類型六 二次函數(shù)與三角形相似問(wèn)題例1、如圖1，已知拋物線的頂點(diǎn)為A（2，1），且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B。求拋物線的解析式；（用頂點(diǎn)式求得拋物線的解析式為）若點(diǎn)C在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)D在拋物線上，且以O(shè)、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；連接OA、AB，如圖2，在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得OBP與OAB相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。例1題圖圖1圖2【答案】解:由題意可設(shè)拋物線的解析式為拋物線過(guò)原點(diǎn)，.圖1拋物線的解析式為,即 如圖1,當(dāng)OB為邊即四邊形OCDB是平行四邊形時(shí),CDOB,由得,B(4,0),OB4.D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6 將x6代入,得y3,D(6,3); 根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知,在對(duì)稱軸的左側(cè)拋物線上存在點(diǎn)D,使得四邊形ODCB是平行四邊形,此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3), 當(dāng)OB為對(duì)角線即四邊形OCBD是平行四邊形時(shí),D點(diǎn)即為A點(diǎn),此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)如圖2，由拋物線的對(duì)稱性可知:AOAB,AOBABO.若BOP與AOB相似,必須有POBBOABPO 圖2設(shè)OP交拋物線的對(duì)稱軸于A點(diǎn),顯然A(2,1)直線OP的解析式為 由,得.P(6,3)過(guò)P作PEx軸,在RtBEP中,BE2,PE3,PB4.PBOB,BOPBPO,PBO與BAO不相似, 同理可說(shuō)明在對(duì)稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點(diǎn).所以在該拋物線上不存在點(diǎn)P,使得BOP與AOB相似. 例2、已知拋物線經(jīng)過(guò)及原點(diǎn)（1）求拋物線的解析式（由一般式得拋物線的解析式為）（2）過(guò)點(diǎn)作平行于軸的直線交軸于點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)且位于直線下方的拋物線上，任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線平行于軸交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，直線與直線及兩坐標(biāo)軸圍成矩形是否存在點(diǎn)，使得與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由（3）如果符合（2）中的點(diǎn)在軸的上方，連結(jié)，矩形內(nèi)的四個(gè)三角形之間存在怎樣的關(guān)系？為什么？【答案】解：（1）由已知可得： 解之得，因而得，拋物線的解析式為：（2）存在設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，要使，則有，即解之得，當(dāng)時(shí)，即為點(diǎn)，所以得要使，則有，即解之得，當(dāng)時(shí)，即為點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，所以得故存在兩個(gè)點(diǎn)使得與相似點(diǎn)的坐標(biāo)為（3）在中，因?yàn)樗援?dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，所以因此，都是直角三角形又在中，因?yàn)樗约从兴裕忠驗(yàn)?，所以?、如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，將邊BC折疊，使點(diǎn)B落在邊OA的點(diǎn)D處。已知折疊，且。（1）判斷與是否相似？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）求直線CE與x軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）是否存在過(guò)點(diǎn)D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請(qǐng)直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。OxyCBE【答案】解：（1）與相似。Oxy圖1CBED312A理由如下：由折疊知，又，。（2），設(shè)AE=3t，則AD=4t。圖2OxyCBEDPMGlNAF由勾股定理得DE=5t。由（1），得，。在中，解得t=1。OC=8，AE=3，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（10，3），設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b，解得，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（16，0）。（3）滿足條件的直線l有2條：y=2x+12，y=2x12。如圖2：準(zhǔn)確畫出兩條直線。例4、在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且過(guò)點(diǎn)和（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（由一般式得拋物線的解析式為）（2）若直線與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），則是否存在這樣的直線，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)是位于該二次函數(shù)對(duì)稱軸右邊圖象上不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，試比較銳角與的大?。ú槐刈C明），并寫出此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍yCxBAO【答案】解：（1）二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且過(guò)點(diǎn)和，由解得此二次函數(shù)的表達(dá)式為（2）假設(shè)存在直線與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似在中，令，則由，解得令，得設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為yxBEAOCD要使或，已有，則只需，或成立若是，則有而在中，由勾股定理，得解得（負(fù)值舍去）點(diǎn)的坐標(biāo)為將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，求得滿足條件的直線的函數(shù)表達(dá)式為或求出直線的函數(shù)表達(dá)式為，則與直線平行的直線的函數(shù)表達(dá)式為此時(shí)易知，再求出直線的函數(shù)表達(dá)式為聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)為若是，則有而在中，由勾股定理，得解得（負(fù)值舍去）點(diǎn)的坐標(biāo)為將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，求得滿足條件的直線的函數(shù)表達(dá)式為存在直線或與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似，且點(diǎn)的坐標(biāo)分別為或（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，求得此直線的函數(shù)表達(dá)式為設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，并代入，得解得（不合題意，舍去）xBEAOCP·點(diǎn)的坐標(biāo)為此時(shí)，銳角又二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，銳角；當(dāng)時(shí)，銳角；當(dāng)時(shí)，銳角例5 、如圖所示，已知拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)（2）過(guò)點(diǎn)A作APCB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過(guò)M作MG軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由CBAPy【答案】圖1CPByA解：（1）令，得 解得令，得 A B C （2）OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=APCB， PAB=過(guò)點(diǎn)P作PE軸于E，則APE為等腰直角三角形令OE=，則PE= P點(diǎn)P在拋物線上 解得，（不合題意，舍去）PE=四邊形ACBP的面積=ABOC+ABPE=(3) 假設(shè)存在PAB=BAC = PAACMG軸于點(diǎn)G， MGA=PAC =在RtAOC中，OA=OC= AC=在RtPAE中，AE=PE= AP= 設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則M 點(diǎn)M在軸左側(cè)時(shí)，則GM圖2CByPA() 當(dāng)AMG PCA時(shí)，有=AG=，MG=即 解得（舍去） （舍去）() 當(dāng)MAG PCA時(shí)有=即 解得：（舍去） GM圖3CByPAM 點(diǎn)M在軸右側(cè)時(shí)，則 () 當(dāng)AMG PCA時(shí)有=AG=，MG= 解得（舍去） M () 當(dāng)MAGPCA時(shí)有= 即 解得：（舍去） M存在點(diǎn)M，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似M點(diǎn)的坐標(biāo)為，例6、已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是直角三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，（1）求過(guò)點(diǎn)的直線的函數(shù)表達(dá)式；點(diǎn)，（2）在軸上找一點(diǎn)，連接，使得與相似（不包括全等），并求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，如分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，連接，設(shè)，問(wèn)是否存在這樣的使得與相似，如存在，請(qǐng)求出的值；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由ACOBxy【答案】解：（1）點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的函數(shù)表達(dá)式為，由 得，圖1直線的函數(shù)表達(dá)式為（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，在和中， ，點(diǎn)為所求又，（3）這樣的存在在中，由勾股定理得如圖1，當(dāng)時(shí)，圖2則，解得如圖2，當(dāng)時(shí)，則，解得11