類型一 新定義型例1、對任意一個三位數(shù)n，如果n滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個數(shù)為“相異數(shù)”將一個“相異數(shù)”任意兩個數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)后可以得到三個不同的新三位數(shù)，把這三個新三位數(shù)的和與111的商記為F(n)例如n123，對調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213，對調(diào)百位與個位上的數(shù)字得到321，對調(diào)十位與個位上的數(shù)字得到132，這三個新三位數(shù)的和為213321132666，666÷1116，所以F(123)6（1）計算：F(243)，F(xiàn)(617);（2）若s，t都是“相異數(shù)”，其中s100x32，t150y(1x9，1y9，x，y都是正整數(shù)），規(guī)定：k當F(s)F(t)18時，求k的最大值【解答】解：(1)F(243)(423342234)÷1119；F(617)(167716671)÷11114（2）s，t都是“相異數(shù)”，s100x32，t150y，F(xiàn)(s)(30210x230x100x23)÷111x5，F(xiàn)(t)(510y100y5110510y)÷111y6F(t)F(s)18，x5y6xy1118，xy71x9，1y9，且x，y都是正整數(shù)，或或或或或s是“相異數(shù)”，x2，x3t是“相異數(shù)”，y1，y5或或，或或，k或k1或kk的最大值為例2、如圖1，在正方形ABCD的內(nèi)部，作DAEABFBCGCDH，根據(jù)三角形全等的條件，易得DAEABFBCGCDH，從而得到四邊形EFGH是正方形類比探究如圖2，在正ABC的內(nèi)部，作BADCBEACF，AD，BE，CF兩兩相交于D，E，F(xiàn)三點(D，E，F(xiàn)三點不重合）（1）ABD，BCE，CAF是否全等？如果是，請選擇其中一對進行證明（2）DEF是否為正三角形？請說明理由（3）進一步探究發(fā)現(xiàn)，ABD的三邊存在一定的等量關系，設BDa，ADb，ABc，請?zhí)剿鱝，b，c滿足的等量關系【解答】解：(1)ABDBCECAF;理由如下：ABC是正三角形，CABABCBCA60°，ABBC，ABDABC2，BCEACB3，23，ABDBCE，在ABD和BCE中，ABDBCE(ASA);(2)DEF是正三角形；理由如下：ABDBCECAF，ADBBECCFA，F(xiàn)DEDEFEFD，DEF是正三角形；（3）作AGBD于G，如圖所示：DEF是正三角形，ADG60°，在RtADG中，DG在RtABG中例3、有這樣一個問題：探究同一平面直角坐標系中系數(shù)互為倒數(shù)的正、反比例函數(shù)y與y0）的圖象性質(zhì)小明根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y與y當k0時的圖象性質(zhì)進行了探究下面是小明的探究過程：（1）如圖所示，設函數(shù)y與y圖象的交點為A，B，已知A點的坐標為(k，1)，則B點的坐標為_；（2）若點P為第一象限內(nèi)雙曲線上不同于點B的任意一點設直線PA交x軸于點M，直線PB交x軸于點N求證：PMPN證明過程如下：設直線PA的解析式為yaxb(a0）則 ，解得 _直線PA的解析式為_請你把上面的解答過程補充完整，并完成剩余的證明當P點坐標為(1，k)(k1）時，判斷PAB的形狀，并用k表示出PAB的面積【解答】解：（1）由正、反比例函數(shù)圖象的對稱性可知，點A、B關于原點O對稱，A點的坐標為(k，1)，B點的坐標為(k，1)故答案為：(k，1)（2）證明過程如下，設直線PA的解析式為yaxb(a0）則，解得：，直線PA的解析式為y當y0時，xmk，M點的坐標為(mk，0)過點P作PHx軸于H，如圖1所示，P點坐標為H點的坐標為(m，0)，MHm(mk)k同理可得：HNkMHHN，PMPN故答案為：；y由可知，在PMN中，PMPN，PMN為等腰三角形，且MHHNk當P點坐標為(1，k)時