類型一 數(shù)式規(guī)律1、數(shù)列型數(shù)字問題例1、有一組數(shù)：1，2，5，10，17，26，請觀察這組數(shù)的構成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定第8個數(shù)為_【答案】：50【解析】：仔細觀察這一數(shù)列中的各個數(shù)字的構成特點，不難發(fā)現(xiàn)如下；第一個數(shù)是1，第二個數(shù)數(shù)1+1，第三個數(shù)是1+1+3，第四個數(shù)是1+1+3+5，第五個數(shù)是1+1+3+5+7，第六個數(shù)是1+1+3+5+7+9， 為了使規(guī)律凸顯的明顯，我們不妨把第一個數(shù)1也寫成兩個數(shù)的和的形式，為1+0，這樣，就發(fā)現(xiàn)數(shù)字1是固定不變的，規(guī)律就蘊藏在新數(shù)列0，1，4，9，16 中，而0，1，4，9，16 這些數(shù)都是完全平方數(shù)，并且底數(shù)恰好等于這個數(shù)字對應的序號與1的差，即1=1+（1-1）2，2=1+（2-1）2，5=1+（3-1）2，10=1+（4-1）2，17=1+（5-1）2，26=1+（5-1）2，這樣，第n個數(shù)為1+（n-1）2，找到數(shù)列變化的一般規(guī)律后，就很容易求得任何一個序號的數(shù)字了。因此，第八個數(shù)就是當n=8時，代數(shù)式1+（n-1）2的值，此時，代數(shù)式1+（n-1）2的值為1+（8-1）2=50。所以，本空填50。例2、 古希臘數(shù)學家把1，3，6，10，15，21，叫做三角形數(shù)，根據(jù)它的規(guī)律，則第100個三角形數(shù)與第98個三角形數(shù)的差為_.【答案】：199【解析】：本題中數(shù)列的數(shù)字，不容易發(fā)現(xiàn)其變化的規(guī)律。我們不妨利用函數(shù)的思想去試一試。當序號為1時，對應的值是1，有序號和對應的數(shù)值構成的點設為A，則A（1，1）；當序號為2時，對應的值是3，有序號和對應的數(shù)值構成的點設為B，則B（2，3）；當序號為3時，對應的值是6，有序號和對應的數(shù)值構成的點設為C，則C（3，6）；因為，所以有：成立，所以，對應的數(shù)值y是序號n的二次函數(shù)，因此，我們不妨設y=an2+bn+c，把A（1，1），B（2，3），C（3，6）分別代入y=an2+bn+c中，得：a+b+c=1，4a+2b+c=3，9a+3b+c=6，解得：a=，b=，c=0，所以，y= n2+n，因此，當n=100時，y= ×1002+×100，當n=98時，y= ×982+×98，因此（×1002+×100）-（×982+×98）=199，所以該空應該填199。2、圖示型數(shù)字問題例3、為慶?！傲弧眱和?jié)，某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚”比賽如圖所示：按照上面的規(guī)律，擺個“金魚”需用火柴棒的根數(shù)為（ ）A B C   D【答案】：A【解析】：第一個圖需要火柴的根數(shù)是8，有序號和對應的數(shù)值構成的點設為A，則A（1，8）；第二個圖需要火柴的根數(shù)是14，有序號和對應的數(shù)值構成的點設為B，則B（2，14）；第三個圖需要火柴的根數(shù)是20，有序號和對應的數(shù)值構成的點設為C，則C（3，20）；因為，所以有：成立，所以，每個圖形中所需要的火柴的總根數(shù)y是這個圖形的序號n的一次函數(shù)，因此，我們不妨設y=kn+b，把A（1，8），B（2，14）分別代入y=kn+b中得：k+b=8，2k+b=14，解得：k=6，b=2，所以，y=6n+2。因此選A。例4、下列圖案是由邊長為單位長度的小正方形按一定的規(guī)律拼接而成。