專題18 二次函數(shù)綜合題考點(diǎn)分析【例1】（2019·遼寧中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)yx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于B點(diǎn)，拋物線yx2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，在第一象限的拋物線上取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DCx軸于點(diǎn)C，交直線AB于點(diǎn)E（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式（2）是否存在點(diǎn)D，使得BDE和ACE相似？若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）如圖2，F(xiàn)是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），點(diǎn)G是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)連接DF，F(xiàn)G，當(dāng)四邊形DEGF是平行四邊形且周長最大時(shí)，請直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)【答案】（1）yx2+x+3；（2）存在點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，3）或（，）；（3）G（，）【解析】解：（1）在中，令，得，令，得，將，分別代入拋物線中，得：，解得：，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：（2）存在如圖1，過點(diǎn)作于，設(shè)，則，；，和相似，或當(dāng)時(shí)，即：，解得：（舍去），（舍去），當(dāng)時(shí)，即：，解得：（舍，（舍，；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，；（3）如圖3，四邊形是平行四邊形，設(shè)，則：，即：，即：過點(diǎn)作于，則，即：，即：周長，當(dāng)時(shí)，周長最大值，【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)綜合題，綜合難度較大，解答關(guān)鍵在于結(jié)合函數(shù)圖形進(jìn)行計(jì)算，再利用待定系數(shù)法求解析式，配合輔助線利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答.【例2】（2019·山東中考模擬）如圖，已知直線AB經(jīng)過點(diǎn)（0，4），與拋物線y=x2交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是(1）求這條直線的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)B的坐標(biāo)(2）在x軸上是否存在點(diǎn)C，使得ABC是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在請說明理由(3）過線段AB上一點(diǎn)P，作PMx軸，交拋物線于點(diǎn)M，點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)N（0，1），當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為何值時(shí)，MN+3MP的長度最大？最大值是多少？【答案】（1）直線y=x+4，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，16）；（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0），（0，0），（6，0），（32，0）；（3）當(dāng)M的橫坐標(biāo)為6時(shí)，MN+3PM的長度的最大值是18 【解析】（1）點(diǎn)A是直線與拋物線的交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)為-2，,A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，1），設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，將（0，4），（-2，1）代入得解得yx4直線與拋物線相交，解得：x=-2或x=8，當(dāng)x=8時(shí)，y=16，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，16）；（2）存在由A(2，1)，B(8，16)可求得AB2=325.設(shè)點(diǎn)C(m，0)，同理可得AC2(m2)212m24m5，BC2(m8)2162m216m320， 若BAC90°，則AB2AC2BC2，即325m24m5m216m320，解得m； 若ACB90°，則AB2AC2BC2，即325m24m5m216m320，解得m0或m6； 若ABC90°，則AB2BC2AC2，即m24m5m216m320325，解得m32， 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0) （3）設(shè)M(a，a2)， 則MN，又點(diǎn)P與點(diǎn)M縱坐標(biāo)相同，x4a2，x= ，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，MPa，MN3PMa213(a)a23a9 (a6)218，268，當(dāng)a6時(shí)，取最大值18，當(dāng)M的橫坐標(biāo)為6時(shí)，MN3PM的長度的最大值是18考點(diǎn)集訓(xùn)1（2019·湖南中考真題）已知拋物線過點(diǎn)，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)A作，垂足為M，求證：四邊形ADBM為正方形；(3)點(diǎn)P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)若點(diǎn)Q為線段OC上的一動(dòng)點(diǎn)，問：是否存在最小值？若存在，求岀這個(gè)最小值；若不存在，請說明理由【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為：，頂點(diǎn)；(2)證明見解析；(3)點(diǎn)；(4)存在，的最小值為【解析】 (1)函數(shù)的表達(dá)式為：，即：，解得：，故拋物線的表達(dá)式為：，則頂點(diǎn)；(2)，A(1,0)，B(3,0)， OB=3，OA=1，AB=2，又D(2，-1)，AD=BD=，AM=MB=AD=BD，四邊形ADBM為菱形，又，菱形ADBM為正方形；(3)設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得：，解得：，所以直線BC的表達(dá)式為：y=-x+3，過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)N，則，故有最大值，此時(shí)，故點(diǎn)；(4)存在，理由：如圖，過點(diǎn)C作與y軸夾角為的直線CF交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作，垂足為H，交y軸于點(diǎn)Q， 