《三角形》 1．在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB，垂足為點D，M為線段DB上一動點（不包括端點），點N在直線AC左上方且∠NCM＝135°，CN＝CM，如圖① （1）求證：∠ACN＝∠AMC （2）記△ANC得面積為5，記△ABC得面積為5．求證： （3）延長線段AB到點P，使BP＝BM，如圖②．探究線段AC與線段DB滿足什么數(shù)量關(guān)系時對于滿足條件的任意點M，AN＝CP始終成立？（寫出探究過程） 解：（1）∵∠BAC＝45°， ∴∠AMC＝180°﹣45°﹣∠ACM＝135°﹣∠ACM， ∵∠NCM＝135°， ∴∠ACN＝135°﹣∠ACM， ∴∠ACN＝∠AMC； （2）過點N作NE⊥AC于E， ∵∠CEN＝∠CDM＝90°，∠ACN＝∠AMC，CM＝CN， ∴△NEC≌△CDM（AAS） ∴NE＝CD，CE＝DM； ∵S1＝AC?NE，S2＝AB?CD， ∴＝； （3）當(dāng)AC＝2BD時，對于滿足條件的任意點N，AN＝CP始終成立， 理由如下：過點N作NE⊥AC于E， 由（2）可得NE＝CD，CE＝DM， ∵AC＝2BD，BP＝BM，CE＝DM， ∴AC﹣CE＝BD+BD﹣DM ∴AE＝BD+BP＝DP， ∵NE＝CD，∠NEA＝∠CDP＝90°，AE＝DP， ∴△NEA≌△CDP（SAS） ∴AN＝PC． 2．如圖1，OA＝2，OB＝4，以點A為頂點，AB為腰在第三象限作等腰直角△ABC． （Ⅰ）求C點的坐標(biāo)； （Ⅱ）如圖2，OA＝2，P為y軸負(fù)半軸上的一個動點，若以P為直角頂點，PA為腰等腰直角△APD，過D作DE⊥x軸于E點，求OP﹣DE的值； （Ⅲ）如圖3，點F坐標(biāo)為（﹣4，﹣4），點G（0，m）在y軸負(fù)半軸，點H（n，0）x軸的正半軸，且FH⊥FG，求m+n的值． 解：（Ⅰ）如圖1，過C作CM⊥x軸于M點，如圖1所示： ∵CM⊥OA，AC⊥AB， ∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°， ∴∠MAC＝∠OBA， 在△MAC和△OBA中，， ∴△MAC≌△OBA（AAS）， ∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4， ∴OM＝6， ∴點C的坐標(biāo)為（﹣6，﹣2）， 故答案為（﹣6，﹣2）； （Ⅱ）如圖2，過D作DQ⊥OP于Q點， 則四邊形OEDQ是矩形， ∴DE＝OQ， ∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°， ∴∠QPD＝∠OAP， 在△AOP和△PDQ中，， ∴△AOP≌△PDQ（AAS）， ∴AO＝PQ＝2， ∴OP﹣DE＝OP﹣OQ＝PQ＝OA＝2； （Ⅲ）如圖3，過點F分別作FS⊥x軸于S點，F(xiàn)T⊥y軸于T點， 則∠HSF＝∠GTF＝90°＝∠SOT， ∴四邊形OSFT是正方形， ∴FS＝FT＝4，∠EFT＝90°＝∠HFG， ∴∠HFS＝∠GFT， 在△FSH和△FTG中，， ∴△FSH≌△FTG（AAS）， ∴GT＝HS， 又∵G（0，m），H（n，0），點F坐標(biāo)為（﹣4，﹣4）， ∴OT═OS＝4， ∴GT＝﹣4﹣m，HS＝n﹣（﹣4）＝n+4， ∴﹣4﹣m＝n+4， ∴m+n＝﹣8． 3．如圖1，點C在線段AB上，（點C不與A、B重合），分別以AC、BC為邊在AB同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，連接AE、BD交于點P （1）觀察猜想：①線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系為　AE＝BD?。? ②∠APC的度數(shù)為　60°?。? （2）數(shù)學(xué)思考：如圖2，當(dāng)點C在線段AB外時，（1）中的結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明 （3）拓展應(yīng)用：如圖3，分別以AC、BC為邊在AB同側(cè)作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD＝∠BCE＝90°，CA＝CD，CB＝CE，連接AE＝BD交于點P，則線段AE與BD的關(guān)系為　AE＝BD，AE⊥BD?。? 