依此規(guī)律，第5個圖案中小正方形的個數(shù)為_?！敬鸢浮浚?0【解析】：仔細觀察第一個圖，正方形的個數(shù)為1，第二個圖形中正方形的特點是中間是3個，左右兩邊各一個，即為1+3+1個，第三個圖形中正方形的特點是中間是5個，左右分別是1+3個，即為1+3+5+3+1，分析到這里，相信你一定想到了這里面的變化規(guī)律了吧。是的，第n個圖形中正方形的個數(shù)為1+3+5+ +（2n-1）+ +5+3+1=2n2-2n+1，這樣，第5個圖形中正方形的個數(shù)，也就是當n=5時，代數(shù)式2n2-2n+1的值，所以，代數(shù)式的值為：2n2-2n+1=2×52-2×5+1=41個。所以，本空填50。例5、按如下規(guī)律擺放三角形：則第（4）堆三角形的個數(shù)為_；第(n)堆三角形的個數(shù)為_.【答案】：14,3n+2【解析】：仔細觀察第一個圖形，三角形排列的特點是中間3=(1+2)個,左右各1個,即圖1中三角形的總數(shù)為1+(1+2)+1,第二個圖形中三角形形的特點是中間是4=(2+2)個，左右兩邊各2個，即為2+(2+2)+2個，第三個圖形中三角形的特點是中間是5=(3+2)個，左右分別是3個，即為3+(3+2)+3，分析到這里，相信你一定想到了這里面的變化規(guī)律了吧。是的，第n個圖形中三角形的個數(shù)為n+（n+2）+n =3n+2，這樣，第4個圖形中三角形正方形的個數(shù)，也就是當n=4時，代數(shù)式3n+2的值，所以，代數(shù)式的值為：3n+2=3×4+2=14個。所以，本題的兩個空分別填14和3n+2。例6、柜臺上放著一堆罐頭，它們擺放的形狀見右圖：   第一層有2×3聽罐頭，第二層有3×4聽罐頭，第三層有4×5聽罐頭，根據(jù)這堆罐頭排列的規(guī)律，第n（n為正整數(shù)）層有         聽罐頭（用含n的式子表示）?！敬鸢浮浚簄2+3n+2【解析】：仔細觀察圖形，第一層有2×3聽罐頭，對應的序號為1，第一個數(shù)字2與序號1的關系是序號+1，第二個數(shù)字是3，它與序號的關系是序號+2；第二層有3×4聽罐頭，對應的序號為2，第一個數(shù)字3與序號的關系是序號+1，第二個數(shù)字是4，它與序號的關系是序號+2；第三層有4×5聽罐頭，對應的序號為3，第一個數(shù)字4與序號的關系是序號+1，第二個數(shù)字是5，它與序號的關系是序號+2；分析到這里，相信你一定想到了這里面的變化規(guī)律了吧。是的，第n層中有（n+1）（n+2）聽罐頭，即n2+3n+2。所以，本題的空填n2+3n+2。例7、下列圖中有大小不同的菱形，第1幅圖中有1個，第2幅圖中有3個，第3幅圖中有5個，則第幅圖中共有 個。123【答案】：2n+1【解析】：仔細觀察第一個圖形，有一個菱形，第二個圖形中有3個菱形，第三個圖形中有5個菱形，仔細觀察這些數(shù)的特點，恰好是奇數(shù)構成的數(shù)列，由此，就清楚了變化的規(guī)律了。所以，第n個圖形中有2n+1個菱形。3、恒等式型數(shù)字問題例8、試觀察下列各式的規(guī)律，然后填空：則_。【答案】：【解析】：要想找到式子的變化規(guī)律，同學們應該仔細觀察式子的特點，找出式子中，哪些量是在固定不變的，哪些量是在不斷變化。這對解題很關鍵。仔細觀察式子，不難發(fā)現(xiàn)等式左邊中的（x-1）是個固定不變的量。左邊式子中第二個括號中多項式的次數(shù)是不斷變化的，且多項式的次數(shù)等于對應等式的序號數(shù)，即第一個等式中的多項式的次數(shù)是1，第二個等式中的多項式的次數(shù)為2， 所以，第n個等式中的多項式的次數(shù)為n，這是等式左邊的變化規(guī)律；等式右邊的規(guī)律，容易找些，多項式中的常數(shù)項是保持不變的，字母x的指數(shù)隨等式的序號變化而變化，且滿足字母x的指數(shù)等于等式的序號加1。