類型二 平移旋轉(zhuǎn)折疊問題例1、如圖,將三角形紙片ABC沿DE折疊,使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處,且DEBC,下列結(jié)論:BDF是等腰三角形;DE=BC;四邊形ADFE是菱形;BDF+FEC=2A.其中一定正確的個數(shù)是( ).A.1 B.2 C.3 D.4【解析】如圖,分別過點(diǎn)D，E作BC的垂線DG，EH；連接AF,由于折疊是軸對稱變換知AF與DE垂直,因?yàn)镈EBC，所以AF與BC垂直,且AM=MF,可以證明點(diǎn)D，E分別是AB,AC的中點(diǎn),即DE是ABC的中位線,所以DE=BC是正確的；由于折疊是軸對稱變換知AD=DF,AE=EF,所以DA=DB=DF,所以BDF是等腰三角形是正確的；因DGAFEH,所以BDG=DAM,又因?yàn)镈G是等腰三角形BDF的高,所以BDF=2DAM,同 理 CEF = 2 EAM, 所以 BDF+FEC=2A是正確的；如圖顯然四邊形ADFE不是菱形,是錯誤的【答案】C例2、下列圖形中,是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是( ).【解析】把一個圖形沿著某一條直線折疊,如果直線兩旁的部分能互相重合,那么這個圖形是軸對稱圖形； 把一個平面圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形互相重合,那么這個圖形叫做中心對稱圖形.對照定義,可知A是軸對稱圖形,且有1條對稱軸,但不是中心對稱圖形；B是中心對稱圖形,不是軸對稱圖形；C是軸對稱圖形,有1條對稱軸,但不是中心對稱圖形；D既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形,有4條對稱軸【答案】B例3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正三角形OAB的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，將OAB沿直線OA的方向平移至OAB的位置，此時點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 .【解析】作AMx軸于點(diǎn)M.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得OA=OB=2，AOB=60°，在RtOAM中,利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出OM=1，AM=，從而求得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），直線OA的解析式為y=x,當(dāng)x=3時，y=3,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，3），所以點(diǎn)A是由點(diǎn)A向右平移2個單位，向上平移23個單位后得到的，于是得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4,2）.【答案】（4,23）例4、在RtABC中,BAC=90°,B=30°,線段AD是BC邊上的中線,如圖1,將ADC沿直線BC平移,使點(diǎn)D與點(diǎn)C重合,得到FCE,如圖2,再將FCE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為(0°90°),連接AF,DE(1)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)ACE=150°時,求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；(2)探究旋轉(zhuǎn)過程中四邊形ADEF能形成哪些特殊四邊形？請說明理由【解析】(1)由題意分析可知此問需分兩種情況討論：點(diǎn)E和點(diǎn)D在直線AC兩側(cè)；點(diǎn)E和點(diǎn)D在直線AC同側(cè)；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中,總是存在AC=CE,DC=CE.由圖形的對稱性可知,將會出現(xiàn)兩種對角線相等的特殊四邊形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),較易證明【答案】：(1)在圖1中,BAC=90°,B=30°,ACE=BAC+B=120°如圖2,當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)D在直線AC兩側(cè)時,由于ACE=150°,=150°-120°=30°.