解：（1）觀察猜想：①如圖1， 設(shè)AE交CD于點O．過點C作CH⊥AE，CG⊥BD， ∵△ADC，△ECB都是等邊三角形， ∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB， ∴∠ACE＝∠DCB， ∴△ACE≌△DCB（SAS）， ∴AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，S△ACE＝S△BCD， ∵∠AOC＝∠DOP， ∴∠DPO＝∠ACO＝60°， ∴∠APB＝120°， ∵S△ACE＝S△BCD， ∴×AE×CH＝×BD×CG， ∴CH＝CG，且CH⊥AE，CG⊥BD， ∴CP平分∠APB， ∴∠APC＝60°， 故答案為AE＝BD，60°． （2）數(shù)學(xué)思考：：①成立，②不成立， 理由：設(shè)AC交BD于點O．過點C作CH⊥AE，CG⊥BD， ∵△ADC，△ECB都是等邊三角形， ∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB， ∴∠ACE＝∠DCB ∴△ACE≌△DCB（SAS）， ∴AE＝BD，∠PAO＝∠ODC， ∵∠AOP＝∠DOC， ∴∠APO＝∠DCO＝60°， ∴∠DPE＝120°， ∵S△ACE＝S△BCD， ∴×AE×CH＝×BD×CG， ∴CH＝CG，且CH⊥AE，CG⊥BD， ∴CP平分∠DPE， ∴∠DPC＝60°， ∴∠APC＝120°， ∴①成立，②不成立； 拓展應(yīng)用： 設(shè)AC交BD于點O． ∵∠ACD＝∠BCE＝90°，CA＝CD，CB＝CE， ∴∠ACE＝∠DCB ∴△AEC≌△DBC（SAS）， ∴AE＝BD，∠CDB＝∠CAE， ∵∠AOP＝∠COD，∠CDB＝∠CAE， ∴∠DCO＝∠APO＝90°， ∴AE⊥BD， 故答案為：AE＝BD，AE⊥BD． 4．如圖，△ABC是等邊三角形，D是BC邊的中點，以D為頂點作一個120°的角，角的兩邊分別交直線AB、直線AC于M、N兩點．以點D為中心旋轉(zhuǎn)∠MDN（∠MDN的度數(shù)不變），當(dāng)DM與AB垂直時（如圖①所示），易證BM+CN＝BD． （1）如圖②，當(dāng)DM與AB不垂直，點M在邊AB上，點N在邊AC上時，BM+CN＝BD是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由； （2）如圖③，當(dāng)DM與AB不垂直，點M在邊AB上，點N在邊AC的延長線上時，BM+CN＝BD是否仍然成立？若不成立，請寫出BM，CN，BD之間的數(shù)量關(guān)系，不用證明． 解：（1）結(jié)論BM+CN＝BD成立，理由如下： 如圖②，過點D作DE∥AC交AB于E， ∵△ABC是等邊三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵DE∥AC， ∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°， ∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°， ∴△BDE是等邊三角形，∠EDC＝120°， ∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°， ∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°， ∴∠CDN＝∠EDM， ∵D是BC邊的中點， ∴DE＝BD＝CD， 在△CDN和△EDM中， ， ∴△CDN≌△EDM（ASA）， ∴CN＝EM， ∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN； （2）上述結(jié)論不成立，BM，CN，BD之間的數(shù)量關(guān)系為：BM﹣CN＝BD；理由如下： 