此時(shí)，則最小值，在RtCOF中，COF=90°，F(xiàn)OC=30°，OC=3，tanFCO=，OF=，F(xiàn)(-，0)，利用待定系數(shù)法可求得直線HC的表達(dá)式為：，COF=90°，F(xiàn)OC=30°，CFO=90°-30°=60°，AHF=90°，F(xiàn)AH=90°-60°=30°，OQ=AOtanFAQ=，Q(0,)，利用待定系數(shù)法可求得直線AH的表達(dá)式為：，聯(lián)立并解得：，故點(diǎn)，而點(diǎn)，則，即的最小值為【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法，解直角三角形的應(yīng)用，正方形的判定，最值問題等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確把握相關(guān)知識，會(huì)添加常用輔助線是解題的關(guān)鍵.2（2019·遼寧中考模擬）如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（0，3)、B（1，0），其對稱軸為直線l：x=2，過點(diǎn)A作ACx軸交拋物線于點(diǎn)C，AOB的平分線交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為m.（1）求拋物線的解析式； （2）若動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形AOPE面積最大，并求出其最大值； （3）如圖，F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P使POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）當(dāng)m=時(shí)，四邊形AOPE面積最大，最大值為.（3）P點(diǎn)的坐標(biāo)為 ：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）. 【解析】（1）如圖1，設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，由對稱性得：D（3，0），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，拋物線的解析式；y=x2-4x+3；（2）如圖2，設(shè)P（m，m2-4m+3），OE平分AOB，AOB=90°，AOE=45°，AOE是等腰直角三角形，AE=OA=3，E（3，3），易得OE的解析式為：y=x，過P作PGy軸，交OE于點(diǎn)G，G（m，m），PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，S四邊形AOPE=SAOE+SPOE，=×3×3+PGAE，=+×3×（-m2+5m-3），=-m2+m，=（m-）2+，-0，當(dāng)m=時(shí)，S有最大值是；（3）如圖3，過P作MNy軸，交y軸于M，交l于N，OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得OMPPNF，OM=PN，P（m，m2-4m+3），則-m2+4m-3=2-m，解得：m=或，P的坐標(biāo)為（，）或（，）；如圖4，過P作MNx軸于N，過F作FMMN于M，同理得ONPPMF，PN=FM，則-m2+4m-3=m-2，解得：x=或；P的坐標(biāo)為（，）或（，）；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（，）或（，）或（，）或（，）點(diǎn)睛：本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法，解第（2）問時(shí)需要運(yùn)用配方法，解第（3）問時(shí)需要運(yùn)用分類討論思想和方程的思想解決問題3（2019·四川中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與直線都經(jīng)過、兩點(diǎn)，該拋物線的頂點(diǎn)為C（1）求此拋物線和直線的解析式；（2）設(shè)直線與該拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E，在射線上是否存在一點(diǎn)M，過M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N，使點(diǎn)M、N、C、E是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）設(shè)點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求面積的最大值【答案】（1）拋物線的解析式為，直線的解析式為，（2）或（3）當(dāng)時(shí)，面積的最大值是，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為【解析】解：（1）拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，拋物線的解析式為，直線經(jīng)過、兩點(diǎn)，解得：，直線的解析式為，（2），拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為，軸，如圖，若點(diǎn)M在x軸下方，四邊形為平行四邊形，則，設(shè)，則，解得：，（舍去），如圖，若點(diǎn)M在x軸上方，四邊形為平行四邊形，則，設(shè)，則，解得：，（舍去），綜合可得M點(diǎn)的坐標(biāo)為或（3）如圖，作軸交直線于點(diǎn)G，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，面積的最大值是，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)求最值問題，以及二次函數(shù)與平行四邊形、三角形面積有關(guān)的問題4（2019·內(nèi)蒙古中考真題）已知，如圖，拋物線的頂點(diǎn)為，經(jīng)過拋物線上的兩點(diǎn)和的直線交拋物線的對稱軸于點(diǎn)（1）求拋物線的解析式和直線的解析式（2）在拋物線上兩點(diǎn)之間的部分（不包含兩點(diǎn)），是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（3）若點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在軸上，當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為：，直線的表達(dá)式為：；（2）存在，理由見解析；點(diǎn)或或或【解析】解：（1）二次函數(shù)表達(dá)式為：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式并解得：，故拋物線的表達(dá)式為：，則點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：直線的表達(dá)式為：；（2）存在，理由：二次函數(shù)對稱軸為：，則點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，則，解得：或5（舍去5），故點(diǎn)；（3）設(shè)點(diǎn)、點(diǎn)，當(dāng)是平行四邊形的一條邊時(shí)，點(diǎn)向左平移4個(gè)單位向下平移16個(gè)單位得到，同理，點(diǎn)向左平移4個(gè)單位向下平移16個(gè)單位為，即為點(diǎn)，即：，而，解得：或4，故點(diǎn)或；當(dāng)是平行四邊形的對角線時(shí)，由中點(diǎn)公式得：，而，解得：，故點(diǎn)或；綜上，點(diǎn)或或或【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、平行四邊形性質(zhì)、圖形的面積計(jì)算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏5（2019·青海中考真題）如圖1（注：與圖2完全相同），在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)三點(diǎn),（1）求拋物線的解析式和對稱軸；（2）是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，求滿足的值為最小的點(diǎn)坐標(biāo)（請?jiān)趫D1中探索）；（3）在第四象限的拋物線上是否存在點(diǎn)，使四邊形是以為對角線且面積為的平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請說明理由.