類型二 新運(yùn)算型1定義一種運(yùn)算例1規(guī)定一種新的運(yùn)算：，則 【解答】解：把代入式子計算即可：2定義一個規(guī)則例2為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文密文（加密）；接收方由密文明文（解密）.已知加密規(guī)則為：明文對應(yīng)密文， .例如：明文1，2，3，4對應(yīng)的密文5，7，18，16.當(dāng)接收方收到密文14，9，23，28時，則解密得到的明文為（ ）A4，6，1，7 B4，1，6，7 C6，4，1，7 D1，6，4，7【解答】解：根據(jù)對應(yīng)關(guān)系，可以求得；代入得；在代入得；代入得故選C3定義一種變換例3把一個圖形先沿著一條直線進(jìn)行軸對稱變換，再沿著與這條直線平行的方向平移，我們把這樣的圖形變換叫做滑動對稱變換在自然界和日常生活中，大量地存在這種圖形變換（如圖甲）結(jié)合軸對稱變換和平移變換的有關(guān)性質(zhì)，你認(rèn)為在滑動對稱變換過程中，兩個對應(yīng)三角形（如圖乙）的對應(yīng)點(diǎn)所具有的性質(zhì)是( )A對應(yīng)點(diǎn)連線與對稱軸垂直 B對應(yīng)點(diǎn)連線被對稱軸平分C對應(yīng)點(diǎn)連線被對稱軸垂直平分 D對應(yīng)點(diǎn)連線互相平行【解答】：D4定義一類數(shù)例4定義為一次函數(shù)的特征數(shù)（1）若特征數(shù)是的一次函數(shù)為正比例函數(shù)，求的值；（2）設(shè)點(diǎn)分別為拋物線與軸的交點(diǎn)，其中，且的面積為4，為原點(diǎn)，求圖象過兩點(diǎn)的一次函數(shù)的特征數(shù)【解答】解：（1）特征數(shù)為的一次函數(shù)為，（2）拋物線與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為若，則；若，則當(dāng)時，滿足題設(shè)條件此時拋物線為它與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，一次函數(shù)為或，特征數(shù)為或5定義一個函數(shù)例5設(shè)關(guān)于的一次函數(shù)與，則稱函數(shù)（其中）為此兩個函數(shù)的生成函數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)與的生成函數(shù)的值；（2）若函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為，判斷點(diǎn)P是否在此兩個函數(shù)的生成函數(shù)的圖象上，并說明理由【解答】解：（1）當(dāng)時， （2）點(diǎn)在此兩個函數(shù)的生成函數(shù)的圖象上， 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為， ， 當(dāng)時， ， 即點(diǎn)在此兩個函數(shù)的生成圖象上6定義一個公式例6閱讀材料：如圖1，過ABC的三個頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫ABC的“水平寬”(a)，中間的這條直線在ABC內(nèi)部線段的長度叫ABC的“鉛垂高(h)”.我們可得出一種計算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半BC鉛垂高水平寬h a 圖1 圖2xCOyABD11解答下列問題：如圖2，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C(1,4),交x軸于點(diǎn)A(3,0)，交y軸于點(diǎn)B.（1）求拋物線和直線AB的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個動點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到頂點(diǎn)C時，求CAB的鉛垂高CD及；（3）是否存在一點(diǎn)P，使SPAB=SCAB，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為： 把A（3,0）代入解析式求得所以設(shè)直線AB的解析式為：由求得B點(diǎn)的坐標(biāo)為 把，代入中解得：，所以（2）因?yàn)镃點(diǎn)坐標(biāo)為(,4)所以當(dāng)x時，y14，y22，所以CD4-22（平方單位）（3）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，PAB的鉛垂高為h，則由SPAB=SCAB，得：化簡得：，解得，將代入中，解得P點(diǎn)坐標(biāo)為7定義一個圖形7.1定義“點(diǎn)”例7聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念定義：到三角形的兩個頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心舉例：如圖1，若PA=PB，則點(diǎn)P為ABC的準(zhǔn)外心應(yīng)用：如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，準(zhǔn)外心P在高