如圖③，過點D作DE∥AC交AB于E， ∵△ABC是等邊三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∴∠NCD＝120°， ∵DE∥AC， ∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°， ∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°， ∴△BDE是等邊三角形，∠MED＝∠EDC＝120°， ∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°， ∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°， ∴∠CDN＝∠EDM， ∵D是BC邊的中點， ∴DE＝BD＝CD， 在△CDN和△EDM中， ， ∴△CDN≌△EDM（ASA）， ∴CN＝EM， ∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN， ∴BM﹣CN＝BD． 5．△ABC是等邊三角形，P為平面內(nèi)的一個動點，BP＝BA，0°＜∠PBC＜180°，DB平分∠PBC，且DB＝DA． （1）當(dāng)BP與BA重合時（如圖1），求∠BPD的度數(shù)； （2）當(dāng)BP在∠ABC的內(nèi)部時（如圖2），求∠BPD的度數(shù)； （3）當(dāng)BP在∠ABC的外部時，請你直接寫出∠BPD的度數(shù)． 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，BD平分∠PBC， ∴∠PBD＝∠CBD＝30°， ∵DB＝DA， ∴∠PBD＝∠BPD＝30°； （2）如圖2，連接CD， ∵點D在∠PBC的平分線上， ∴∠PBD＝∠CBD， ∵△ABC是等邊三角形， ∴BA＝BC＝AC，∠ACB＝60°， ∵BP＝BA， ∴BP＝BC， ∵BD＝BD， ∴△PBD≌△CBD（SAS）， ∴∠BPD＝∠BCD， ∵DB＝DA，BC＝AC，CD＝CD， ∴△BCD≌△ACD（SSS）， ∴∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝30°， ∴∠BPD＝30°； （3） 如圖3，連接CD， ∵AD＝BD，CD＝CD，BC＝AC， ∴△ACD≌△BCD（SSS） ∴∠ACD＝∠BCD＝30°， ∵BD＝BD，∠PBD＝∠CBD，PB＝AB＝BC， ∴△PBD≌△CBD（SAS） ∴∠BPD＝∠BCD＝30°， 如圖4，連接CD， ∵AD＝BD，CD＝CD，BC＝AC， ∴△ACD≌△BCD（SSS） ∴∠ACD＝∠BCD＝30°， ∵BD＝BD，∠PBD＝∠CBD，PB＝AB＝BC， ∴△PBD≌△CBD（SAS） ∴∠BPD＝∠BCD＝30°， 如圖5，連接CD， ∵AD＝BD，CD＝CD，BC＝AC， ∴△ACD≌△BCD（SSS） ∴∠ACD＝∠BCD＝＝150°， ∵BD＝BD，∠PBD＝∠CBD，PB＝AB＝BC， ∴△PBD≌△CBD（SAS） ∴∠BPD＝∠BCD＝150°， 6．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D為AB邊的中點，以D為直角頂點的Rt△DEF的另兩個頂點E，F(xiàn)分別落在邊AC，CB（或它們的延長線）上． （1）如圖1，若Rt△DEF的兩條直角邊DE，DF與△ABC的兩條直角邊AC，BC互相垂直，則S△DEF+S△CEF＝S△ABC，求當(dāng)S△DEF＝S△CEF＝2時，AC邊的長； （2）如圖2，若Rt△DEF的兩條直角邊DE，DF與△ABC的兩條直角邊AC，BC不垂直，S△DEF+S△CEF＝S△ABC，是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請直接寫出S△DEF，S△CEF，S△ABC之間的數(shù)量關(guān)系； （3）如圖3，若Rt△DEF的兩條直角邊DE，DF與△ABC的兩條直角邊AC，BC不垂直，且點E在AC的延長線上，點F在CB的延長線上，S△DEF+S△CEF＝S△ABC是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請直接寫出S△DEF，S△CEF，S△ABC之間的數(shù)量關(guān)系． 