專題16 一次函數(shù)綜合題考點(diǎn)分析【例1】（2019·浙江中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)B，C，正方形AOCD的頂點(diǎn)D在第二象限內(nèi)，E是BC中點(diǎn)，OFDE于點(diǎn)F，連結(jié)OE動(dòng)點(diǎn)P在AO上從點(diǎn)A向終點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q在直線BC上從某點(diǎn)Q1向終點(diǎn)Q2勻速運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和OE的長；（2）設(shè)點(diǎn)Q2為(m，n)，當(dāng)tanEOF時(shí)，求點(diǎn)Q2的坐標(biāo)；（3）根據(jù)（2）的條件，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AO中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q恰好與點(diǎn)C重合延長AD交直線BC于點(diǎn)Q3，當(dāng)點(diǎn)Q在線段Q2Q3上時(shí)，設(shè)Q3Qs，APt，求s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式當(dāng)PQ與OEF的一邊平行時(shí)，求所有滿足條件的AP的長【答案】（1）（8，0），；（2）（6，1）；（3），的長為或.【解析】解：（1）令，則，為.為，在中，.又為中點(diǎn)，.（2）如圖，作于點(diǎn)，則，.，由勾股定理得，.，為.（3）動(dòng)點(diǎn)同時(shí)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，關(guān)于成一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)，將和代入得，解得，.（）當(dāng)時(shí)，（如圖），作軸于點(diǎn)，則.，又，.（）當(dāng)時(shí)（如圖），過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由得.,，.，.（）由圖形可知不可能與平行.綜上所述，當(dāng)與的一邊平行時(shí)，的長為或.【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)的綜合題，主要考查了：用待定系數(shù)法求一次函數(shù)關(guān)系式，三角形相似的性質(zhì)和判定，三角函數(shù)的定義，勾股定理，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，并注意運(yùn)用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想解決問題【例2】（2019·射陽縣）如圖，已知函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，與函數(shù)yx的圖象交于點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2在x軸上有一點(diǎn)P (a，0)（其中a>2），過點(diǎn)P作x軸的垂線，分別交函數(shù)和yx的圖象于點(diǎn)C，D（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）若OBCD，求a的值【答案】（1）(6，0)；（2）4.【解析】解：（1）點(diǎn)M在直線y=x的圖象上，且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，2），把M（2，2）代入y=x+b得1+b=2，解得b=3，一次函數(shù)的解析式為y=x+3，把y=0代入y=x+3得x+3=0，解得x=6，A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）；（2）把x=0代入y=x+3得y=3，B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），CD=OB，CD=3，PCx軸，C點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a+3），D點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a）a（a+3）=3，a=4考點(diǎn)集訓(xùn)1（2019·重慶中考真題）函數(shù)圖象在探索函數(shù)的性質(zhì)中有非常重要的作用，下面我們就一類特殊的函數(shù)展開探索畫函數(shù)的圖象，經(jīng)歷分析解析式、列表、描點(diǎn)、連線過程得到函數(shù)圖象如圖所示；經(jīng)歷同樣的過程畫函數(shù)和的圖象如圖所示x3210123y6420246（1）觀察發(fā)現(xiàn)：三個(gè)函數(shù)的圖象都是由兩條射線組成的軸對稱圖形；三個(gè)函數(shù)解折式中絕對值前面的系數(shù)相同，則圖象的開口方向和形狀完全相同，只有最高點(diǎn)和對稱軸發(fā)生了變化寫出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)和函數(shù)的對稱軸（2）探索思考：平移函數(shù)的圖象可以得到函數(shù)和的圖象，分別寫出平移的方向和距離（3）拓展應(yīng)用：在所給的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象若點(diǎn)和在該函數(shù)圖象上，且，比較，的大小【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.