，PHk，MHHNPH，PMHMPH45°，PNHNPH45°，MPN90°，即APB90°，PAB為直角三角形當k1時，如圖1，當0k1時，如圖2，例4、問題呈現(xiàn)：如圖1，點E、F、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上，AEDG，求證：2S四邊形EFGHS矩形ABCD（S表示面積）實驗探究：某數(shù)學實驗小組發(fā)現(xiàn)：若圖1中AHBF，點G在CD上移動時，上述結論會發(fā)生變化，分別過點E、G作BC邊的平行線，再分別過點F、H作AB邊的平行線，四條平行線分別相交于點、得到矩形如圖2，當AHBF時，若將點G向點C靠近(DGAE)，經(jīng)過探索，發(fā)現(xiàn)：2 S四邊形EFGHS矩形ABCDS矩形如圖3，當AHBF時，若將點G向點D靠近(DGAE)，請?zhí)剿鱏四邊形EFGH、S矩形ABCD與S矩形之間的數(shù)量關系，并說明理由遷移應用：請直接應用“實驗探究”中發(fā)現(xiàn)的結論解答下列問題：（1）如圖4，點E、F、G、H分別是面積為25的正方形ABCD各邊上的點，已知AHBF，AEDG，S四邊形EFGH11，HF求EG的長（2）如圖5，在矩形ABCD中，AB3，AD5，點E、H分別在邊AB、AD上，BE1，DH2，點F、G分別是邊BC、CD上的動點，且FG連接EF、HG，請直接寫出四邊形EFGH面積的最大值【解答】問題呈現(xiàn)：證明：如圖1中，四邊形ABCD是矩形，ABCD，A90°，AEDG，四邊形AEGD是矩形，S四邊形EFGH，同理S矩形BEGC，S四邊形EFGHS矩形ABCD實驗探究：結論：2 S四邊形EFGHS矩形ABCDS矩形理由： =， =， =， =，S四邊形EFGH=+，2S四邊形EFGH=2+2+2+22，2S四邊形EFGH=S矩形ABCDS矩形遷移應用：解：（1）如圖4中，2S四邊形EFGH=S矩形ABCDS矩形，S矩形=252×11=3=A1B1A1D1，正方形的面積為25，邊長為5，A1D12=HF252=2925=4，A1D1=2，A1B1=，EG2=A1B12+52=，EG=（2）2 S四邊形EFGHS矩形ABCDS矩形四邊形面積最大時，四邊形EFGH的面積最大如圖51中，當G與C重合時，四邊形面積最大時，四邊形EFGH的面積最大此時矩形面積如圖52中，當G與D重合時，四邊形面積最大時，四邊形EFGH的面積最大此時矩形面積212，四邊形EFGH的面積最大值例5、定義：點P是ABC內(nèi)部或邊上的點（頂點除外），在PAB，PBC，PCA中，若至少有一個三角形與ABC相似，則稱點P是ABC的自相似點例如：如圖1，點P在ABC的內(nèi)部，PBCA，BCPABC，則BCPABC，故點P是ABC的自相似點請你運用所學知識，結合上述材料，解決下列問題：在平面直角坐標系中，點M是曲線y上的任意一點，點N是x軸正半軸上的任意一點（1）如圖2，點P是OM上一點，ONPM，試說明點P是MON的自相似點；當點M的坐標是點N的坐標是時，求點P的坐標；（2）如圖3，當點M的坐標是點N的坐標是(2，0)時，求MON的自相似點的坐標；（3）是否存在點M和點N，使MON無自相似點？若存在，請直接寫出這兩點的坐標；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）ONPM，NOPMON，NOPMON，點P是MON的自相似點；過P作PDx軸于D，則tanPODMON60°，當點M的坐標是點N的坐標是MNO90°，NOPMON，NPOMNO90°，在RtOPN中，OPONcos60°ODOPcos60°OPsin60°（2）作MHx軸于H，如圖3所示：點M的坐標是點N的坐標是(2，0)，OM直線OM的解析式為y2，MOH30°，分兩種情況：如圖3所示：P是MON的相似點，PONNOM，作PQx軸于Q，POPN，OQ1，P的橫坐標為1，y如圖4所示：由勾股定理得：MN2，P是MON的相似點，PNMNOM，即解得：PN即P的縱坐標為代入y得：解得：x2，綜上所述：MON的自相似點的坐標為或（3）存在點M和點N，使MON無自相似點理由如下：OMON，MON60°，MON是等邊三角形，點P在MON的內(nèi)部，PONOMN，PNOMON，存在點M和點N，使MON無自相似點9