解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴四邊形DECF是矩形， ∵∠ACB＝90°， ∴BC⊥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE∥BC， ∵D為AB邊的中點， ∴DE是△ABC的中位線， ∴DE＝BC，AC＝2CE， 同理：DF＝AC， ∵AC＝BC， ∴DE＝DF， ∴四邊形DECF是正方形， ∴CE＝DF＝CF＝DE， ∵S△DEF＝S△CEF＝2＝DE?DF＝DF2， ∴DF＝2， ∴CE＝2， ∴AC＝2CE＝4； （2）S△DEF+S△CEF＝S△ABC成立，理由如下： 連接CD；如圖2所示： ∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D為AB中點， ∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD， ∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，S△ABC＝2S△BCD， ∵∠EDF＝90°， ∴∠CDE＝∠BDF， 在△CDE和△BDF中，， ∴△CDE≌△BDF（ASA）， ∴DE＝DF．S△CDE＝S△BDF． ∴S△DEF+S△CEF＝S△CDE+S△CDF＝S△BCD＝S△ABC； （3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC；理由如下： 連接CD，如圖3所示： 同（1）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°， ∴S△DEF＝S五邊形DBFEC， ＝S△CFE+S△DBC， ＝S△CFE+S△ABC， ∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC． ∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的關(guān)系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC． 7．教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第94頁的部分內(nèi)容 2．線段垂直平分線 我們已經(jīng)知道線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對稱軸，如圖，直線MN是線段AB的垂直平分線，P是MN上任一點，連結(jié)PA、PB，將線段AB沿直線MN對稱，我們發(fā)現(xiàn)PA與PB完全重合，由此即有： 線段垂直平分線的性質(zhì)定理 線段垂直平分線上的點到線段的距離相等． 已知：如圖，MN⊥AB，垂足為點C，AC＝BC，點P是直線MN上的任意一點． 求證：PA＝PB． 分析：圖中有兩個直角三角形APC和BPC，只要證明這兩個三角形全等，便可證明PA＝PB． 定理證明：請根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫出“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過程． 定理應(yīng)用： （1）如圖②，在△ABC中，直線m、n分別是邊BC、AC的垂直平分線，直線m、n的交點為O．過點O作OH⊥AB于點H．求證：AH＝BH． （2）如圖③，在△ABC中，AB＝BC，邊AB的垂直平分線l交AC于點D，邊BC的垂直平分線k交AC于點E．若∠ABC＝120°， AC＝15，則DE的長為　5?。? 解：定理證明： ∵MN⊥AB， ∴∠PCA＝∠PCB＝90°． 又∵AC＝BC，PC＝PC， ∴△PAC≌△PBC（SAS）， ∴PA＝PB． 定理應(yīng)用：（1）如圖2，連結(jié)OA、OB、OC． ∵直線m是邊BC的垂直平分線， ∴OB＝OC， ∵直線n是邊AC的垂直平分線， ∴OA＝OC， ∴OA＝OB ∵OH⊥AB， ∴AH＝BH； （2）如圖③中，連接BD，BE． ∵BA＝BC，∠ABC＝120°， ∴∠A＝∠C＝30°， ∵邊AB的垂直平分線交AC于點D，邊BC的垂直平分線交AC于點E， ∴DA＝DB，EB＝EC， ∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°， ∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°， ∴△BDE是等邊三角形， ∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC， ∵AC＝15＝AD+DE+EC＝3DE， ∴DE＝5， 故答案為：5． 