類型三 二次函數(shù)與圖形面積問題例1、如圖，已知拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);（2）過點(diǎn)A作APCB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積;（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過M作MG軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似若存在，請求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請說明理由【解析】解：（1）令，得 解得令，得 A B C （2）OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=APCB， PAB= 過點(diǎn)P作PE軸于E，則APE為等腰直角三角形令OE=，則PE= P點(diǎn)P在拋物線上 GMCByPA解得，（不合題意，舍去） PE=四邊形ACBP的面積=ABOC+ABPE=(3) 假設(shè)存在PAB=BAC = PAACMG軸于點(diǎn)G， MGA=PAC =在RtAOC中，OA=OC= AC=在RtPAE中，AE=PE= AP= 設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則M 點(diǎn)M在軸左側(cè)時(shí)，則() 當(dāng)AMG PCA時(shí)，有=AG=，MG=即 解得（舍去） （舍去）() 當(dāng)MAG PCA時(shí)有=即 解得：（舍去） M GMCByPA 點(diǎn)M在軸右側(cè)時(shí)，則 () 當(dāng)AMG PCA時(shí)有=AG=，MG= 解得（舍去） M () 當(dāng)MAGPCA時(shí)有= 即 解得：（舍去） M 存在點(diǎn)M，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似M點(diǎn)的坐標(biāo)為，例2、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，ABC是直角三角形,ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，拋物線經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D（1）求b,c的值；（2）點(diǎn)E是直角三角形ABC斜邊AB上一動點(diǎn)(點(diǎn)A、B除外)，過點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下：求以點(diǎn)、為頂點(diǎn)的四邊形的面積；在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使EFP是以EF為直角邊的直角三角形? 若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 【解析】解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）B(4,5)解得：b=-2 c=-3（2）如題圖：直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0） B(4,5)直線AB的解析式為：y=x+1二次函數(shù)設(shè)點(diǎn)E(t， t+1),則F（t，）EF= =當(dāng)時(shí)，EF的最大值=點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）（3）如題圖：順次連接點(diǎn)E、B、F、D得四邊形 可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)（，）,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4） S=S+S = = 如題備用圖：)過點(diǎn)E作aEF交拋物線于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P(m,)則有： 解得:, ,）過點(diǎn)F作bEF交拋物線于，設(shè)（n，）則有： 解得： ，（與點(diǎn)F重合，舍去）綜上所述：所有點(diǎn)P的坐標(biāo)：，（. 能使EFP組成以EF為直角邊的直角三角形例3、如圖,已知二次函數(shù)的圖象與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)為C（1，2）.（1）求此函數(shù)的關(guān)系式；（2）作點(diǎn)C關(guān)于軸的對稱點(diǎn)D，順次連接A、C、B、D.若在拋物線上存在點(diǎn)E，使直線PE將四邊形ABCD分成面積相等的兩個(gè)四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)F，使得PEF是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及PEF的面積；若不存在，請說明理由.【解析】（1）的頂點(diǎn)為C（1，2）， （2）設(shè)直線PE對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為由題意，四邊形ACBD是菱形. 故直線PE必過菱形ACBD的對稱中心M由P(0，1)，M（1，0），得從而， 設(shè)E(，)，代入，得 解之得，根據(jù)題意，得點(diǎn)E(3，2) （3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)F，可設(shè)F(，)過點(diǎn)F作FG軸，垂足為點(diǎn)G.在RtPOM和RtFGP中，OMP+OPM=90°，F(xiàn)PG+OPM=90°，OMP=FPG，又POM=PGF，POMFGP. 又OM=1，OP=1，GP=GF，即解得，根據(jù)題意，得F(1，2)故點(diǎn)F(1，2)即為所求 例4、如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q，且與軸交于點(diǎn)C，與軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），點(diǎn)P是該拋物線上一動點(diǎn)，從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動（點(diǎn)P與A不重合），過點(diǎn)P作PD軸，交AC于點(diǎn)D(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)ADP是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在問題(2)的結(jié)論下，若點(diǎn)E在軸上，點(diǎn)F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【解析】解：（1）拋物線的頂點(diǎn)為Q（2，1）設(shè)將C（0，3）代入上式，得， 即（2）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P1為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P1與點(diǎn)B重合(如圖)令=0, 得解之得, 點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊, B(1,0), A(3,0)P1(1,0) 解:當(dāng)點(diǎn)A為APD2的直角頂點(diǎn)是(如圖)OA=OC, AOC=, OAD2=當(dāng)D2AP2=時(shí), OAP2=, AO平分D2AP2又P2D2軸, P2D2AO, P2、D2關(guān)于軸對稱設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為將A(3,0), C(0,3)代入上式得, D2在上, P2在上,設(shè)D2(,), P2(,)()+()=0, , (舍)當(dāng)=2時(shí), =1 P2的坐標(biāo)為P2(2,1)(即為拋物線頂點(diǎn))P點(diǎn)坐標(biāo)為P1(1,0), P2(2,1) (3)解: 由題(2)知,當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(1,0)時(shí),不能構(gòu)成平行四邊形當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P2(2,1)(即頂點(diǎn)Q)時(shí),平移直線AP(如圖)交軸于點(diǎn)E,交拋物線于點(diǎn)F.當(dāng)AP=FE時(shí),四邊形PAFE是平行四邊形P(2,1), 可令F(,1)解之得: , F點(diǎn)有兩點(diǎn),即F1(,1), F2(,1) 8