類型五 二次函數(shù)與特殊平行四邊形判定問題例1、如圖，拋物線與直線交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為。點(diǎn)是軸右側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn).（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)為何值時(shí)，以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請(qǐng)說明理由?！窘馕觥浚?）直線經(jīng)過點(diǎn), 拋物線經(jīng)過點(diǎn)， 拋物線的解析式為（2）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為且在拋物線上 ，當(dāng)時(shí)，以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 當(dāng)時(shí)，解得：即當(dāng)或時(shí)，四邊形是平行四邊形 當(dāng)時(shí)，解得：（舍去）即當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形例2、如圖，拋物線y=ax2+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為線段OB上的動(dòng)點(diǎn)（不與O、B重合），過點(diǎn)P垂直于x軸的直線與拋物線及線段BC分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)D在y軸正半軸上，OD=2，連接DE、OF（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)四邊形ODEF是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【解析】解：（1）點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）在拋物線y=ax2+bx+3上，解得a=1，b=2，拋物線的解析式為：y=x2+2x+3（2）在拋物線解析式y(tǒng)=x2+2x+3中，令x=0，得y=3，C（0，3）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將B（3，0），C（0，3）坐標(biāo)代入得：，解得k=1，b=3，y=x+3設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x+3），則P（x，0），F(xiàn)（x，x+3），EF=yEyF=x2+2x+3（x+3）=x2+3x四邊形ODEF是平行四邊形，EF=OD=2，x2+3x=2，即x23x+2=0，解得x=1或x=2，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）或（2，0）例3、如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)C，與軸交于A、B兩點(diǎn)，（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)E在軸上，點(diǎn)F在拋物線上，如果A、C、E、F構(gòu)成平行四邊形，請(qǐng)寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)（不必書寫計(jì)算過程）CABOyx【解析】解：（1） C (0,3) 1分又tanOCA=A（1，0）1分又SABC=6AB=4 1分B（，0）1分（2）把A（1，0）、B（，0）代入得： 1分，2分 頂點(diǎn)坐標(biāo)（，）1分（3）AC為平行四邊形的一邊時(shí) E1析(，0) 1分 E2（，0）1分 E3（，0）1分AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí) E4（3，0）1分例4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）、B（0，3），點(diǎn)P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（1）分別求出直線AB和這條拋物線的解析式（2）若點(diǎn)P在第四象限，連接AM、BM，當(dāng)線段PM最長(zhǎng)時(shí)，求ABM的面積（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【解析】：（1）分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式：把A（3，0）B（0，3）分別代入y=x2+mx+n與y=kx+b，得到關(guān)于m、n的兩個(gè)方程組，解方程組即可；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（t，t3），則M（t，t22t3），用P點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去M的縱坐標(biāo)得到PM的長(zhǎng)，即PM=（t3）（t22t3）=t2+3t，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到當(dāng)t=時(shí)，PM最長(zhǎng)為=，再利用三角形的面積公式利用SABM=SBPM+SAPM計(jì)算即可；（3）由PMOB，根據(jù)平行四邊形的判定得到當(dāng)PM=OB時(shí)，點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，然后討論：當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3，PM最長(zhǎng)時(shí)只有，所以不可能；當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3，（t22t3）（t3）=3；當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3，t23t=3，分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值【答案】解：（1）把A（3，0）B（0，3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以拋物線的解析式是y=x22x3設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，3）代入y=kx+b，得，解得，所以直線AB的解析式是y=x3；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（t，t3），則M（t，t22t3），因?yàn)閜在第四象限，所以PM=（t3）（t22t3）=t2+3t，當(dāng)t=時(shí)，二次函數(shù)的最大值，即PM最長(zhǎng)值為=，則SABM=SBPM+SAPM=（3）存在，理由如下：PMOB，當(dāng)PM=OB時(shí)，點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3，PM最長(zhǎng)時(shí)只有，所以不可能有PM=3當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3，（t22t3）（t3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是；當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3，t23t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或例5、如圖，拋物線經(jīng)過三點(diǎn).(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使以A,C,M,N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.xyAOCB（第5題圖）【解析】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為 ， xyAOCB（第5題圖）PNMH 根據(jù)題意，得，解得拋物線的解析式為： (3分)（2）由題意知，點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B,連接BC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P，則P點(diǎn) 即為所求.設(shè)直線BC的解析式為，由題意，得解得 直線BC的解析式為 (6分)拋物線的對(duì)稱軸是，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是. (7分)（3）存在 (8分)(i)當(dāng)存在的點(diǎn)N在x軸的下方時(shí)，如圖所示，四邊形ACNM是平行四邊形，CNx軸，點(diǎn)C與點(diǎn)N關(guān)于對(duì)稱軸x=2對(duì)稱，C點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為 (11分)（II）當(dāng)存在的點(diǎn)在x軸上方時(shí)，如圖所示，作軸于點(diǎn)H，四邊形是平行四邊形，,RtCAO Rt,.點(diǎn)C的坐標(biāo)為,即N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即解得點(diǎn)的坐標(biāo)為和.綜上所述，滿足題目條件的點(diǎn)N共有三個(gè)，分別為， (13分)7