8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以BC為直角邊作等腰Rt△BCD，∠CBD＝90°，斜邊CD交AB于點E． （1）如圖1，若∠ABC＝60°，BE＝4，作EH⊥BC于H，求線段BC的長； （2）如圖2，作CF⊥AC，且CF＝AC，連接BF，且E為AB中點，求證：CD＝2BF． 解：（1）∵∠ABC＝60°，EH⊥BC， ∴∠BEH＝30°， ∴BE＝2BH＝4，EH＝BH， ∴BH＝2，EH＝2， ∵∠CBD＝90°，BD＝BC， ∴∠BCD＝45°，且EH⊥BC， ∴∠BCD＝∠BEC＝45°， ∴EH＝CH＝2， ∴BC＝BH+HC＝2+2； （2）如圖，過點A作AM⊥BC， ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∴BM＝MC＝BC＝DB， ∵∠DCB＝45°，AM⊥BC， ∴∠DCB＝∠MNC＝45°， ∴MN＝MC＝BD， ∵AM∥DB， ∴△CNM∽△CBD ∴， ∴CD＝2CN，AN＝BD， ∵CF⊥AC，∠BCD＝45°， ∴∠ACD+∠BCF＝45°，且∠ACD+∠MAC＝45°， ∴∠BCF＝∠MAC，且AC＝CF，BC＝AN， ∴△ACN≌△CFB（SAS） ∴BF＝CN， ∴CD＝2BF 9．【問題】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過點C作直線l平行于AB．∠EDF＝90°，點D在直線L上移動，角的一邊DE始終經(jīng)過點B，另一邊DF與AC交于點P，研究DP和DB的數(shù)量關(guān)系． 【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖2，某數(shù)學(xué)興趣小組運用從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點D移動到使點P與點C重合時，通過推理就可以得到DP＝DB，請寫出證明過程； 【數(shù)學(xué)思考】（2）如圖3，若點P是AC上的任意一點（不含端點A、C），受（1）的啟發(fā)，這個小組過點D作DG⊥CD交BC于點G，就可以證明DP＝DB，請完成證明過程． 【探究發(fā)現(xiàn)】 證明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC ∴∠CAB＝∠CBA＝45° ∵CD∥AB ∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD ∴∠DCB＝∠DBC＝45° ∴DB＝DC 即DP＝DB； 【數(shù)學(xué)思考】 證明：（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45° ∴∠DCG＝∠DGC＝45° ∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°， ∵∠BDP＝∠CDG＝90° ∴∠CDP＝∠BDG ，在△CDP和△GDB中，， ∴△CDP≌△GDB（ASA） ∴DP＝DB． 10．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，A（m，0）、B（0，n），m、n滿足（m﹣n）2+|m﹣5|＝0．C為AB的中點，P是線段AB上一動點，D是x軸正半軸上一點，且PO＝PD，DE⊥AB于E． （1）如圖1，當(dāng)點P在線段AB上運動時，點D恰在線段OA上，則PE與AB的數(shù)量關(guān)系為　AB＝2PE　 （2）如圖2，當(dāng)點D在點A右側(cè)時，（1）中結(jié)論是否成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，說明理由！ （3）設(shè)AB＝5，若∠OPD＝45°，直接寫出點D的坐標(biāo)． 解：（1）∵（m﹣n）2+|m﹣5|＝0， ∴m﹣n＝0，m﹣5＝0， ∴m＝n＝5， ∴A（5，0）、B（0，5）， ∴AC＝BC＝5， ∴△AOB為等腰直角三角形， ∴∠AOC＝∠BOC＝45°，OC⊥AB， ∵PO＝PD， ∴∠POD＝∠PDO， ∵D是x軸正半軸上一點， ∴點P在BC上， ∵∠POD＝45°+∠POC，∠PDO＝45°+∠DPE， ∴∠POC＝∠DPE， 在△POC和△DPE中， ， ∴△POC≌△DPE（AAS）， ∴OC＝PE， ∵C為AB的中點， ∴AB＝2OC， ∴AB＝2PE． 