【解析】解：（1），函數(shù)的對稱軸為；（2）將函數(shù)的圖象向上平移2個(gè)單位得到函數(shù)的圖象；將函數(shù)的圖象向左平移2個(gè)單位得到函數(shù)的圖象；（3）將函數(shù)的圖象向上平移1個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位得到函數(shù)的圖象所畫圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與幾何變換，一次函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵2（2019·江蘇省無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），且，若P，Q為某個(gè)矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直，則稱該矩形為點(diǎn)P，Q的“相關(guān)矩形”下圖為點(diǎn)P，Q 的“相關(guān)矩形”的示意圖（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）求點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的面積；點(diǎn)C在直線x=3上，若點(diǎn)A，C的“相關(guān)矩形”為正方形，求直線AC的表達(dá)式；（2）O的半徑為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，3）若在O上存在一點(diǎn)N，使得點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，求m的取值范圍【答案】（1）2；或；（2）1m5 或者【解析】（1）S=2×1=2；C的坐標(biāo)可以為（3，2）或者（3，-2），設(shè)AC的表達(dá)式為y=kx+b，將A、C分別代入AC的表達(dá)式得到：或，解得：或，則直線AC的表達(dá)式為或；（2）若O上存在點(diǎn)N，使MN的相關(guān)矩形為正方形，則直線MN的斜率k=±1，即過M點(diǎn)作k=±1的直線，與O有交點(diǎn)，即存在N，當(dāng)k=1時(shí)，極限位置是直線與O相切，如圖與，直線與O切于點(diǎn)N，ON=，ONM=90°，與y交于（0，-2）（，3），=-5，（-5，3）；同理可得（-1，3）；當(dāng)k=1時(shí)，極限位置是直線與（與O相切），可得（1，3），（5，3）因此m的取值范圍為1m5或者考點(diǎn)：一次函數(shù)，函數(shù)圖象，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力3（2019·山東省濟(jì)南匯才學(xué)校初三期中）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)A（，0）的兩條直線分別交y軸于B、C兩點(diǎn)，且B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是一元二次方程x22x3=0的兩個(gè)根（1）求線段BC的長度；（2）試問：直線AC與直線AB是否垂直？請說明理由；（3）若點(diǎn)D在直線AC上，且DB=DC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（4）在（3）的條件下，直線BD上是否存在點(diǎn)P，使以A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】（1）4；（2）ACAB，理由見解析；（3）D（2，1）；（4）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0），（，2），（3，3），（3，3+）【解析】（1）x22x3=0，x=3或x=1，B（0，3），C（0，1），BC=4；（2）A（，0），B（0，3），C（0，1），OA=，OB=3，OC=1，OA2=OBOC，AOC=BOA=90°，AOCBOA，CAO=ABO，CAO+BAO=ABO+BAO=90°，BAC=90°，ACAB；（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，把A（，0）和C（0，1）代入y=kx+b，解得：，直線AC的解析式為：y=x1，DB=DC，點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上，D的縱坐標(biāo)為1，把y=1代入y=x1，x=2，D的坐標(biāo)為（2，1），（4）設(shè)直線BD的解析式為：y=mx+n，直線BD與x軸交于點(diǎn)E，把B（0，3）和D（2，1）代入y=mx+n，解得，直線BD的解析式為：y=x+3，令y=0代入y=x+3，x=3，E（3，0），OE=3，tanBEC=，BEO=30°，同理可求得：ABO=30°，ABE=30°，當(dāng)PA=AB時(shí)，如圖1，此時(shí)，BEA=ABE=30°，EA=AB，P與E重合，P的坐標(biāo)為（3，0），當(dāng)PA=PB時(shí)，如圖2，此時(shí)，PAB=PBA=30°，ABE=ABO=30°，PAB=ABO，PABC，PAO=90°，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，令x=代入y=x+3，y=2，P（，2），當(dāng)PB=AB時(shí)，如圖3，由勾股定理可求得：AB=2，EB=6，若點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，記此時(shí)點(diǎn)P為P1，過點(diǎn)P1作P1Fx軸于點(diǎn)F，P1B=AB=2，EP1=62，sinBEO=，F(xiàn)P1=3，令y=3代入y=x+3，x=3，P1（3，3），若點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時(shí)，記此時(shí)點(diǎn)P為P2，過點(diǎn)P2作P2Gx軸于點(diǎn)G，P2B=AB=2，EP2=6+2，sinBEO=，GP2=3+，令y=3+代入y=x+3，x=3，P2（3，3+），綜上所述，當(dāng)A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0），（，2），（3，3），（3，3+）考點(diǎn)：一次函數(shù)和三角形的綜合題.4（2019·內(nèi)蒙古初三）小明在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，對一個(gè)數(shù)學(xué)問題作如下探究：問題情境：如圖1，四邊形ABCD中，ADBC，點(diǎn)E為DC邊的中點(diǎn)，連結(jié)AE