所以，第10個等式的結果為。例9、觀察下列各式：依此規(guī)律，第n個等式（n為正整數(shù)）為          。【答案】：（10n+5）2=n（n+1）×100+52?！窘馕觥浚阂胝业绞阶拥淖兓?guī)律，同學們應該仔細觀察式子的特點，找出式子中，哪些量是在固定不變的，哪些量是在不斷變化。這對解題很關鍵。等式左邊底數(shù)的特點是，個位數(shù)字都5，是個不變的量，十位數(shù)字與對應的序號一致，分別是1、2、3、4；等式右邊的特點是：第一個數(shù)字與對應的序號是一致的，括號里的數(shù)字的特點是對應的序號與常數(shù)1的和；第三個數(shù)字又是一個固定的常數(shù)100；第四個數(shù)字是常數(shù)5的平方，也是固定不變的。通過分析，我們知道在這里對應的序號是問題的根本。而第n個等式的序號為n，所以第n個等式應該是：（10n+5）2=n（n+1）×100+52。例10、觀察下列等式： 第一行     3=41 第二行     5=94  第三行     7=169  第四行    9=2516      按照上述規(guī)律，第n行的等式為_   【答案】：2n+1=（n+1）2- n2?！窘馕觥浚旱仁降淖筮叺奶攸c是：奇數(shù)3、5、7、9 ，這些奇數(shù)可以用對應的序號表示，3=2×1+1， 5=2×2+1，7=2×3+1，9=2×4+1，其中1、2、3、4等恰好是對應的序號，所以，第n 個奇數(shù)為2n+1，這樣，我們就把等式左邊的規(guī)律找出來了；等式右邊的特點是：被減數(shù)為4、9、16、25、恰好是22，32，42，52，等對應的冪，冪的底數(shù)與對應的序號的關系是：底數(shù)=對應序號+1，這樣，我們就又找到了一部分規(guī)律，第n 個被減數(shù)為（n+1）2；減數(shù)分別為1、4、9、16恰好是12，22，32，42，等對應的冪，冪的底數(shù)與對應的序號的關系是：底數(shù)=對應序號，這樣，我們就又找到了一部分規(guī)律，第n 個減數(shù)為n2；所以，本題的變化規(guī)律為：2n+1=（n+1）2- n2。例11、觀察下列各式：請你將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含自然數(shù)n(n1)的等式表示出來 ?！敬鸢浮浚?( n+1 )?！窘馕觥浚鹤屑氂^察我們發(fā)現(xiàn)，等式的左邊的特點是：被開方數(shù)中，第一個加數(shù)分別是1、2、3、等的自然數(shù)，第二個加數(shù)是一個分數(shù)，且分子都是1，是固定不變的，這就是一條規(guī)律；分母分別是3、4、5、6，這些數(shù)與第一個加數(shù)的關系是：分母=第一個加數(shù)+2，這是第二規(guī)律；等式的右邊的特點是：二次根式的系數(shù)分別是2、3、4、5、，這些數(shù)與左邊的被開方數(shù)中的第一個加數(shù)的關系是：二次根式系數(shù)=左邊的被開方數(shù)中的第一個加數(shù)+1，這是右邊的第一個規(guī)律；而被開方數(shù)也是一個分數(shù)，且分子是1，保持不變，這是一條規(guī)律，分數(shù)中的分母與左邊分數(shù)中分母一樣。這是第二條規(guī)律。這樣的話，因為，第n個等式中的第一個加數(shù)為n，所以，第n個等式為：=( n+1 )。4、冪指數(shù)型數(shù)字問題例12、已知：21=2，22=4，23=8，24=16、25=32，仔細觀察，式子的特點，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，則22008的個位數(shù)字是： A 2 B 4 C 6 D 8【答案】：C【解析】：仔細觀察，不難發(fā)現(xiàn)，當冪的指數(shù)能被4整除時，這個數(shù)的個位數(shù)字是6，當被4除，余數(shù)是3時，這個數(shù)的個位數(shù)字為8，當被4除，余數(shù)是2時，這個數(shù)的個位數(shù)字為4，當被4除，余數(shù)是1時，這個數(shù)的個位數(shù)字為2， 所以，問題解決的關鍵，就是看冪的指數(shù)被4除的情形就可了。