故答案為：AB＝2PE． （2）成立，理由如下： ∵點C為AB中點， ∴∠AOC＝∠BOC＝45°，OC⊥AB， ∵PO＝PD， ∴∠POD＝∠PDO， ∵∠POD＝45°﹣∠POC，∠PDO＝45°﹣∠DPE， ∴∠POC＝∠DPE， 在△POC和△DPE中， ， ∴△POC≌△DPE（AAS）， ∴OC＝PE， 又∠AOC＝∠BAO＝45° ∴OC＝AC＝AB ∴AB＝2PE； （3）∵AB＝5， ∴OA＝OB＝5， ∵OP＝PD， ∴∠POD＝∠PDO＝＝67.5°， ∴∠APD＝∠PDO﹣∠A＝22.5°，∠BOP＝90°﹣∠POD＝22.5°， ∴∠APD＝∠BOP， 在△POB和△DPA中， ， ∴△POB≌△DPA（SAS）， ∴PA＝OB＝5，DA＝PB， ∴DA＝PB＝5﹣5， ∴OD＝OA﹣DA＝5﹣（5﹣5）＝10﹣5， ∴點D的坐標(biāo)為（10﹣5，0）． 11．如圖1，直線AB分別與x軸、y軸交于A、B兩點，OC平分∠AOB交AB于點C，點D為線段AB上一點，過點D作DE∥OC交y軸于點E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n滿足n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0． （1）求A、B兩點的坐標(biāo)； （2）若點D為AB中點，求OE的長； （3）如圖2，若點P（x，﹣2x+4）為直線AB在x軸下方的一點，點E是y軸的正半軸上一動點，以E為直角頂點作等腰直角△PEF，使點F在第一象限，且F點的橫、縱坐標(biāo)始終相等，求點P的坐標(biāo)． 解：（1）∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0， ∴（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0， ∵（n﹣4）2≥0，|n﹣2m|≥0， ∴（n﹣4）2＝0，|n﹣2m|＝0， ∴m＝2，n＝4， ∴點A為（2，0），點B為（0，4）； （2）延長DE交x軸于點F，延長FD到點G，使得DG＝DF，連接BG， 設(shè)OE＝x， ∵OC平分∠AOB， ∴∠BOC＝∠AOC＝45°， ∵DE∥OC， ∴∠EFO＝∠FEO＝∠BEG＝∠BOC＝∠AOC＝45°， ∴OE＝OF＝x， 在△ADF和△BDG中， ， ∴△ADF≌△BDG（SAS）， ∴BG＝AF＝2+x，∠G＝∠AFE＝45°， ∴∠G＝∠BEG＝45°， ∴BG＝BE＝4﹣x， ∴4﹣x＝2+x，解得：x＝1， ∴OE＝1； （3）如圖2，分別過點F、P作FM⊥y軸于點M，PN⊥y軸于點N，設(shè)點E為（0，m）， ∵點P的坐標(biāo)為（x，﹣2x+4）， ∴PN＝x，EN＝m+2x﹣4， ∵∠PEF＝90°， ∴∠PEN+∠FEM＝90°， ∵FM⊥y軸， ∴∠MFE+∠FEM＝90°， ∴∠PEN＝∠MFE， 在△EFM和△PEN中， ， ∴△EFM≌△PEN（AAS）， ∴ME＝NP＝x，F(xiàn)M＝EN＝m+2x﹣4， ∴點F為（m+2x﹣4，m+x）， ∵F點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等， ∴m+2x﹣4＝m+x， 解得：x＝4， ∴點P為（4，﹣4）． 12．在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線．動點D在直線AM上時，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結(jié)BE． （1）若點D在線段AM上時（如圖1），則AD?。健E（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM＝　30　度； （2）設(shè)直線BE與直線AM的交點為O． ①當(dāng)動點D在線段AM的延長線上時（如圖2），試判斷AD與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； ②當(dāng)動點D在直線AM上時，試判斷∠AOB是否為定值？