當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)D在直線AC同側(cè)時,由于ACB=180°-BAC-B=60°,DCE=ACE-ACB=150°-60°=90°.=180°-DCE=90°.旋轉(zhuǎn)角為30°或90°(2)四邊形ADEF能形成等腰梯形和矩形BAC=90°,B=30°,AC=BC又AD是BC邊上的中線,AD=DC=BC=AC.ADC為正三角形當(dāng)=60°時,如圖3,ACE=120°+60°=180°.CA=CE=CD=CF,四邊形ADEF為矩形當(dāng)60°時,ACF120°,DCE=360°-60°-60°-ACF120°顯然DEAFAC=CF,CD=CE,2FAC+ACF=2CDE+DCE=180°.ACF+DCE=360°-60°-60°=240°,FAC+CDE=60°.DAF+ADE=120°+60°=180°.AFDE又DEAF,AD=EF,四邊形ADEF為等腰梯形例5、如圖，矩形紙片ABCD，將AMP和BPQ分別沿PM和PQ折疊（APAM），點(diǎn)A和點(diǎn)B都與點(diǎn)E重合；再將CQD沿DQ折疊，點(diǎn)C落在線段EQ上的點(diǎn)F處.（1）判斷AMP，BPQ，CQD和FDM中有哪幾對相似三角形？（2）如果AM=1，sinDMF=，求AB的長.【解析】（1）由矩形的性質(zhì)得A=B=C=90°，由折疊的性質(zhì)和等角的余角相等，可得BPQ=AMP=DQC，所以AMPBPQCQD；（2）先證明MD=MQ，然后根據(jù)sinDMF=DFMD=35，設(shè)DF=3x，MD=5x，再分別表示出AP，BP，BQ，根據(jù)AMPBPQ，列出比例式解方程求解即可.解：（1）AMPBPQCQD.四邊形ABCD是矩形，A=B=C=90°.由折疊的性質(zhì)可知APM=EPM，EPQ=BPQ.APM+BPQ=EPM+EPQ=90°.APM+AMP=90°，BPQ=AMP.AMPBPQ.同理：BPQCQD.根據(jù)相似的傳遞性可得AMPCQD；（2）ADBC，DQC=MDQ.由折疊的性質(zhì)可知DQC=DQM.MDQ=DQM.MD=MQ.AM=ME，BQ=EQ，BQ=MQ-ME=MD-AM.sinDMF=，則設(shè)DF=3x，MD=5x，則BP=PA=PE=，BQ=5x-1.AMPBPQ，即，解得x=（舍去）或x=2，AB=6.例6、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正三角形OAB的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2, 0），點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，將OAB沿直線OA的方向平移至OBA的位置，此時點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）A（4，） B（3，） C（4，） D（3，） 【答案】A【解析】如圖，當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2, 0），點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1當(dāng)點(diǎn)A'的橫坐標(biāo)為3時，等邊三角形AOC的邊長為6在RtBCD中，BC4，所以DC2，BD此時B例7、 圖形的折疊：如圖，在矩形ABCD中，AD15，點(diǎn)E在邊DC上，聯(lián)結(jié)AE，ADE沿直線AE翻折后點(diǎn)D落到點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FGAD，垂足為G如果AD3GD，那么DE_【答案】 【解析】思路如下：如圖，過點(diǎn)F作AD的平行線交AB于M，交DC于N因?yàn)锳D15，當(dāng)AD3GD時，MFAG10，F(xiàn)NGD5在RtAMF中，AFAD15，MF10，所以AM設(shè)DEm，那么NE由AMFFNE，得，即解得m例8、圖形的旋轉(zhuǎn)：如圖，已知RtABC中，ABC90°，AC6，BC4，將ABC繞直角頂點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到DEC，若點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接AF，則AF= 【答案】 5【解析】思路如下：如圖，作FHAC于H由于F是ED的中點(diǎn)，所以HF是ECD的中位線，所以HF3由于AEACEC642，EH2，所以AH4所以AF5例9、三角形： 