我們知道2008是能被4整除的，所以，22008的個位數(shù)字是6，所以，選C。5 、排列型數(shù)字問題例13、把正整數(shù)1，2，3，4，5，按如下規(guī)律排列：12，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，            按此規(guī)律，可知第n行有         個正整數(shù)【答案】：【解析】：仔細觀察各行數(shù)字的個數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)，第一行有1個數(shù)字，第二行有2個數(shù)字，第三行有4個數(shù)字，第四行有8個數(shù)字，再用我們前面所用的方法，我們就不容易找到變化的規(guī)律了。我們不妨換一種思路。利用冪指數(shù)的思想試一試。由于第一個數(shù)字是1，聯(lián)想到任何不是零的數(shù)的任何次冪都是1，所以，指數(shù)0=序號1-1，又因為第二行有2個數(shù)字，第三行有4個數(shù)字，第四行有8個數(shù)字，這些數(shù)字都是偶數(shù)，所以底數(shù)一定是偶數(shù)，是2、或4或6等等，但是，第二個數(shù)為2，指數(shù)等于2-1=1，所以，底數(shù)為2，這樣，我們就找到規(guī)律，第n行中的數(shù)字個數(shù)為。例14、將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列下去。若用有序實數(shù)對（，）表示第排，從左到右第個數(shù)，如（4，3）表示實數(shù)9，則（7，2）表示的實數(shù)是         ?！敬鸢浮浚?3【解析】：仔細觀察各行數(shù)字的個數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)，第一行有1個數(shù)字，第二行有2個數(shù)字，第三行有3個數(shù)字，第四行有4個數(shù)字，第n行有n 個數(shù)字，這是第一條變化規(guī)律；我們再來觀察一下，每一行最后的一個數(shù)字的特點，不難發(fā)現(xiàn)，第二行的最后一個數(shù)字3=第一行中的數(shù)字個數(shù)1+第二行數(shù)字個數(shù)2，第三行最后的數(shù)字6=第一行數(shù)字個數(shù)1+第二行數(shù)字2+第三行數(shù)字個數(shù)3；因此，第n行的最后一個數(shù)字=1+2+3+4+ +n=，所以，第六行最后的數(shù)字為：=21，所以，第七行的第一個數(shù)字為22，第二個數(shù)字位23，因為（7，2）的意義就是第七行第二個數(shù)的意思，所以，（7，2）表示的實數(shù)是 23。6、圖表型數(shù)字問題例15、觀察表1，尋找規(guī)律表2是從表1中截取的一部分，其中的值分別為（ ）。表1 表21234246836912481216162030A20，25，24B25，20，24C18，25，24D20，30，25【答案】：A【解析】：仔細觀察圖表的結構，發(fā)現(xiàn)第n行，第m列的交叉處的數(shù)恰好是n與m的積。結合表1，就知道數(shù)c在六行，四列的交叉處，所以c的數(shù)值為6×4=24；a 在四行，五列的交叉處，所以a的數(shù)值為4×5=20；b在五行，五列的交叉處，所以b的數(shù)值為5×5=25；所以，選A。8