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F求證：S四邊形ABCDSABF（S表示面積）問題遷移：如圖2，在已知銳角AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P過點(diǎn)P任意作一條直線MN，分別交射線OA、OB于點(diǎn)M、N小明將直線MN繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)，MON的面積存在最小值請問當(dāng)直線MN在什么位置時(shí)，MON的面積最小，并說明理由實(shí)際應(yīng)用：如圖3，若在道路OA、OB之間有一村莊Q發(fā)生疫情，防疫部分計(jì)劃以公路OA、OB和經(jīng)過防疫站的一條直線MN為隔離線，建立一個(gè)面積最小的三角形隔離區(qū)MON若測得AOB66º，POB30º，OP4km，試求MON的面積（結(jié)果精確到0.1km2）（參考數(shù)據(jù)：sin66º0.91，tan66º2.25，1.73）拓展延伸：如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、P的坐標(biāo)分別為（6，0）、（6，3）、（4，2），過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC一組對邊相交，將四邊形OABC分成兩個(gè)四邊形，求其中以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的四邊形的面積的最大值【答案】問題情境：見解析問題遷移：見解析實(shí)際運(yùn)用：。拓展延伸：截得四邊形面積的最大值為10【解析】問題情境：證明：ADBC，DAE=F，D=FCE。點(diǎn)E為DC邊的中點(diǎn)，DE=CE。在ADE和FCE中，ADEFCE（AAS）。SADE=SFCE。S四邊形ABCE+SADE=S四邊形ABCE+SFCE，即S四邊形ABCD=SABF。問題遷移：當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí)SMON最小，理由如下：如圖2，過點(diǎn)P的另一條直線EF交OA、OB于點(diǎn)E、F，設(shè)PFPE，過點(diǎn)M作MGOB交EF于G，由問題情境可以得出當(dāng)P是MN的中點(diǎn)時(shí)S四邊形MOFG=SMON。S四邊形MOFGSEOF，SMONSEOF。當(dāng)點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí)SMON最小。實(shí)際運(yùn)用：如圖3，作PP1OB，MM1OB，垂足分別為P1，M1，在RtOPP1中，POB=30°，PP1=OP=2，OP1=2。由問題遷移的結(jié)論知，當(dāng)PM=PN時(shí)，MON的面積最小，MM1=2PP1=4，M1P1=P1N。在RtOMM1中，即，。拓展延伸：如圖4，當(dāng)過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的一組對邊OC、AB分別交于點(diǎn)M、N，延長OC、AB交于點(diǎn)D，C，AOC=45°。AO=AD。A（6，0），OA=6。AD=6。由問題遷移的結(jié)論可知，當(dāng)PN=PM時(shí)，MND的面積最小，四邊形ANMO的面積最大。作PP1OA，MM1OA，垂足分別為P1，M1，M1P1=P1A=2。OM1=M1M=2，MNOA。如圖5，當(dāng)過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊CB、OA分別交M、N，延長CB交x軸于T，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，C、B（6，3），解得：。直線BC的解析式為。當(dāng)y=0時(shí)，x=9，T（9，0）。由問題遷移的結(jié)論可知，當(dāng)PM=PN時(shí)，MNT的面積最小，四邊形CMNO的面積最大。NP1=M1P1，MM1=2PP1=4。，解得x=5。M（5，4）。OM1=5。P（4，2），OP1=4。P1M1=NP1=1。ON=3。NT=6。綜上所述：截得四邊形面積的最大值為10。5（2019·貴州初三）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=x+4的圖象與x軸和y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AO上以每秒3個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)O作勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)O停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，以線段PQ為邊向上作正方形PQMN設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（1）當(dāng)t=秒時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是 ；（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)正方形PQMN與AOB重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)表達(dá)式；（3）若正方形PQMN對角線的交點(diǎn)為T，請直接寫出在運(yùn)動(dòng)過程中OT+PT的最小值【答案】（1）（4，0）；（2）當(dāng)0t1時(shí)，S =t2；當(dāng)1t時(shí)，S =t2+18t；當(dāng)t2時(shí)， S =3t2+12；（3）OT+PT的最小值為【解析】（1）令y=0，x+4=0，x=6，A（6，0），當(dāng)t=秒時(shí)，AP=3×=1，OP=OAAP=5，P（5，0），由對稱性得，Q（4，0）；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在原點(diǎn)O時(shí)，OQ=6，AP=OQ=3，t=3÷3=1，當(dāng)0t1時(shí)，如圖1，令x=0，y=4，B（0，4），OB=4，A（6，0），OA=6，在RtAOB中，tanOAB=，由運(yùn)動(dòng)知，AP=3t，P（63t，0），Q（66t，0），PQ=AP=3t，四邊形PQMN是正方形，MNOA，PN=PQ=3t，在RtAPD中，tanOAB=，PD=2t，DN=t，MNOADCN=OAB，tanDCN=，CN=t，S=S正方形PQMNSCDN=（3t）2t×t=t2；當(dāng)1t時(shí)，如圖2，同的方法得，DN=t，CN=t，S=S矩形OENPSCDN=3t×（63t）t×t=t2+18t；當(dāng)t2時(shí)，如圖3，S=S梯形OBDP=（2t+4）（63t）=3t2+12；（3）如圖4，由運(yùn)動(dòng)知，P（6-3t，0），Q（6-6t，0），M（6-6t，3t），T是正方形PQMN的對角線交點(diǎn)，T（6-），點(diǎn)T是直線y=-x+2上的一段線段，（-3x6），同理：點(diǎn)N是直線AG：y=-x+6上的一段線段，（0x6），G（0，6），OG=6，A（6，0），AG=6，在RtABG中，OA=6=OG，OAG=45°，PNx軸，APN=90°，ANP=45°，TNA=90°，即：TNAG，T正方形PQMN的對角線的交點(diǎn)，TN=TP，OT+TP=OT+TN，點(diǎn)O，T，N在同一條直線上（點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合時(shí)），且ONAG時(shí)，OT+TN最小，即：OT+TN最小，SOAG=OA×OG=AG×ON，ON=即：OT+PT的最小值為3【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了正方形的面積，梯形，三角形的面積公式，正方形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，用分類討論的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵，找出點(diǎn)T的位置是解本題（3）的難點(diǎn)6（2019·武漢市第八中學(xué)初三期中）如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A，C兩點(diǎn)，分別過A，C兩點(diǎn)作x軸，y軸的垂線相交于B點(diǎn)，且OA，OC（OAOC）的長分別是一元二次方程x214x+48=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求直線MN的解析式；（3）在直線MN上存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】（1）C（0，6）（2）y=x+6（3）P1（4，3），P2（）P3（），P4（）【解析】（1）解方程x2-14x+48=0得x1=6，x2=8OA，OC（OAOC）的長分別是一元二次方程x2-14x+48=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根OC=6，OA=8C（0，6）（2）設(shè)直線MN的解析式是y=kx+b（k0）由（1）知，OA=8，則A（8，0）點(diǎn)A、C都在直線MN上解得，直線MN的解析式為y=-x+6（3）A（8，0），C（0，6）根據(jù)題意知B（8，6）點(diǎn)P在直線MN y=-x+6上設(shè)P（a，-a+6）當(dāng)以點(diǎn)P，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，需要分類討論：當(dāng)PC=PB時(shí)，點(diǎn)P是線段BC的中垂線與直線MN的交點(diǎn)，則P1（4，3）；當(dāng)PC=BC時(shí)，a2+（-a+6-6）2=64解得，a=±，則P2（-，），P3（，）當(dāng)PB=BC時(shí)，（a-8）2+（-a+6-6）2=64解得，a=，則-a+6=-P4（，）綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有：P1（4，3），P2(-，)，P3(，)，P4（，-）考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題7（2019·遼寧中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線ykx+4（k0）交x軸于點(diǎn)A（8，0），交y軸于點(diǎn)B，（1）k的值是 ；（2）點(diǎn)C是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別在x軸和y軸上如圖，點(diǎn)E為線段OB的中點(diǎn)，且四邊形OCED是平行四邊形時(shí)，求OCED的周長；當(dāng)CE平行于x軸，CD平行于y軸時(shí)，連接DE，若CDE的面積為，請直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)【答案】（1）；（2）OCED的周長8+4；C的坐標(biāo)為（3，）或（11，）【解析】（1）將A（8，0）代入ykx+4，得：08k+4，解得：k故答案為（2）由（1）可知直線AB的解析式為yx+4當(dāng)x0時(shí)，yx+44，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），OB4點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)，BEOEOB2點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），OA8四邊形OCED是平行四邊形，CEDA，BCAC，CE是ABO的中位線，CEOA4四邊形OCED是平行四邊形，ODCE4，OCDE在RtDOE中，DOE90°，OD4，OE2，DE，C平行四邊形OCED2（OD+DE）2（4+2）8+4設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，+4），則CE|x|，CD|x+4|，SCDECDCE|x2+2x|，x2+8x+330或x2+8x330方程x2+8x+330無解；解方程x2+8x330，得：x13，x211，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，）或（11，）【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的周長、三角形的面積、解一元二次方程以及三角形的中位線，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出k值；（2）利用勾股定理及三角形中位線的性質(zhì)，求出CE，DE的長；利用三角形的面積公式結(jié)合CDE的面積為，找出關(guān)于x的方程8（2019·四川中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動(dòng)點(diǎn)在的圖像上運(yùn)動(dòng)（不與重合），連接，過點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，連接（1）求線段長度的取值范圍；（2）試問：點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，是否問定值？