（請?jiān)趫D2中探索）【答案】（1），函數(shù)的對稱軸為：；（2）點(diǎn)；（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或【解析】解：根據(jù)點(diǎn),的坐標(biāo)設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則，解得：，拋物線的表達(dá)式為： ，函數(shù)的對稱軸為：；連接交對稱軸于點(diǎn)，此時(shí)的值為最小，設(shè)BC的解析式為：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：得：解得：直線的表達(dá)式為：，當(dāng)時(shí)，故點(diǎn)； 存在，理由：四邊形是以為對角線且面積為的平行四邊形，則 ，點(diǎn)在第四象限，故：則，將該坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：或，故點(diǎn)的坐標(biāo)為或【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、平行四邊形性質(zhì)、圖形的面積計(jì)算等，其中，求線段和的最小值，采取用的是點(diǎn)的對稱性求解，這也是此類題目的一般解法6（2019·遼寧中考模擬）如圖，拋物線（a0）交x軸于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點(diǎn)G（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對稱軸l在邊OA（不包括O、A兩點(diǎn)）上平行移動(dòng)，分別交x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)P，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請用含m的代數(shù)式表示PM的長；（3）在（2）的條件下，連結(jié)PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和AEM相似？若存在，求出此時(shí)m的值，并直接判斷PCM的形狀；若不存在，請說明理由【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）PM=（0m3）；（3）存在這樣的點(diǎn)P使PFC與AEM相似此時(shí)m的值為或1，PCM為直角三角形或等腰三角形【解析】解：（1）拋物線（a0）經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)C（0，4），解得拋物線的解析式為（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，A（3，0），點(diǎn)C（0，4），解得直線AC的解析式為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)M在AC上，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，）點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，）PM=PEME=（）（）=PM=（0m3）（3）在（2）的條件下，連接PC，在CD上方的拋物線部分存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和AEM相似理由如下：由題意，可得AE=3m，EM=，CF=m，PF=，若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和AEM相似，分兩種情況：若PFCAEM，則PF：AE=FC：EM，即（）：（3m）=m：（），m0且m3，m=PFCAEM，PCF=AMEAME=CMF，PCF=CMF在直角CMF中，CMF+MCF=90°，PCF+MCF=90°，即PCM=90°PCM為直角三角形若CFPAEM，則CF：AE=PF：EM，即m：（3m）=（）：（），m0且m3，m=1CFPAEM，CPF=AMEAME=CMF，CPF=CMFCP=CMPCM為等腰三角形綜上所述，存在這樣的點(diǎn)P使PFC與AEM相似此時(shí)m的值為或1，PCM為直角三角形或等腰三角形7（2019·貴州中考真題）如圖，拋物線C1：yx22x與拋物線C2：yax2+bx開口大小相同、方向相反，它們相交于O，C兩點(diǎn)，且分別與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)A，OA2OB（1）求拋物線C2的解析式；（2）在拋物線C2的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使PA+PC的值最??？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；（3）M是直線OC上方拋物線C2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MO，MC，M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，MOC面積最大？并求出最大面積【答案】（1）yx2+4x；（2）線段AC的長度；（3）SMOC最大值為【解析】（1）令：yx22x0，則x0或2，即點(diǎn)B（2，0），C1、C2：yax2+bx開口大小相同、方向相反，則a1，則點(diǎn)A（4，0），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入C2的表達(dá)式得：016+4b，解得：b4，故拋物線C2的解析式為：yx2+4x；（2）聯(lián)立C1、C2表達(dá)式并解得：x0或3，故點(diǎn)C（3，3），作點(diǎn)C關(guān)于C1對稱軸的對稱點(diǎn)C（1，3），連接AC交函數(shù)C2的對稱軸與點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC的值最小為：線段AC的長度；（3）直線OC的表達(dá)式為：yx，過點(diǎn)M作y軸的平行線交OC于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)M（x，x2+4x），則點(diǎn)H（x，x），則SMOCMH×xC（x2+4xx）x2，0，故x，SMOC最大值為【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，還考查了三角形的面積，要注意將三角形分解成兩個(gè)三角形求解；還要注意求最大值可以借助于二次函數(shù)8（2019·山東中考真題）若二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點(diǎn)、，且過點(diǎn).