類型一 圓的基本性質(zhì)證明與計(jì)算命題點(diǎn)1垂徑定理例1、如圖，CD是O的直徑，AB是弦(不是直徑)，ABCD于點(diǎn)E，則下列結(jié)論正確的是( )AAE>BEB.CDAECDADECBE【答案】：D命題點(diǎn)2圓周角定理例2、如圖，點(diǎn)O為優(yōu)弧所在圓的圓心，AOC108°，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，BDBC，則D_【答案】：27°重難點(diǎn)1垂徑定理及其應(yīng)用例3、已知AB是半徑為5的O的直徑，E是AB上一點(diǎn)，且BE2.(1)如圖1，過點(diǎn)E作直線CDAB，交O于C，D兩點(diǎn)，則CD_； 圖1 圖2 圖3 圖4探究：如圖2，連接AD，過點(diǎn)O作OFAD于點(diǎn)F，則OF_；(2)過點(diǎn)E作直線CD交O于C，D兩點(diǎn)若AED30°，如圖3，則CD_；若AED45°，如圖4，則CD_【答案】：（1）8 , （2） 【思路點(diǎn)撥】由于CD是O的弦，因此利用圓心到弦的距離(有時(shí)需先作弦心距)，再利用垂徑定理，結(jié)合勾股定理，求出弦的一半，再求弦【變式訓(xùn)練1】如圖，點(diǎn)A，B，C，D都在半徑為2的O上若OABC，CDA30°，則弦BC的長(zhǎng)為( )A4 B2 C. D2【答案】：D【變式訓(xùn)練2】【分類討論思想】已知O的半徑為10 cm，AB，CD是O的兩條弦，ABCD，AB16 cm，CD12 cm，則弦AB和CD之間的距離是_【答案】：2cm或14cm1垂徑定理兩個(gè)條件是過圓心、垂直于弦的直線，三個(gè)結(jié)論是平分弦，平分弦所對(duì)的優(yōu)弧與劣弧2圓中有關(guān)弦的證明與計(jì)算，通過作弦心距，利用垂徑定理，可把與圓相關(guān)的三個(gè)量，即圓的半徑，圓中一條弦的一半，弦心距構(gòu)成一個(gè)直角三角形，從而利用勾股定理，實(shí)現(xiàn)求解3事實(shí)上，過點(diǎn)E任作一條弦，只要確定弦與AB的交角，就可以利用垂徑定理和解直角三角形求得這條弦長(zhǎng)重難點(diǎn)2圓周角定理及其推論例3、已知O是ABC的外接圓，且半徑為4.(1)如圖1，若A30°，求BC的長(zhǎng)；(2)如圖2，若A45°：求BC的長(zhǎng)；若點(diǎn)C是的中點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)；(3)如圖3，若A135°，求BC的長(zhǎng) 圖1 圖2 圖3【答案】（1）4（2）4.,8（3）4.【點(diǎn)撥】連接OB，OC，利用同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍，構(gòu)建可解的等腰三角形求解【解析】解：(1)連接OB，OC.BOC2A60°，OBOC，OBC是等邊三角形BCOB4.(2)連接OB，OC.BOC2A90°，OBOC，OBC是等腰直角三角形OBOC4，BC4.點(diǎn)C是的中點(diǎn)，ABCA45°.ACB90°.AB是O的直徑AB8.(3)在優(yōu)弧上任取一點(diǎn)D，連接BD，CD，連接BO，CO.A135°，D45°.BOC2D90°.OBOC4，BC4.【變式訓(xùn)練3】如圖，BC是O的直徑，A是O上的一點(diǎn)，OAC32°，則B的度數(shù)是( )A58° B60° C64° D68°【答案】：A【變式訓(xùn)練4】將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點(diǎn)C在半圓上點(diǎn)A，B的讀數(shù)分別為88°，30°，則ACB的大小為( )A15° B28° C29° D34°【答案】C1在圓中由已知角求未知角，同(等)弧所對(duì)的圓心角和圓周角的關(guān)系是一個(gè)重要途徑，其關(guān)鍵是找到同一條弧2弦的求解可以通過連接圓心與弦的兩個(gè)端點(diǎn)，構(gòu)建等腰三角形來解決3一條弦所對(duì)的兩種圓周角互補(bǔ)，即圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)在半徑已知的圓內(nèi)接三角形中，若已知三角形一內(nèi)角，可以求得此角所對(duì)的邊注意同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的2倍，避免把數(shù)量關(guān)系弄顛倒重難點(diǎn)3圓內(nèi)接四邊形例4、如圖，四邊形ABCD為O的內(nèi)接四邊形延長(zhǎng)AB與DC相交于點(diǎn)G，AOCD，垂足為E，連接BD，GBC50°，則DBC的度數(shù)為( )A50° B60° C80° D90°【答案】C【思路點(diǎn)撥】延長(zhǎng)AE交O于點(diǎn)M，由垂徑定理可得2，所以CBD2EAD.由圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，可推得ADEGBC，而ADE與EAD互余，由此得解【變式訓(xùn)練5】如圖所示，四邊形ABCD為O的內(nèi)接四邊形，BCD120°，則BOD的大小是( )A80° B120° C100° D90°【答案】B【變式訓(xùn)練6】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)若An°，則DCE_【答案】n°1找圓內(nèi)角(圓周角，圓心角)和圓外角(頂角在圓外，兩邊也在圓外或頂點(diǎn)在圓上，一邊在圓內(nèi)，另一邊在圓外)的數(shù)量關(guān)系時(shí)，常常會(huì)用到圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)和三角形外角的性質(zhì)2在同圓或等圓中，如果一條弧等于另一條弧的兩倍，則較大弧所對(duì)的圓周角是較小弧所對(duì)圓周角的兩倍能力提升1如圖，在O中，如果2，那么( )AABAC BAB2AC CAB2AC DAB2AC【答案】C2如圖，在半徑為4的O中，弦ABOC，BOC30°，則AB的長(zhǎng)為( )A2 B2 C4 D4【答案】D3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O經(jīng)過原點(diǎn)O，并且分別與x軸、y軸交于點(diǎn)B，C，分別作OEOC于點(diǎn)E，ODOB于點(diǎn)D.若OB8，OC6，則O的半徑為( )A7 B6 C5 D4【答案】C4如圖，在O中，弦BC與半徑OA相交于點(diǎn)D，連接AB，OC.若A60°，ADC85°，則C的度數(shù)是( )A25° B27.5° C30° D35°【答案】D5如圖，ABC是O的內(nèi)接三角形，ABAC，BCA65°，作CDAB，并與O相交于點(diǎn)D，連接BD，則DBC的大小為( )A15° B35° C25° D45°【答案】A 6如圖，分別延長(zhǎng)圓內(nèi)接四邊形ABDE的兩組對(duì)邊，延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，C.若F27°，A53°，則C的度數(shù)為( )A30° B43° C47° D53°【答案】C7 如圖，小華為了求出一個(gè)圓盤的半徑，他用所學(xué)的知識(shí)，將一寬度為2 cm的刻度尺的一邊與圓盤相切，另一邊與圓盤邊緣兩個(gè)交點(diǎn)處的讀數(shù)分別是“4”和“16”(單位：cm)，請(qǐng)你幫小華算出圓盤的半徑是_cm.【答案】10cm8如圖，BAC的平分線交ABC的外接圓于點(diǎn)D，ABC的平分線交AD于點(diǎn)E.(1)求證：DEDB；(2)若BAC90°，BD4，求ABC外接圓的半徑【答案】：(1)證明：AD平分BAC，BE平分ABC，BAECAD，ABECBE.DBCBAE.DBECBEDBC，DEBABEBAE, DBEDEB.DEDB.(2)連接CD.，CDBD4.BAC90°，BC是直徑BDC90°.BC4.ABC外接圓的半徑為2.9如圖，四邊形ABCD中，ADBC，ABC90°，AB5，BC10，連接AC，BD，以BD為直徑的圓交AC于點(diǎn)E.若DE3，則AD的長(zhǎng)為( )A5 B4 C3 D2提示：過點(diǎn)D作DFAC于點(diǎn)F，利用ADFCAB，DEFDBA可求解【答案】D10如圖，AB是半圓的直徑，AC是一條弦，D是的中點(diǎn)，DEAB于點(diǎn)E，且DE交AC于點(diǎn)F，DB交AC于點(diǎn)G.若，則_【答案】11如圖1是小明制作的一副弓箭，點(diǎn)A，D分別是弓臂BAC與弓弦BC的中點(diǎn)，弓弦BC60 cm.沿AD方向拉動(dòng)弓弦的過程中，假設(shè)弓臂BAC始終保持圓弧形，弓弦不伸長(zhǎng)如圖2，當(dāng)弓箭從自然狀態(tài)的點(diǎn)D拉到點(diǎn)D1時(shí)，有AD130 cm，B1D1C1120°.(1)圖2中，弓臂兩端B1，C1的距離為30cm；(2)如圖3，將弓箭繼續(xù)拉到點(diǎn)D2，使弓臂B2AC2為半圓，則D1D2的長(zhǎng)為(1010)cm.【答案】,12如圖所示，AB為O的直徑，CD為弦，且CDAB，垂足為H.(1)如果O的半徑為4，CD4，求BAC的度數(shù)；(2)若點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接OE，CE.求證：CE平分OCD；(3)在(1)的條件下，圓周上到直線AC的距離為3的點(diǎn)有多少個(gè)？并說明理由【答案】：(1)AB為O的直徑，CDAB，CHCD2.在RtCOH中，sinCOH，COH60°.BACCOH30°.(2)證明：點(diǎn)E是的中點(diǎn)，OEAB.又CDAB，OECD.ECDOEC.又OEOC，OECOCE.OCEDCE，即CE平分OCD.(3)圓周上到直線AC的距離為3的點(diǎn)有2個(gè)因?yàn)樯系狞c(diǎn)到直線AC的最大距離為2，上的點(diǎn)到直線AC的最大距離為6，236，根據(jù)圓的軸對(duì)稱性，到直線AC的距離為3的點(diǎn)有2個(gè)8