如圖，ABCDEF（點(diǎn)A、B分別與點(diǎn)D、E對應(yīng)），ABAC5，BC6ABC固定不動，DEF運(yùn)動，并滿足點(diǎn)E在BC邊從B向C移動（點(diǎn)E不與B、C重合），DE始終經(jīng)過點(diǎn)A，EF與AC邊交于點(diǎn)M，當(dāng)AEM是等腰三角形時，BE_【答案】 或1【解析】思路如下： 設(shè)BEx由ABEECM，得，即等腰三角形AEM分三種情況討論：如圖2，如果AEAM，那么AEMABC所以解得x0，此時E、B重合，舍去如圖3，當(dāng)EAEM時，解得x1如圖4，當(dāng)MAME時，MEAABC所以解得x圖2 圖3 圖4例10、四邊形：如圖，矩形ABCD中，AB8，BC4點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)G、H在對角線AC上若四邊形EGFH是菱形，則AE的長是（ ）A B C5 D6【答案】C【解析】思路如下：拖動點(diǎn)E在AB上運(yùn)動，可以體驗(yàn)到，當(dāng)EF與AC垂直時，四邊形EGFH是菱形（如圖2）如圖3，在RtABC中，AB8，BC4，所以AC由cosBAC，得所以AE5圖2 圖3例11、圓：如圖，O的半徑為2，AB，CD是互相垂直的兩條直徑，點(diǎn)P是O上任意一點(diǎn)（P與A，B，C，D不重合），過點(diǎn)P作PMAB于點(diǎn)M，PNCD于點(diǎn)N，點(diǎn)Q是MN的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿著圓周轉(zhuǎn)過45°時，點(diǎn)Q走過的路徑長為_A. B. C. D. 【答案】 A【解析】思路如下：拖動點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動一周，可以體驗(yàn)到，當(dāng)點(diǎn)P沿著圓周轉(zhuǎn)過45°時，點(diǎn)Q走過的路徑是圓心角為45°半徑為1的一段弧如圖2，四邊形PMON是矩形，對角線MN與OP互相平分且相等，因此點(diǎn)Q是OP的中點(diǎn)如圖3，當(dāng)DOP45°時，的長為圖2 圖3例12、函數(shù)圖象：如圖，直線l與半徑為4的O相切于點(diǎn)A，P是O上一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過點(diǎn)P作PBl，垂足為B，聯(lián)結(jié)PA設(shè)PAx，PBy，則(xy)的最大值是_【答案】 2【解析】思路如下：拖動點(diǎn)P在圓上運(yùn)動一周，可以體驗(yàn)到，AF的長可以表示xy，點(diǎn)F的軌跡象兩葉新樹丫，當(dāng)AF最大時，OF與AF垂直（如圖2）如圖3，AC為O的直徑，聯(lián)結(jié)PC由ACPPAB，得，即所以因此所以當(dāng)x4時，xy最大，最大值為2圖2 圖3例13、.如圖所示,在RtABC中,C=90°,BAC=60°,AB=8.半徑為的M與射線BA相切,切點(diǎn)為N,且AN=3.將RtABC順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到RtADE,點(diǎn)B,C的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D,E(1)畫出旋轉(zhuǎn)后的RtADE； (2)求出RtADE 的直角邊DE被M截得的弦PQ的長度；(3)判斷RtADE的斜邊AD所在的直線與M的位置關(guān)系,并說明理由. 【分析】(1)點(diǎn)A不動,由于BAC=60°,因此旋轉(zhuǎn)120°后AE與AB在同一條直線上；(2)過點(diǎn)M作MFDE,垂足為F.連接MP,構(gòu)造出RtMPF，再通過勾股定理解直角三角形并結(jié)合垂徑定理即可求解；(3)易猜想AD與M相切.欲證AD與M相切,只需HM=NM即可,而HM=NM可由MHAMNA得到【答案】證明：(1)如圖1，RtADE就是旋轉(zhuǎn)后的圖形； (2)如圖2,過點(diǎn)M作MFDE,垂足為F,連接MP在RtMPF中,MP=,MF=4-3=1,由勾股定理易得PF=2,再由垂徑定理知PQ=2PF=2；(3)AD與M相切證法一：如圖2,過點(diǎn)M作MHAD于H,連接MN, MA,則MNAE且MN=.在RtAMN中,tan，MAN=30°.DAE=BAC=60°,MAD=30°.MAN=MAD=30°.MH=MN(由MHAMNA或解RtAMH求得MH=3,從而得MH=MN 亦可).AD與M相切；證法二：如圖2,連接MA,ME,MD,則SADE=SAMD+SAME+SDME,過M作MHAD于H, MFDE于F, 連接MN, 則MNAE且MN=,MF=1,AC·BC=AD·MH+AE·MN+DE·MF,由此可以計算出MH=.MH=MN.AD與M相切9