如果是，求出該值；如果不是，請說明理由（3）當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】（1）；（2）為定值，=30°；（3）， ，【解析】解：（1）作，則點(diǎn)在的圖像上，（2）當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，由，可得、四點(diǎn)共圓，當(dāng)點(diǎn)在第一象的線段上時(shí)，由，可得、四點(diǎn)共圓，又此時(shí)當(dāng)點(diǎn)在第一象限的線段的延長線上時(shí)，由，可得，、四點(diǎn)共圓，（3）設(shè)，則：，：，當(dāng)時(shí)，則整理得： 解得：， 當(dāng)時(shí)，則整理得： 解得：或當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與重合，舍去，當(dāng)時(shí)，則整理得：解得：【點(diǎn)睛】本題為一次函數(shù)綜合題，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角函數(shù)、等腰三角形判定和性質(zhì)以及圓的相關(guān)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，其中（2）（3），要注意分類求解，避免遺漏9（2019·浙江中考模擬）如圖，RtOAB的直角邊OA在x軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，8），直線CD交AB于點(diǎn)D（6，3），交x軸于點(diǎn)C（12，0）（1）求直線CD的函數(shù)表達(dá)式；（2）動(dòng)點(diǎn)P在x軸上從點(diǎn)（10，0）出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作直線l垂直于x軸，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某個(gè)位置，使得PDA=B？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；請?zhí)剿鳟?dāng)t為何值時(shí)，在直線l上存在點(diǎn)M，在直線CD上存在點(diǎn)Q，使得以O(shè)B為一邊，O，B，M，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，并求出此時(shí)t的值【答案】（1）直線CD的解析式為y=x+6；（2）滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（，0）或（，0）滿足條件的t的值為或【解析】（1）設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，則有，解得，直線CD的解析式為y=x+6（2）如圖1中，作DPOB，則PDA=BDPOB，OP=6，P（，0），根據(jù)對稱性可知，當(dāng)AP=AP時(shí)，P（，0），滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（，0）或（，0）如圖2中，當(dāng)OP=OB=10時(shí)，作PQOB交CD于Q直線OB的解析式為y=x，直線PQ的解析式為y=x+，由，解得，Q（4，8），PQ=10，PQ=OBPQOB，四邊形OBQP是平行四邊形OB=OP，四邊形OBQP是菱形，此時(shí)點(diǎn)M與的Q重合，滿足條件，t=0如圖3中，當(dāng)OQ=OB時(shí)，設(shè)Q（m，m+6），則有m2+（m+6）2=102，解得m=，點(diǎn)Q 的橫坐標(biāo)為或，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為a，則有：或，a=或，滿足條件的t的值為或點(diǎn)睛：本題考查了一次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、菱形的判定、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)由分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組確定兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)10（2013·山東中考真題）如圖，直線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，與直線交于點(diǎn)C在線段OA上，動(dòng)點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)O做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P、Q其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)分別過點(diǎn)P、Q作x軸的垂線，交直線AB、OC于點(diǎn)E、F，連接EF若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，在運(yùn)動(dòng)過程中四邊形PEFQ總為矩形（點(diǎn)P、Q重合除外）（1）求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是多少？