類型二 階梯費用類問題例1某超市銷售一種商品，成本每千克40元，規(guī)定每千克售價不低于成本，且不高于80元經(jīng)市場調(diào)查，每天的銷售量y(kg)與每千克售價x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如下表：售價x(元/kg)506070銷售量y(kg)1008060(1)求y與x之間的函數(shù)表達式；(2)設(shè)商品每天的總利潤為W(元)，求W與x之間的函數(shù)表達式(利潤收入成本)；(3)試說明(2)中總利潤W隨售價x的變化而變化的情況，并指出售價為多少元時獲得最大利潤，最大利潤是多少？【答案】（1）y2x200(40x80)；（2）w=2x2280x8 000(40x80)；（3）當x70時，利潤W取得最大值，最大值為1 800元【解析】(1)根據(jù)題意，設(shè)ykxb，其中k，b為待定的常數(shù)，由表中的數(shù)據(jù)得解得y2x200(40x80)；(2)根據(jù)題意得Wy ·(x40)(2x200)(x40)2x2280x8 000(40x80)；(3)由(2)可知：W2(x70)21 800，當售價x在滿足 40x70的范圍內(nèi)，利潤W隨著x的增大而增大；當售價在滿足 70x80的范圍內(nèi)，利潤W隨著x的增大而減小當x70時，利潤W取得最大值，最大值為1 800元例2襄陽市某企業(yè)積極響應(yīng)政府“創(chuàng)新發(fā)展”的號召，研發(fā)了一種新產(chǎn)品已知研發(fā)、生產(chǎn)這種產(chǎn)品的成本為30元/件，且年銷售量y(萬件)關(guān)于售價x(元/件)的函數(shù)表達式為：y(1)若企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤為W(萬元)，請直接寫出年利潤關(guān)于售價x(元/件)的函數(shù)表達式；(2)當該產(chǎn)品的售價x(元/件)為多少時，企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤最大？最大年利潤是多少？(3)若企業(yè)銷售該產(chǎn)品的年利潤不少于750萬元，試確定該產(chǎn)品的售價x(元/件)的取值范圍【答案】（1）W（2）800萬（3）45x55.【解析】(1)W(2)由(1)知，當40x<60時，W2(x50)2800.2<0，當x50時，W有最大值800.當60x70時，W(x55)2625.10，當60x70時，W隨x的增大而減小，當x60時，W有最大值為600.800>600，W最大值為800萬元答：當該產(chǎn)品的售價定為50元/件時，銷售該產(chǎn)品的年利潤最大，最大利潤為800萬元；(3)當40x60時，令W750，得2(x50)2800750，解得x145，x255.由函數(shù)W2(x50)2800的性質(zhì)可知，當45x55時，W750，當60x70時，W最大值為600750.答：要使企業(yè)銷售該產(chǎn)品的年利潤不少于750萬元，該產(chǎn)品的銷售價x(元/件)的取值范圍為45x55.例3荊州市某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶進行小龍蝦養(yǎng)殖已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖成本為6元，在整個銷售旺季的80天里，銷售單價p(元/kg)與時間第t天之間的函數(shù)關(guān)系為p日銷售量y(kg)與時間第t天之間的函數(shù)關(guān)系如圖331所示(1)求日銷售量y與時間t的函數(shù)關(guān)系式？(2)哪一天的日銷售利潤最大？最大利潤是多少？(3)該養(yǎng)殖戶有多少天日銷售利潤不低于2 400元？(4)在實際銷售的前40天中，該養(yǎng)殖戶決定每銷售1 kg小龍蝦，就捐贈m(m7)元給村里的特困戶在這前40天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，求m的取值范圍【答案】（1）y2t200(1t80，t為整數(shù))；（2）W(p6)y（3）21天（4）5m7. 