專(zhuān)題23 多邊形內(nèi)角和問(wèn)題 專(zhuān)題知識(shí)回顧 1多邊形：在平面內(nèi)，由一些線(xiàn)段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。2多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。3多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線(xiàn)組成的角叫多邊形的外角。4多邊形的對(duì)角線(xiàn)：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線(xiàn)段，叫做多邊形的對(duì)角線(xiàn)。5正多邊形：在平面內(nèi)，各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。6多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）·180°7多邊形的外角和：多邊形的內(nèi)角和為360°。8.多邊形對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)：（1）從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引（n-3）條對(duì)角線(xiàn)，把多邊形分成（n-2）個(gè)三角形。（2）n邊形共有條對(duì)角線(xiàn)。專(zhuān)題典型題考法及解析 【例題1】（2019貴州銅仁）如圖為矩形ABCD，一條直線(xiàn)將該矩形分割成兩個(gè)多邊形，若這兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和分別為a和b，則a+b不可能是（）A360°B540°C630°D720°【答案】C【解析】一條直線(xiàn)將該矩形ABCD分割成兩個(gè)多邊形，每一個(gè)多邊形的內(nèi)角和都是180°的倍數(shù)，都能被180整除，分析四個(gè)答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°【例題2】（2019廣西梧州）正九邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是（）A108°B120°C135°D140°【答案】D【解析】先根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理：180°（n2）求出該多邊形的內(nèi)角和，再求出每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)該正九邊形內(nèi)角和180°×（92）1260°，則每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)【例題3】（2019湖南湘西州）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1080°，則這個(gè)多邊形是（）A五邊形B六邊形C七邊形D八邊形【答案】D 【解析】本題考查根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式求多邊形的邊數(shù)，解答時(shí)要會(huì)根據(jù)公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理。多邊形的內(nèi)角和可以表示成（n2）180°，列方程可求解設(shè)所求多邊形邊數(shù)為n，則（n2）180°1080°，解得n8【例題4】（2019海南）如圖，O與正五邊形ABCDE的邊AB、DE分別相切于點(diǎn)B、D，則劣弧所對(duì)的圓心角BOD的大小為 度【答案】144【解析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式可求出E、D，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)可求出OAE、OCD，從而可求出AOC，然后根據(jù)圓弧長(zhǎng)公式即可解決問(wèn)題五邊形ABCDE是正五邊形，EA108°AB、DE與O相切，OBAODE90°，BOD（52）×180°90°108°108°90°144°。 專(zhuān)題典型訓(xùn)練題 一、選擇題1（2019湖北咸寧）若正多邊形的內(nèi)角和是540°，則該正多邊形的一個(gè)外角為（）A45°B60°C72°D90°【答案】C 【解析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n2）180°求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的外角和是固定的360°，依此可以求出多邊形的一個(gè)外角正多邊形的內(nèi)角和是540°，多邊形的邊數(shù)為540°÷180°+25，多邊形的外角和都是360°，多邊形的每個(gè)外角360÷572°2（2019內(nèi)蒙古巴彥卓爾）下列命題：若x2+kx+是完全平方式，則k1；若A（2，6），B（0，4），P（1，m）三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，則m5；等腰三角形一邊上的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸；一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，則這個(gè)多邊形是六邊形其中真命題個(gè)數(shù)是（）A1B2C3D4【答案】B 【解析】利用完全平方公式對(duì)進(jìn)行判斷；利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)AB的解析式，然后求出m，則可對(duì)進(jìn)行判斷；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)對(duì)進(jìn)行判斷；根據(jù)多邊形的內(nèi)角和和外角和對(duì)進(jìn)行判斷若x2+kx+是完全平方式，則k±1，所以錯(cuò)誤；若A（2，6），B（0，4），P（1，m）三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，而直線(xiàn)AB的解析式為yx+4，則x1時(shí)，m5，所以正確；等腰三角形底邊上的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸，所以錯(cuò)誤；一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，則這個(gè)多邊形是六邊形，所以正確3（2019寧夏）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，分別以點(diǎn)A，D為圓心，以AB，DC為半徑作扇形ABF，扇形DCE則圖中陰影部分的面積是（）A6B6C12D12【答案】B【解析】正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，正六邊形ABCDEF的面積是：6×6，F(xiàn)ABEDC120°，圖中陰影部分的面積是：6，4.