若是，請直接寫出∠AOB的度數(shù)；若不是，請說明理由． 解：（1））∵△ABC與△DEC都是等邊三角形 ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60° ∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE ∴∠ACD＝∠BCE． 在△ADC和△BEC中 ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE； ∵△ABC是等邊三角形， ∴∠BAC＝60°． ∵線段AM為BC邊上的中線 ∴∠CAM＝∠BAC， ∴∠CAM＝30°． 故答案為：＝，30； （2）①AD＝BE， 理由如下：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形 ∴AB＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS） ∴AD＝BE． ②∠AOB是定值，∠AOB＝60°， 理由如下： 當(dāng)點D在線段AM上時，如圖1，由①知△ACD≌△BCE，則∠CBE＝∠CAD＝30°， 又∠ABC＝60°， ∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°， ∵△ABC是等邊三角形，線段AM為BC邊上的中線 ∴AM平分∠BAC，即， ∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°． 當(dāng)點D在線段AM的延長線上時，如圖2， ∵△ABC與△DEC都是等邊三角形 ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60° ∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE ∴∠ACD＝∠BCE 在△ACD和△BCE中 ， ∴△ACD≌△BCE（SAS） ∴∠CBE＝∠CAD＝30°， 同理可得：∠BAM＝30°， ∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°． 13．小明在學(xué)習(xí)等邊三角形時發(fā)現(xiàn)了直角三角形的一個性質(zhì)：直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．小明同學(xué)對以上結(jié)論作了進一步探究．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，則：∠ABC＝30°． 探究結(jié)論：（1）如圖1，CE是AB邊上的中線，易得結(jié)論：△ACE為　等邊　三角形． （2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，CP是AB邊上的中線，點D是邊CB上任意一點，連接AD，在AB邊上方作等邊△ADE，連接BE．試探究線段BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想加以證明． 拓展應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（﹣，1），點B是x軸正半軸上的一動點，以AB為邊作等邊△ABC，當(dāng)點C在第一象內(nèi)，且B（2，0）時，求點C的坐標(biāo)． 解：探究結(jié)論（1）∵CE是AB邊上的中線， ∴CE＝AE＝AB， ∵AC＝AB， ∴AC＝CE＝AE， ∴△ACE是等邊三角形． 故答案為：等邊； （2）如圖2中，結(jié)論：ED＝EB． 理由：取AB的中點P，連接CP、PE． ∵△ACP，△ADE都是等邊三角形， ∴AC＝AP＝PC，AD＝AE＝DE，∠CAP＝∠DAE＝60°， ∴∠CAD＝∠PAE， ∴△CAD≌△PAE（SAS）， ∴∠ACD＝∠APE＝90°， ∴EP⊥AB， ∵PA＝PB， ∴EA＝EB， ∵DE＝AE， ∴ED＝EB． 拓展應(yīng)用：如圖3中，作AH⊥x軸于H，CF⊥OB于F，連接OA． ∵A（﹣，1）， ∴∠AOH＝30°， 由（2） 可知，CO＝CB， ∵CF⊥OB， ∴OF＝FB＝1， ∴可以假設(shè)C（1，n）， ∵OC＝BC＝AB， ∴1+n2＝1+（+2）2， ∴n＝2+， ∴C（1，2+）． 