類型一 二次函數(shù)與線段問(wèn)題例1、 如圖1-1，拋物線yx22x3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果PAC的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)圖1-1【解析】如圖1-2，把拋物線的對(duì)稱軸當(dāng)作河流，點(diǎn)A與點(diǎn)B對(duì)稱，連結(jié)BC，那么在PBC中，PBPC總是大于BC的如圖1-3，當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時(shí)，PBPC最小，因此PAPC最小，PAC的周長(zhǎng)也最小由yx22x3，可知OBOC3，OD1所以DBDP2，因此P(1,2)圖1-2 圖1-3例2、如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)A，B是OA的中點(diǎn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)G從點(diǎn)B出發(fā)，先經(jīng)過(guò)x軸上的點(diǎn)M，再經(jīng)過(guò)拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)N，然后返回到點(diǎn)A如果動(dòng)點(diǎn)G走過(guò)的路程最短，請(qǐng)找出點(diǎn)M、N的位置，并求最短路程圖2-1【解析】如圖2-2，按照“臺(tái)球兩次碰壁”的模型，作點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)A，作點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)B，連結(jié)AB與x軸交于點(diǎn)M，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)N在RtAAB中，AA8，AB6，所以AB10，即點(diǎn)G走過(guò)的最短路程為10根據(jù)相似比可以計(jì)算得到OM，MH，NH1所以M(, 0)，N(4, 1)圖2-2例3、如圖3-1，拋物線與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求線段PA與PB中較長(zhǎng)的線段減去較短的線段的差的最小值與最大值，并求出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)圖3-1【解析】題目讀起來(lái)像繞口令，其實(shí)就是求|PAPB|的最小值與最大值由拋物線的解析式可以得到A(0, 2)，B(3, 6)設(shè)P(x, 0)絕對(duì)值|PAPB|的最小值當(dāng)然是0了，此時(shí)PAPB，點(diǎn)P在AB的垂直平分線上（如圖3-2）解方程x222(x3)262，得此時(shí)P在PAB中，根據(jù)兩邊之差小于第三邊，那么|PAPB|總是小于AB了如圖3-3，當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，|PAPB|取得最大值，最大值A(chǔ)B5此時(shí)P圖3-2 圖3-3例4、如圖4-1，菱形ABCD中，AB2，A120°，點(diǎn)P、Q、K分別為線段BC、CD、BD上的任意一點(diǎn)，求PKQK的最小值圖4-1【解析】如圖4-2，點(diǎn)Q關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)為Q，在KPQ中，PKQK總是大于PQ的如圖4-3，當(dāng)點(diǎn)K落在PQ上時(shí)，PKQK的最小值為PQ如圖4-4，PQ的最小值為QH，QH就是菱形ABCD的高，QH這道題目應(yīng)用了兩個(gè)典型的最值結(jié)論：兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短圖4-2 圖4-3 圖4-4例5、如圖5-1，菱形ABCD中，A60°，AB3，A、B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、B和A上的動(dòng)點(diǎn)，求PEPF的最小值圖5-1【解析】E、F、P三個(gè)點(diǎn)都不確定，怎么辦？BE1，AF2是確定的，那么我們可以求PBPA3的最小值，先求PBPA的最小值（如圖5-2）如圖5-3，PBPA的最小值為AB，AB6所以PEPF的最小值等于3圖5-2 圖5-3例6、如圖6-1，已知A(0, 2)、B(6, 4)、E(a, 0)、F(a1, 0)，求a為何值時(shí)，四邊形ABEF周長(zhǎng)最??？請(qǐng)說(shuō)明理由圖6-1【解析】在四邊形ABEF中，AB、EF為定值，求AEBF的最小值，先把這兩條線段經(jīng)過(guò)平移，使得兩條線段有公共端點(diǎn)如圖6-2，將線段BF向左平移兩個(gè)單位，得到線段ME如圖6-3，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A，MA與x軸的交點(diǎn)E，滿足AEME最小由AOEBHF，得解方程，得圖6-2 圖6-3例7、如圖7-1，ABC中，ACB90°，AC2，BC1點(diǎn)A、C分別在x軸和y軸的正半軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C也隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離圖7-1【解析】如果把OB放在某一個(gè)三角形中，這個(gè)三角形的另外兩條邊的大小是確定的，那么根據(jù)兩邊之和大于第三邊，可知第三邊OB的最大值就是另兩邊的和顯然OBC是不符合條件的，因?yàn)镺C邊的大小不確定如圖7-2，如果選AC的中點(diǎn)D，那么BD、OD都是定值，OD1，BD在OBD中，總是有OBODBD如圖7-3，當(dāng)點(diǎn)D落在OB上時(shí)，OB最大，最大值為圖7-2 圖7-3 例8、如圖8-1，已知A(2,0)、B(4, 0)、設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連結(jié)AF，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少？圖8-1【解析】點(diǎn)B(4, 0)、的坐標(biāo)隱含了DBA30°，不由得讓我們聯(lián)想到30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半如果把動(dòng)點(diǎn)M在兩條線段上的速度統(tǒng)一起來(lái)，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化了如圖8-2，在RtDEF中，F(xiàn)D2FE如果點(diǎn)M沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，那么點(diǎn)M沿線段FE以每秒1個(gè)單位的速度正好運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E因此當(dāng)AFFE最小時(shí)，點(diǎn)M用時(shí)最少如圖8-3，當(dāng)AEDE時(shí)，AFFE最小，此時(shí)F圖8-2 圖8-3例9、如圖9-1，在RtABC中，C90°，AC6，BC8點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，連結(jié)AE，過(guò)點(diǎn)E作AE的垂線交AB邊于點(diǎn)F，求AF的最小值圖9-1【解析】如圖9-2，設(shè)AF的中點(diǎn)為D，那么DADEDF所以AF的最小值取決于DE的最小值如圖9-3，當(dāng)DEBC時(shí)，DE最小設(shè)DADEm，此時(shí)DB由ABDADB，得解得此時(shí)AF圖9-2 圖9-3例10、如圖10-1，已知點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為(0, 1)、(1, 2)，連結(jié)PD、PE，求PDPE的最小值圖10-1【解析】點(diǎn)P不在一條筆直的河流上，沒(méi)有辦法套用“牛喝水”的模型設(shè)P，那么PD2所以PD如圖10-2，的幾何意義可以理解為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P到直線y1的距離PH所以PDPH因此PDPE就轉(zhuǎn)化為PHPE如圖10-3，當(dāng)P、E、H三點(diǎn)共線，即PHx軸時(shí)，PHPE的最小值為3高中數(shù)學(xué)會(huì)學(xué)到，拋物線是到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離的點(diǎn)的集合，在中考數(shù)學(xué)壓軸題里, 如果要用到這個(gè)性質(zhì)，最好鋪墊一個(gè)小題，求證PDPH. 圖10-2 圖10-37