBC，交AC于點(diǎn)G，第10題解圖則ADGB，AGDACB，ADEC，ABAC，A36°，ACBBADGAGD72°，ADHA36°，AHDH，DHG72°AGD，DGDHAH，ADGABC，ADGDGH，DGHABC，m，m，DGBC，DFGEFC，又CEAD，m，m，m，1.22