（2018蘇州）一個(gè)多邊形除一個(gè)內(nèi)角外其余內(nèi)角的和為1510°，則這個(gè)多邊形對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)是（）A 27 B 35 C 44 D 54【答案】C 【解析】設(shè)出題中所給的兩個(gè)未知數(shù)，利用內(nèi)角和公式列出相應(yīng)等式，根據(jù)邊數(shù)為整數(shù)求解即可，再進(jìn)一步代入多邊形的對(duì)角線(xiàn)計(jì)算方法，即可解答設(shè)這個(gè)內(nèi)角度數(shù)為x，邊數(shù)為n，（n2）×180°x=1510，180n=1870+x，n為正整數(shù)，n=11，=445.（2018齊齊哈爾）如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都是60°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）A3 B，4 C.5 D.6【答案】D 【解析】由一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于60°，且多邊形的外角和等于360°，即可求得這個(gè)多邊形的邊數(shù)一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于60°，且多邊形的外角和等于360°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是：360÷60=66.（2018武漢）一個(gè)多邊形除一個(gè)內(nèi)角外其余內(nèi)角的和為1510°，則這個(gè)多邊形對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)是（）A 27 B 35 C 44 D 54【答案】C 【解析】設(shè)出題中所給的兩個(gè)未知數(shù)，利用內(nèi)角和公式列出相應(yīng)等式，根據(jù)邊數(shù)為整數(shù)求解即可，再進(jìn)一步代入多邊形的對(duì)角線(xiàn)計(jì)算方法，即可解答設(shè)這個(gè)內(nèi)角度數(shù)為x，邊數(shù)為n，（n2）×180°x=1510，180n=1870+x，n為正整數(shù)，n=11，=447.（2018大連）如圖，在ABC中，A=40°，D點(diǎn)是ABC和ACB角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，則BDC=【答案】110°【解析】由D點(diǎn)是ABC和ACB角平分線(xiàn)的交點(diǎn)可推出DBC+DCB=70，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出BDC的度數(shù)D點(diǎn)是ABC和ACB角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，有CBD=ABD=ABC，BCD=ACD=ACB，ABC+ACB=18040=140，OBC+OCB=70，BOC=18070=110°8.（2018沈陽(yáng)）若正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是150°，則該正多邊形的邊數(shù)是（）A6 B12 C16 D18【答案】B 【解析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和，可得答案設(shè)多邊形為n邊形，由題意，得（n2）180°=150n，解得n=129（2018山東臨沂）內(nèi)角和為540°的多邊形是（）ABCD【答案】C 【解析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n2）180°列式進(jìn)行計(jì)算即可求解設(shè)多邊形的邊數(shù)是n，則（n2）180°=540°，解得n=510.（2018江蘇鎮(zhèn)江）已知n邊形的內(nèi)角和=（n-2）×180°.（1）甲同學(xué)說(shuō)，能取360°；而乙同學(xué)說(shuō)，也能取630°.甲、乙的說(shuō)法對(duì)嗎？若對(duì)，求出邊數(shù)n.若不對(duì)，說(shuō)明理由；（2）若n邊形變?yōu)椋╪+x）邊形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了360°，用列方程的方法確定x.【答案】(1)甲對(duì)，乙不對(duì),理由見(jiàn)解析；（2）2.【解析】（1）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式判定即可；（2）根據(jù)題意列方程，解方程即可.試題解析：(1)甲對(duì)，乙不對(duì).=360°，（n-2）×180°=360°，解得n=4.=630°，（n-2）×180°=630°，解得n=.n為整數(shù)，不能取630°.(2) 由題意得，（n-2）×180+360=（n+x-2）×180，解得x=2.11（2018湖南岳陽(yáng)）已知正多邊形的一個(gè)外角等于40°，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）A6 B7 C8 D9【答案】D 【解析】根據(jù)正多邊形的外角和以及一個(gè)外角的度數(shù)，求得邊數(shù)正多邊形的一個(gè)外角等于40°，且外角和為360°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是：360°÷40°=912.