（1）求二次函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)為拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且,求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在拋物線上（下方）是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)到軸的距離；若不存在，請說明理由.【答案】（l） ；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)到軸的距離為 .【解析】（l）因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，又因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)， 解，得 所以，拋物線表達(dá)式為 （2）連接，設(shè)點(diǎn).則 由題意得 或（舍） 點(diǎn)的坐標(biāo)為.（3）設(shè)直線的表達(dá)式為，因直線過點(diǎn)、，解，得 所以的表達(dá)式為 設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸，垂足為，作軸交于點(diǎn)，則的坐標(biāo)為，.又軸 又 .在中解得： 所以點(diǎn)到軸的距離為【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合性問題，難度系數(shù)高,但是是中考的必考知識點(diǎn),應(yīng)當(dāng)熟練地掌握.9（2019·江蘇中考模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)交軸于點(diǎn)、，交軸于點(diǎn)，在軸上有一點(diǎn)，連接. （1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)為拋物線在軸負(fù)半軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值；（3）拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形，若存在，請直接寫出所有點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請說明理由.【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為，.【解析】（1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）、B（2，0），C（0，6），解得：，所以二次函數(shù)的解析式為：y=；（2）由A（4，0），E（0，2），可求AE所在直線解析式為y=，過點(diǎn)D作DNx軸，交AE于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EHDF，垂足為H，如圖， 設(shè)D（m，），則點(diǎn)F（m，），DF=（）=，SADE=SADF+SEDF=×DF×AG+DF×EH =×DF×AG+×DF×EH =×4×DF =2×（） =，當(dāng)m=時(shí)，ADE的面積取得最大值為 （3）y=的對稱軸為x=1，設(shè)P（1，n），又E（0，2），A（4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三種情況討論：當(dāng)PA=PE時(shí)，=，解得：n=1，此時(shí)P（1，1）； 當(dāng)PA=AE時(shí)，=，解得：n=，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，）； 當(dāng)PE=AE時(shí)，=，解得：n=2，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為：（1，2） 綜上所述：P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（1，1），（1，），（1，2）點(diǎn)睛：本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會(huì)求拋物線解析式，會(huì)運(yùn)用二次函數(shù)分析三角形面積的最大值，會(huì)分類討論解決等腰三角形的頂點(diǎn)的存在問題時(shí)解決此題的關(guān)鍵10（2019·四川中考真題）如圖，頂點(diǎn)為的二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)B在該圖象上，交其對稱軸l于點(diǎn)M，點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對稱，連接、（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式（2）若點(diǎn)B在對稱軸l右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)，請解答下列問題：連接，當(dāng)時(shí)，請判斷的形狀，并求出此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)求證：【答案】（1）二次函數(shù)的關(guān)系式為；（2）是等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)B坐標(biāo)為；見解析【解析】解：（1）二次函數(shù)頂點(diǎn)為設(shè)頂點(diǎn)式二次函數(shù)圖象過點(diǎn)，解得：二次函數(shù)的關(guān)系式為（2）設(shè)直線解析式為：交對稱軸l于點(diǎn)M當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對稱，即解得：，B，是等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)B坐標(biāo)為證明：如圖，設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)D、設(shè)直線解析式為 解得：直線：當(dāng)時(shí)，解得：，軸垂直平分【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求解析式，再由題意得到等式進(jìn)行計(jì)算.11（2019·山西中考真題）綜合與探究如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0)，B(4,0)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為.連接AC，BC，DB，DC，(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)BCD的面積等于AOC的面積的時(shí)，求的值；(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)M是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M,使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)3；(3).