（2）當(dāng)t為多少秒時(shí)，矩形PEFQ為正方形？（3）當(dāng)t為多少秒時(shí)，矩形PEFQ的面積S最大？并求出最大值 【答案】（1）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是每秒2個(gè)單位長度；（2）2秒或4秒；（3）當(dāng)t=4時(shí)，S的最大值為：16.【解析】解：（1）直線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，x=0時(shí)，y=4；y=0時(shí)，x=8BO=4，AO=8.當(dāng)t秒時(shí)，QO=FQ=t，則EP=t，EPBO，ABOAEP.，即.AP=2t動(dòng)點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是每秒2個(gè)單位長度.（2）當(dāng)OP=OQ時(shí)，PE與QF重合，此時(shí)t=，當(dāng)點(diǎn)P、Q其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，分0t和t4兩種情況討論：如圖1，當(dāng)0t,即點(diǎn)P在點(diǎn)Q右側(cè)時(shí)，若PQ=PE，矩形PEFQ為正方形， OQ=FQ=t，PA=2t，QP=8t2t=83t.83t=t.解得：t=2如圖2，當(dāng)t4，即點(diǎn)P在點(diǎn)Q左側(cè)時(shí)，若PQ=PE，矩形PEFQ為正方形，OQ=t，PA=2tOP=82t解得：t=4.當(dāng)t為2秒或4秒時(shí)，矩形PEFQ為正方形.（3）同（2）分0t和t4兩種情況討論：如圖1，當(dāng)0t時(shí)，Q在P點(diǎn)的左邊OQ=t，PA=2t，QP=8t2t=83t，當(dāng)t=時(shí)，S的最大值為，如圖2，當(dāng)t4時(shí)，Q在P點(diǎn)的右邊，OQ=t，PA=2t，.當(dāng)t4時(shí)，S隨t的增大而增大，t=4時(shí)，S的最大值為：3×428×4=16.綜上所述，當(dāng)t=4時(shí)，S的最大值為：16.【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的綜合，相似三角形性質(zhì)，二次函數(shù)最值.能根據(jù)題意表示相關(guān)線段的長度是解決此題的關(guān)鍵.11（2019·浙江中考真題）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于任意兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，那么稱點(diǎn)是點(diǎn)，的融合點(diǎn).例如：，當(dāng)點(diǎn)滿是，時(shí)，則點(diǎn)是點(diǎn)，的融合點(diǎn)，（1）已知點(diǎn)，請說明其中一個(gè)點(diǎn)是另外兩個(gè)點(diǎn)的融合點(diǎn).（2）如圖，點(diǎn)，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)，的融合點(diǎn).試確定與的關(guān)系式.若直線交軸于點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）點(diǎn)是點(diǎn)，的融合點(diǎn)；（2），符合題意的點(diǎn)為， .【解析】（1）解：， 點(diǎn)是點(diǎn)，的融合點(diǎn)（2）解：由融合點(diǎn)定義知，得又，得 ，化簡得要使為直角三角形，可分三種情況討論：（i）當(dāng)時(shí)，如圖1所示，設(shè)，則點(diǎn)為由點(diǎn)是點(diǎn)，的融合點(diǎn)，可得或，解得，點(diǎn)（ii）當(dāng)時(shí)，如圖2所示，則點(diǎn)為由點(diǎn)是點(diǎn)，的融合點(diǎn)，可得點(diǎn)（iii）當(dāng)時(shí)，該情況不存在綜上所述，符合題意的點(diǎn)為，【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合運(yùn)用題，涉及到勾股定理得運(yùn)用，此類新定義題目，通常按照題設(shè)順序，逐次求解12（2019·北京中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：與直線，直線分別交于點(diǎn)A，B，直線與直線交于點(diǎn)（1）求直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)記線段圍成的區(qū)域（不含邊界）為當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，求區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)；若區(qū)域內(nèi)沒有整點(diǎn)，直接寫出的取值范圍【答案】（1）直線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）；（2）整點(diǎn)有（0，-1），（0,0），（1，-1），（1,0），（1,1），（1,2）共6個(gè)點(diǎn)，-1k0或k=-2.【解析】解：（1）令x=0，y=1，直線l與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（0，1）；（2）由題意，A（k，k2+1），B，C（k，-k），當(dāng)k=2時(shí)，A（2，5），B，C（2，-2），在W區(qū)域內(nèi)有6個(gè)整數(shù)點(diǎn)：（0，0），（0，-1），（1，0），（1，-1），（1，1），（1，2）；直線AB的解析式為y=kx+1，當(dāng)x=k+1時(shí)，y=-k+1，則有k2+2k=0，k=-2，當(dāng)0k-1時(shí)，W內(nèi)沒有整數(shù)點(diǎn)，當(dāng)0k-1或k=-2時(shí)W內(nèi)沒有整數(shù)點(diǎn)；【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征；能夠數(shù)形結(jié)合解題，根據(jù)k變化分析W區(qū)域內(nèi)整數(shù)點(diǎn)的情況是解題的關(guān)鍵