類型四 拋物線形問題例1、已知平面直角坐標(biāo)系（如圖1），直線的經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn).（1）求、的值；（2）如果拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，該拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)，求的值；圖1Oxy（3）設(shè)點(diǎn)在直線上，且在第一象限內(nèi)，直線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，如果，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】：（1） （2）（3）（4,8）【解析】：（1） 直線的經(jīng)過點(diǎn)直線的經(jīng)過點(diǎn) （2）由可知點(diǎn)的坐標(biāo)為 拋物線經(jīng)過點(diǎn)、 ， 拋物線的表達(dá)式為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為, （3）過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，則軸 , 直線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為,又，,軸 即點(diǎn)的縱坐標(biāo)是又點(diǎn)在直線上點(diǎn)的坐標(biāo)為例2、如圖在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，拋物線與y軸交于點(diǎn)A，與x軸分別交于點(diǎn)B（-1，0）、點(diǎn)C（3，0），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn).（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié)AD、DC，求的面積；備用圖第2題圖（3）點(diǎn)P在直線DC上，聯(lián)結(jié)OP，若以O(shè)、P、C為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo) 【答案】（1）（1，-4）（2）3（3）或【解析】：（1） 點(diǎn)B（-1，0）、C（3，0）在拋物線上，解得 拋物線的表達(dá)式為，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，-4） （2）A（0，-3），C（3，0），D（1，-4） ， （3），CADAOB，OA=OC， ，即 若以O(shè)、P、C為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似 ，且ABC為銳角三角形 則也為銳角三角形，點(diǎn)P在第四象限由點(diǎn)C（3，0），D（1，-4）得直線CD的表達(dá)式是，設(shè)（）過P作PHOC，垂足為點(diǎn)H，則，當(dāng)時(shí),由得，解得， 當(dāng)時(shí),由得，解得， 綜上得或例3、已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)、（1）求拋物線的解析式；（2）聯(lián)結(jié)AC、BC、AB，求的正切值；（3）點(diǎn)P是該拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)P作交軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的上方，且與相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（第3題圖）yxABCO【答案】：（1）解得 （2） （3） 點(diǎn)的坐標(biāo)為或【解析】：（1）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為，將（,）、（，）、（,）代入，得 解得 所以，這個(gè)二次函數(shù)的【解析】式為（2）（,）、（，）、（,） ，（3）過點(diǎn)P作，垂足為H設(shè)，則（,），當(dāng)APG與ABC相似時(shí)，存在以下兩種可能： 則即 解得點(diǎn)的坐標(biāo)為 則即 解得點(diǎn)的坐標(biāo)為例4、已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1,0）和B（0,3），其頂點(diǎn)為D.（1）求此拋物線的表達(dá)式；（2）求ABD的面積；（3）設(shè)P為該拋物線上一點(diǎn)，且位于拋物線對稱軸右側(cè)，作PH對稱軸，垂足為H，若DPH與AOB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】：（1）拋物線的表達(dá)式為（2）1（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5,8），.【解析】：（1）由題意得：得：，所以拋物線的表達(dá)式為.（2）由（1）得D（2，1），作DTy軸于點(diǎn)T, 則ABD的面積=.（3）令P.由DPH與AOB相似，易知AOB=PHD=90°，所以或，解得：或，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5,8），.圖5例5、平面直角坐標(biāo)系xOy中（如圖8），已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（1,0）和B（3,0），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P （1）求這條拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)P的坐標(biāo)； （2）點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上，且EA=EC，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，記拋物線的對稱軸為直線MN，點(diǎn)Q在直線MN右側(cè)的拋物線上，MEQ=NEB，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)【答案】：（1）P的坐標(biāo)是（2，-1）（2）m=2（3），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5，8）【解析】：（1）二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和B（3，0），解得：， 這條拋物線的表達(dá)式是.頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，-1）（2）拋物線的對稱軸是直線，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2，m）根據(jù)題意得： ，解得：m=2，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2）（3）解法一：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，記MN與x軸相交于點(diǎn)F作QDMN，垂足為D， 則，,QDE=BFE=90°，QED=BEF，QDEBFE，解得（不合題意，舍去），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5，8）解法二：記MN與x軸相交于點(diǎn)F聯(lián)結(jié)AE，延長AE交拋物線于點(diǎn)Q，AE=BE， EFAB，AEF=NEB，又AEF=MEQ，QEM=NEB，點(diǎn)Q是所求的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，作QHx軸，垂足為H，則QH=，OH=t，AH=t-1，EFx軸，EF QH，解得（不合題意，舍去），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5，8）例6、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)B（8,0）和點(diǎn)C（9，）拋物線（a，c是常數(shù)，a0）經(jīng)過點(diǎn)B、C，且與x軸的另一交點(diǎn)為A對稱軸上有一點(diǎn)M ，滿足MA=MC（1） 求這條拋物線的表達(dá)式； （2） 求四邊形ABCM的面積； （3） 如果坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)D，滿足四邊形ABCD是等腰梯形，xBC第6題圖Oy·且AD/BC，求點(diǎn)D的坐標(biāo) 【答案】：（1）拋物線的表達(dá)式： （2）3（3） 點(diǎn)D的坐標(biāo)【解析】：（1）由題意得：拋物線對稱軸，即點(diǎn)B（8,0）關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A（0,0）， 將C（9，-3）代入，得拋物線的表達(dá)式： （2）點(diǎn)M在對稱軸上，可設(shè)M（4，y）又MA=MC，即 , 解得y=-3, M（4，-3）yMC/AB且MCAB, 四邊形ABCM為梯形，, AB=8,MC=5,AB邊上的高h(yuǎn) = yM = 3 xO(3) 將點(diǎn)B（8,0）和點(diǎn)C（9，3）代入 可得MACB，解得由題意得，AD/BC, ，又AD過（0,0），DC=AB=8，設(shè)D(x,-3x) ,解得(不合題意，舍去)， 點(diǎn)D的坐標(biāo)ABOCxy（第7題圖）D例7、如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸相交于點(diǎn)C（0，3）（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求證：DAB=ACB；（3）點(diǎn)Q在拋物線上，且ADQ是以AD為底的等腰三角形，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)D（1，4）（2）（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)是，【解析】：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入中，得，解得拋物線的解析式是：頂點(diǎn)坐標(biāo)D（1，4）（2）令，則，A（3，0），CAO=OCA在中，；，是直角三角形且，又DAC和OCB都是銳角，DAC=OCB，即（3）令，且滿足，,0)，4）是以AD為底的等腰三角形，即， 化簡得：由，解得，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是，例8、如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別相交于點(diǎn)、，并與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)是點(diǎn)（1）求和的值；（2）點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，且以點(diǎn)、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)；圖8xy11O（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)：它關(guān)于直線的對稱點(diǎn)恰好在軸上如果存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，試說明理由 【答案】：（1）b=1（2）點(diǎn)有兩個(gè)，其坐標(biāo)分別是和 （3）點(diǎn)的坐標(biāo)是或【解析】：（1） 由直線經(jīng)過點(diǎn)，可得.由拋物線的對稱軸是直線，可得.（2） 直線與軸、軸分別相交于點(diǎn)、，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是.拋物線的頂點(diǎn)是點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是.點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是.BCG與BCD相似，又由題意知，BCG與相似有兩種可能情況：如果，那么，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)是.如果，那么，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)是.綜上所述，符合要求的點(diǎn)有兩個(gè)，其坐標(biāo)分別是和 （3）點(diǎn)的坐標(biāo)是或.例9、已知：如圖9，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的圖像與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)C在直線上，將拋物線沿射線AC的方向平移，當(dāng)頂點(diǎn)C恰好落在y軸上的點(diǎn)D處時(shí)，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處（1）求這個(gè)拋物線的【解析】式；（2）求平移過程中線段BC所掃過的面積； （3）已知點(diǎn)F在x軸上，點(diǎn)G在坐標(biāo)平面內(nèi)，且以點(diǎn)C、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)備用圖圖9 【答案】：（1）拋物線的解析式為 （2）12（3）有，），【解析】：（1）頂點(diǎn)C在直線上，將A（3，0）代入，得，解得，拋物線的解析式為（2）過點(diǎn)C作CMx軸，CNy軸，垂足分別為M、N =，C（2，），MAC=45°，ODA=45°，拋物線與y軸交于點(diǎn)B，B（0，），拋物線在平移的過程中，線段BC所掃過的面積為平行四邊形BCDE的面積，（3）聯(lián)結(jié)CE.四邊形是平行四邊形，點(diǎn)是對角線與的交點(diǎn)，即 .（i）當(dāng)CE為矩形的一邊時(shí)，過點(diǎn)C作，交軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，在中，即 ，解得 ，點(diǎn)同理，得點(diǎn)（ii）當(dāng)CE為矩形的對角線時(shí)，以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧分別交軸于點(diǎn)、，可得 ，得點(diǎn)、綜上所述：滿足條件的點(diǎn)有，），例10、如圖，已知拋物線y=ax2+bx的頂點(diǎn)為C（1，），P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線OP交該拋物線對稱軸于點(diǎn)B，直線CP交x軸于點(diǎn)A（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）如果點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，試用m的代數(shù)式表示線段BC的長；（3）如果ABP的面積等于ABC的面積，求點(diǎn)P坐標(biāo)(第10題圖)yPOxCBA【答案】：（1）拋物線的表達(dá)式為：y=x2-2x（2） BC= m-2+1=m-1（3）P的坐標(biāo)為（）(第10題圖)yPOxCBA【解析】：（1）拋物線y=ax2+bx的頂點(diǎn)為C（1，） 解得： 拋物線的表達(dá)式為：y=x2-2x；（2）點(diǎn)P 的橫坐標(biāo)為m，P 的縱坐標(biāo)為：m2-2m令BC與x軸交點(diǎn)為M，過點(diǎn)P作PNx軸，垂足為點(diǎn)NP是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，PN= m2-2m，ON=m，O M=1由得 BM=m-2 點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，）， BC= m-2+1=m-1（3）令P(t，t2-2t) ABP的面積等于ABC的面積AC=AP過點(diǎn)P作PQBC交BC于點(diǎn)QCM=MQ=1t2-2t=1 （舍去） P的坐標(biāo)為（）15