（2018四川綿陽(yáng)）一個(gè)多邊形切去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1080°，那么原多邊形的邊數(shù)為（）A7 B7或8 C8或9 D7或8或9【答案】D【解析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后它的邊數(shù)可能增加1，可能減少1，或不變首先求得內(nèi)角和為1080°的多邊形的邊數(shù)，即可確定原多邊形的邊數(shù)設(shè)內(nèi)角和為1080°的多邊形的邊數(shù)是n，則（n2）180°=1080°，解得：n=8則原多邊形的邊數(shù)為7或8或913.（2019大慶模擬題）將一矩形紙片沿一條直線(xiàn)剪成兩個(gè)多邊形，那么這兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和之和不可能是（）A360° B540° C720° D900°【答案】D【解析】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，能夠得出一個(gè)矩形截一刀后得到的圖形有三種情形，是解決本題的關(guān)鍵根據(jù)題意列出可能情況，再分別根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理進(jìn)行解答即可將矩形沿對(duì)角線(xiàn)剪開(kāi)，得到兩個(gè)三角形，兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和為：180°+180°=360°將矩形從一頂點(diǎn)剪向?qū)?，得到一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和為：180°+360°=540°將矩形沿一組對(duì)邊剪開(kāi)，得到兩個(gè)四邊形，兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和為：360°+360°=720°14.（2019長(zhǎng)沙模擬題）若一個(gè)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為144°，則正n邊形的所有對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)是（）A7 B10 C35 D70【答案】C【解析】本題考查了多邊形的內(nèi)角以及多邊形的對(duì)角線(xiàn)，解題的關(guān)鍵是求出正n邊形的邊數(shù)本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出多邊形邊的條數(shù)是關(guān)鍵由正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為144°結(jié)合多邊形內(nèi)角和公式，即可得出關(guān)于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，將其代入中即可得出結(jié)論一個(gè)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為144°，144°n=180°×（n2），解得：n=10這個(gè)正n邊形的所有對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)是： =3515. （2018江西）如圖，五邊形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，E=115°，則BAE的度數(shù)為何？（）A115B120C125D130【答案】C 【解析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出ABC與AED全等，進(jìn)而得出B=E，利用多邊形的內(nèi)角和解答即可正三角形ACD，AC=AD，ACD=ADC=CAD=60°，AB=DE，BC=AE，ABCAED，B=E=115°，ACB=EAD，BAC=ADE，ACB+BAC=BAC+DAE=180°115°=65°，BAE=BAC+DAE+CAD=65°+60°=125°二、填空題16（2019江蘇淮安）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是540°，則該多邊形的邊數(shù)是 【答案】5 【解析】n邊形的內(nèi)角和公式為（n2）180°，由此列方程求n設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，則（n2）180°540°，解得n517.（2019陜西）若正六邊形的邊長(zhǎng)為3，則其較長(zhǎng)的一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為 【答案】6 【解析】如圖所示為正六邊形最長(zhǎng)的三條對(duì)角線(xiàn)，由正六邊形性質(zhì)可知，AOB，COD為兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的等邊三角形，AD=2AB=6，故答案為618（2019江蘇徐州）如圖，A、B、C、D為一個(gè)外角為40°的正多邊形的頂點(diǎn)若O為正多邊形的中心，則OAD 【答案】140°【解析】利用任意凸多邊形的外角和均為360°，正多邊形的每個(gè)外角相等即可求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式計(jì)算即可多邊形的每個(gè)外角相等，且其和為360°，據(jù)此可得多邊形的邊數(shù)為：，OAD19.（經(jīng)典題）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是_. 【答案】8 【解析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，多邊形外角和為360°，根據(jù)題意列出方程，解之即可.設(shè)這個(gè)多邊形邊數(shù)為n，（n-2）×180°=360°×3，n=8.10