CD上，且PD=AB，求APB的度數(shù)探究：已知ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，準(zhǔn)外心P在AC邊上，試探究PA的長【解答】解：若PB=PC，連接PB，則PCB=PBC，CD為等邊三角形的高，AD=BD，PCB=30°，PBD=PBC=30°，PD=DB=AB，與已知PD=AB矛盾，PBPC，若PA=PC，連接PA，同理可得PAPC，若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，APD=45°，故APB=90°；探究：解：BC=5，AB=3，AC=，若PB=PC，設(shè)PA=x，則，即PA=，若PA=PC，則PA=2，若PA=PB，由圖知，在RtPAB中，不可能故PA=2或 7.2定義“線”例8如圖，定義：若雙曲線y(k0)與它的其中一條對稱軸yx相交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的長度為雙曲線y(k0)的對徑（1）求雙曲線y的對徑；（2）若雙曲線y(k0)的對徑是10，求k的值；（3）仿照上述定義，定義雙曲線y(k0)的對徑【解答】解：過A點(diǎn)作ACx軸于C，如圖，(1)解方程組，得，A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，OCAC1，OAOC，AB2OA，雙曲線y的對徑是；(2)雙曲線的對徑為，即AB，OA，OAOCAC，OCAC5，點(diǎn)A坐標(biāo)為(5，5)，把A(5，5)代入雙曲線y (k0)得k5×525，即k的值為25；(3)若雙曲線y(k0)與它的其中一條對稱軸yx相交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的長稱為雙曲線y(k0)的對徑7.3定義“角”例9如圖，A、B是O上的兩個定點(diǎn)，P是O上的動點(diǎn)（P不與A，B重合），我們稱APB是O上關(guān)于A、B的滑動角（1）已知APB是O上關(guān)于A、B的滑動角若AB是O的直徑，則APB= ；若O的半徑是1，AB=，求APB的度數(shù).（2）已知O2是O1外一點(diǎn)，以O(shè)2為圓心做一個圓與O1相交于A、B兩點(diǎn)，APB是O1上關(guān)于A、B的滑動角，直線PA、PB分別交O2于點(diǎn)M、N（點(diǎn)M與點(diǎn)A、點(diǎn)N與點(diǎn)B均不重合），連接AN，試探索APB與MAN、ANB之間的數(shù)量關(guān)系【解答】解：（1）AB是O的直徑，APB=90°. OA=OB=1, AB=，OA2+OB2=1+1=2=AB2AOB是直角三角形AOB=90°.APB=AOB=45° 圖1 圖2（2）當(dāng)P在優(yōu)弧AB上時，如圖1，這時MAN是PAN的外角，因而APB=MAN-ANB；當(dāng)P在劣弧AB上時，如圖2，這時APB是PAN的外角，因而APB=MAN+ANB；7.4定義“三角形”AyOBx例10（2010浙江紹興）在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形,叫做此一次函數(shù)的坐標(biāo)三角形.例如，圖中的一次函數(shù)的圖象與x,y軸分別交于點(diǎn)A,B,則OAB為此函數(shù)的坐標(biāo)三角形（1）求函數(shù)yx3的坐標(biāo)三角形的三條邊長； （2）若函數(shù)yxb（b為常數(shù)）的坐標(biāo)三角形周長為16, 求此三角形面積【解答】解：(1) 直線yx3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0），與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,3）， 函數(shù)yx3的坐標(biāo)三角形的三條邊長分別為3,4,5. (2) 直線yxb與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（,0），與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,b）， 當(dāng)b>0時,，得b =4，此時，坐標(biāo)三角形面積為； 當(dāng)b<0時，得b =4，此時，坐標(biāo)三角形面積為. 綜上，當(dāng)函數(shù)yxb的坐標(biāo)三角形周長為16時，面積為 7.5定義“四邊形”例11我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊（1）寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱 ， ；（2）如圖1，已知格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)），請你畫出以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形；圖1圖2（3）如圖2，將繞頂點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，連結(jié)，求證：，即四邊形是勾股四邊形【解答】解：（1）正方形、長方形、直角梯形（任選兩個均可）（2）答案如圖所示或 （3）證明：連結(jié)， ， ，即四邊形是勾股四邊形8