14．如圖，等邊△ABC外有一點D，連接DA，DB，DC． （1）如圖1，若∠DAB+∠DCB＝180°，求證：BD平分∠ADC； （2）如圖2，若∠BDC＝60°，求證：BD﹣CD＝AD； （3）如圖3，延長AD交BC的延長線于點F，以BF為邊向下作等邊△BEF，若點D，C，E在同一直線上，且∠ABD＝α，直接寫出∠CEF的度數(shù)為　60°﹣α?。ńY(jié)果用含α的式子表示）． （1）證明：過點B作BM⊥CD于點M，BN⊥AD于點N， ∴∠ANB＝∠CMB＝90°， ∵△ABC為等邊三角形， ∴AB＝BC， ∵∠DAB+∠DCB＝180°， ∠DCB+∠BCM＝180°， ∴∠OAB＝∠BCM， ∴△ABN≌△CBM（AAS）， ∴BM＝BN， ∴BD平分∠ADC； （2）證明：在BD上取點E，使DE＝CD， ∵∠BDC＝60° ∴△CDE為等邊三角形， ∴∠DCE＝∠ACB＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE， ∵AC＝BC， ∴△ADC≌△BEC（SAS）， ∴AD＝BE， ∴BD﹣CD＝AD； （3）解：∵△ABC，△BEF為等邊三角形，∴AB＝CB，BF＝BE，∠ABF＝∠CBE ∴△ABF≌CBE（SAS）， ∴∠DFB＝∠CEB， ∵∠CEB+∠CEF＝60°，∠EFB＝60° ∴∠FDE＝180°﹣∠DFB﹣∠EFB﹣∠CEF＝60° ∴∠ADC＝120°， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， 由（1）得BD平分∠ADC ∴∠BDE＝60°， ∴∠FDB＝120°， ∴∠FDB+∠FEB＝180°， ∴F，E，B，D四點共圓， ∴∠CEF＝∠DBF ∵∠DBF＝60°﹣α． ∴∠CEF＝60°﹣α． 故答案為：60°﹣α． 15．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（0，2），B（﹣2，m），過B點作直線a與x軸互相垂直，C為x軸上的一個動點，且∠BAC＝90°． （1）如圖1，若點B是第二象限內(nèi)的一個點，且m＞2時，求點C的坐標(biāo)；（用m的代數(shù)式表示） （2）如圖2，若點B是第三象限內(nèi)的一個點，設(shè)C點的坐標(biāo)（x，0），求x的取值范圍： （3）如圖3，連接BC，作∠ABC的平分線BD，點E、F分別是射線BD與邊BC上的兩個動點，連接CE、EF，當(dāng)m＝3時，試求CE+EF的最小值． 解：（1）如圖1，過B點作BH⊥y軸于點H， ∴∠BHA＝90°，∠ABH+∠BAH＝90°， ∴∠BHA＝∠AOC＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAH+∠CAO＝90°， ∴∠ABH＝∠CAO， ∵點A（0，2），B（﹣2，m）， ∴AO＝BH＝2，OH＝m， ∵AO＝BH，∠ABH＝∠CAO，∠BHA＝∠AOC＝90°， ∴△BHA≌△AOC（ASA） ∴CO＝AH＝OH﹣AO＝m﹣2， ∵m＞2，點C在x軸負(fù)半軸， ∴點C（2﹣m，0）； （2）如圖2，過B點作BK⊥y軸于點K，則∠AKB＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAK+∠CAK＝90°，且∠BAK+∠ABK＝90°， ∴∠CAK＝∠ABK， ∵點A（0，2），B（﹣2，m）， ∴AO＝BK＝2，OH＝m， ∵AO＝BK，∠CAK＝∠ABK，∠AOC＝∠AKB＝90°， ∴△ABK≌△CAO（AAS） ∴CO＝AK＝2﹣m， ∵C點的坐標(biāo)（x，0）， ∴CO＝x＝2﹣m， ∵點B是第三象限內(nèi)的一個點， ∴m＜0， ∴2﹣m＞2， ∴x＞2； （3）如圖3，在AB上截取BN＝BF， ∵BD是∠ABC的平分線， ∴∠ABE＝∠CBE，且BE＝BE，BF＝BN， ∴△BEF≌△BEN（SAS） ∴EF＝EN， ∴CE+EF＝CE+EN， ∴當(dāng)C，E，F(xiàn)三點共線，且N與點A重合時，CE+EF有最小值， 此時最小值為AC， 由（1）可知：點C（2﹣m，0）； 且m＝3， ∴點C（﹣1，0）， ∴CO＝1， ∴AC＝＝＝， ∴CE+EF的最小值為．