圖331【解析】 (1)根據(jù)函數(shù)圖象，利用待定系數(shù)法求解可得；(2)設(shè)日銷售利潤為W，分1t40和41t80兩種情況，根據(jù)“總利潤每千克利潤×銷售”列出函數(shù)表達式，由二次函數(shù)的性質(zhì)分別求得最值即可判斷；(3)求出W2 400時x的值，結(jié)合函數(shù)圖象即可得出答案；(4)依據(jù)(2)中相等關(guān)系列出函數(shù)表達式，確定其對稱軸，由1t40且銷售利潤隨時間t的增大而增大，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案解：(1)設(shè)函數(shù)表達式為yktb，將(1，198)，(80，40)代入，得解得y2t200(1t80，t為整數(shù))；(2)設(shè)日銷售利潤為W，則W(p6)y，當1t40時，W(2t200)(t30)22 450，當t30時，W最大2 450；當41t80時，w(2t200)(t90)2100，當t41時，W最大2 301，2 4502 301，第30天的日銷售利潤最大，最大利潤為2 450元；(3)由(2)得當1t40時，W(t30)22 450，令W2 400，即(t30)22 4502 400，解得t120，t240，由函數(shù)W(t30)22 450的圖象(如答圖)可知，當20t40時，日銷售利潤不低于2 400元， 第3題答圖而當41t80時，W最大2 3012 400，t的取值范圍是20t40，共有21天符合條件；(4)設(shè)日銷售利潤為W，根據(jù)題意，得W(2t200) t2(302m)t2 000200m，其函數(shù)圖象的對稱軸為t2m30，W隨t的增大而增大，且1t40，由二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)可知2m3040，解得m5，又m7，5m7.例4小慧和小聰沿圖332中景區(qū)公路游覽小慧乘坐車速為30 km/h的電動汽車，早上7：00從賓館出發(fā)，游玩后中午12：00回到賓館小聰騎車從飛瀑出發(fā)前往賓館，速度為20 km/h，途中遇見小慧時，小慧恰好游完一景點后乘車前往下一景點，上午10：00小聰?shù)竭_賓館圖中的圖象分別表示兩人離賓館的路程s(km)與時間t(h)的函數(shù)關(guān)系試結(jié)合圖中信息回答：圖332(1)小聰上午幾點鐘從飛瀑出發(fā)？(2)試求線段AB，GH的交點B的坐標，并說明它的實際意義；(3)如果小聰?shù)竭_賓館后，立即以30 km/h的速度按原路返回，那么返回途中他幾點鐘遇見小慧？【答案】（1）7:30（2）如下（3）11:00【解析】(1)小聰從飛瀑到賓館所用的時間為50÷202.5(h)，小聰上午10：00到達賓館，小聰從飛瀑出發(fā)的時刻為102.57.5，即7：30.答：小聰早上7：30從飛瀑出發(fā)；(2)設(shè)直線GH的函數(shù)表達式為sktb，由于點G的坐標為，點H的坐標為(3，0)，則有解得直線GH的函數(shù)表達式為s20t60，又點B的縱坐標為30，當s30時，得20t6030，解得t，點B的坐標為.答：點B的實際意義是上午8：30小慧與小聰在離賓館30 km(即景點草甸)處第一次相遇；(3)方法一：設(shè)直線DF的函數(shù)表達式為sk1tb1，該直線過點D和F(5，0)，由于小慧從飛瀑回到賓館所用時間為50÷30(h)，小慧從飛瀑準備返回時t5(h)，即點D的坐標為.則有解得直線DF的函數(shù)表達式為s30t150，小聰上午10：00到達賓館后立即以30 km/h的速度返回飛瀑，所需時間為50÷30(h)第4題答圖如答圖，HM為小聰返回時s關(guān)于t的函數(shù)圖象，點M的橫坐標為3，M，設(shè)直線HM的函數(shù)表達式為sk2tb2，該直線過點H(3，0)和M ，則有直線HM的函數(shù)表達式為s30t90，由30t9030t150，解得t4，即11：00.答：小聰返回途中上午11：00遇見小慧；方法二：如答圖，過點E作EQx軸于點Q，由題意，可得點E的縱坐標為兩人相遇時距賓館的路程，又兩人速度均為30 km/h，該路段兩人所花時間相同，即HQQF，點E的橫坐標為4.答：小聰返回途中上午11：00遇見小慧例5月電科技有限公司用160萬元，作為新產(chǎn)品的研發(fā)費用，成功研制出了一種市場急需的電子產(chǎn)品，已于當年投入生產(chǎn)并進行銷售已知生產(chǎn)這種電子產(chǎn)品的成本為4元/件，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：每年的年銷售量y(萬件)與銷售價格x(元/件)的關(guān)系如圖333所示，其中AB為反比例函數(shù)圖象的一部分，BC為一次函數(shù)圖象的一部分設(shè)公司銷售這種電子產(chǎn)品的年利潤為W(萬元)(注：若上一年盈利，則盈利不計入下一年的年利潤；若上一年虧損，則虧損記做下一年的成本)圖333(1)請求出y(萬件)與x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式(2)求出第一年這種電子產(chǎn)品的年利潤W(萬元)與x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出第一年年利潤的最大值(3)假設(shè)公司的這種電子產(chǎn)品第一年恰好按年利潤W(萬元)取得最大值時進行銷售，現(xiàn)根據(jù)第一年的盈虧情況，決定第二年將這種電子產(chǎn)品每件的銷售價格x(元)定在8元以上(x8)，當?shù)诙甑哪昀麧櫜坏陀?03萬元時，請結(jié)合年利潤W(萬元)與銷售價格x(元/件)的函數(shù)示意圖，求銷售價格x(元/件)的取值范圍【答案】（1）y（2）當每件的銷售價格定為16元時，第一年的年利潤的最大值為16萬元（3）當11x21時，第二年的年利潤W不低于103萬元【解析】 (1)求y(萬件)與x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合圖象，是一個分段函數(shù)，已知點坐標，運用待定系數(shù)法可求；(2)根據(jù)“年利潤年銷售量×每件的利潤成本(160萬元)”，可求出年利潤W(萬元)與x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式，但要注意的是和第(1)問一樣是分段函數(shù)，根據(jù)每段的函數(shù)特征分別求出最大值，再比較這兩個數(shù)值的大小，從而確定第一年的年利潤的最大值；(3)根據(jù)條件“第二年的年利潤不低于103萬元”，可得W103，這是一個一元二次不等式，觀察年利潤W(萬元)與銷售價格x(元/件)的函數(shù)示意圖，從而得出結(jié)果解：(1)當4x8時，設(shè) y，將A(4，40)代入，得k4×40160.y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y.當8x28時，設(shè)ykxb，將B(8，20)，C(28，0)代入，得 解得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為yx28.綜上所述，得y(2)當4x8時，W(x4)×y160(x4)×160.W隨著x的增大而增大，當x8時，Wmax 80.當8x28時，W(x4)×y160 (x4)×(x28)160x232x272(x16) 216.當x16時，Wmax16.1680，當每件的銷售價格定為16元時，第一年的年利潤的最大值為16萬元(3)第一年的年利潤為16萬元16萬元應(yīng)作為第二年的成本第5題答圖又x8，第二年的年利潤W(x4)(x28)16x232x128，令W103，則x232x128103，解得x111，x221.在平面直角坐標系中，畫出W與x的函數(shù)示意圖如答圖，觀察示意圖可知：當W103時，11x21.當11x21時，第二年的年利潤W不低于103萬元例6某水果店在兩周內(nèi)，將標價為10元/斤的某種水果，經(jīng)過兩次降價后的價格為8.1元/斤，并且兩次降價的百分率相同(1)求該種水果每次降價的百分率；(2)從第一次降價的第1天算起，第x天(x為正數(shù))的售價、銷量及儲存和損耗費用的相關(guān)信息如表所示已知該種水果的進價為4.1元/斤，設(shè)銷售該水果第x(天)的利潤為y(元)，求y與x(1x15)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出第幾天時銷售利潤最大？時間x(天)1x99x15x15售價(元/斤)第1次降價后的價格第2次降價后的價格銷量(斤)803x120x儲存和損耗費用(元)403x3x264x400(3)在(2)的條件下，若要使第15天的利潤比(2)中最大利潤最多少127.5元，則第15天在第14天的價格基礎(chǔ)上最多可降多少元？【答案】（1）10（2）10（3）0.5元【解析】 (1)設(shè)該種水果每次降價的百分率為x，則第一次降價后的價格為10(1x)，第二次降價后的價格為10(1x)2，進而可得方程；(2)分兩種情況考慮，先利用“利潤(售價進價)×銷量儲存和損耗費用”，再分別求利潤的最大值，比較大小確定結(jié)論；(3)設(shè)第15天在第14天的價格基礎(chǔ)上降a元，利用不等關(guān)系“(2)中最大利潤(8.1a4.1)×銷量儲存和損耗費用127.5”求解解：(1)設(shè)該種水果每次降價的百分率為x，依題意，得10(1x)28.1，解得x10.110%，x21.9(不合題意，舍去)答：該種水果每次降價的百分率為10%.(2)第一次降價后的銷售價格為10×(110%)9(元/斤)，當1x9時，y(94.1)(803x)(403x)17.7x352；當9x15時，y(8.14.1)(120x)(3x264x400)3x260x80，綜上所述，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y當1x9時，y17.7x352，當x1時，y最大334.3(元)；當9x15時，y3x260x803(x10)2380，當x10時，y最大380(元)334.3380，在第10天時銷售利潤最大(3)設(shè)第15天在第14天的價格上最多可降a元，依題意，得380(8.1a4.1)(12015)(3×15264×15400)127.5，解得a0.5，則第15天在第14天的價格上最多可降0.5元9