【解析】 (1)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0)，B(4,0)，解得，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；(2)作直線DE軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)G，作CFDE，垂足為F，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0)，OA=2，由，得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,6)，OC=6，SOAC=，SBCD=SAOC，SBCD =，設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為，由B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)得，解得，直線BC的函數(shù)表達(dá)式為，點(diǎn)G的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0)，OB=4，SBCD=SCDG+SBDG=，SBCD =，解得(舍)，的值為3；(3)存在，如下圖所示，以BD為邊或者以BD為對角線進(jìn)行平行四邊形的構(gòu)圖，以BD為邊時(shí)，有3種情況，D點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)N點(diǎn)縱坐標(biāo)為±，當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為時(shí)，如點(diǎn)N2，此時(shí)，解得：(舍)，；當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為時(shí)，如點(diǎn)N3，N4，此時(shí)，解得：，；以BD為對角線時(shí)，有1種情況，此時(shí)N1點(diǎn)與N2點(diǎn)重合，D(3，)，N1D=4，BM1=N1D=4，OM1=OB+BM1=8，M1(8，0)，綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：.【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法、三角形的面積、解一元二次方程、平行四邊形的性質(zhì)等知識，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.12（2019·四川中考真題）如圖，拋物線過點(diǎn)，且與直線交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)D為拋物線上位于直線上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作軸交直線于點(diǎn)E，點(diǎn)P為對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段的長度最大時(shí)，求的最小值；（3）設(shè)點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】（1）拋物線的解析式；（2）的最小值為；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)：、【解析】解：（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)為代入，B的坐標(biāo)為，將，代入，解得，拋物線的解析式；（2）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，有最大值為2，此時(shí)，作點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，連接，與對稱軸交于點(diǎn)P，此時(shí)最小，即的最小值為；（3）作軸于點(diǎn)H，連接、，拋物線的解析式，可知外接圓的圓心為H，設(shè)，則，或符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)：、【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)與一次函數(shù)的性質(zhì)以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵13（2019·湖南中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且過點(diǎn)點(diǎn)P、Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時(shí)，求面積的最大值(3)直線OQ與線段BC相交于點(diǎn)E，當(dāng)與相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為：；(2)有最大值，當(dāng)時(shí)，其最大值為；(3)點(diǎn)或【解析】解：(1)函數(shù)的表達(dá)式為：，將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式并解得：，故拋物線的表達(dá)式為：；(2)設(shè)直線PD與y軸交于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)，將點(diǎn)P、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：并解得：直線PD的表達(dá)式為：，則，故有最大值，當(dāng)時(shí)，其最大值為；(3)，故與相似時(shí)，分為兩種情況：當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)A作AHBC與點(diǎn)H，解得：，則，則，則直線OQ的表達(dá)式為：，聯(lián)立并解得：(舍去負(fù)值)，故點(diǎn)時(shí)，則直線OQ的表達(dá)式為：，聯(lián)立并解得：，故點(diǎn)；綜上，點(diǎn)或【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面積的計(jì)算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏14（2019·山東中考模擬）已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A（0，6），B（6，0），C（2，0），點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PAB的面積有最大值？（3）過點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段AB于點(diǎn)D，再過點(diǎn)P做PEx軸交拋物線于點(diǎn)E，連結(jié)DE，請問是否存在點(diǎn)P使PDE為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由【答案】（1）拋物線解析式為y=x2+2x+6；（2）當(dāng)t=3時(shí)，PAB的面積有最大值；（3）點(diǎn)P（4，6）【解析】（1）拋物線過點(diǎn)B（6，0）、C（2，0），設(shè)拋物線解析式為y=a（x6）（x+2），將點(diǎn)A（0，6）代入，得：12a=6，解得：a=，所以拋物線解析式為y=（x6）（x+2）=x2+2x+6；（2）如圖1，過點(diǎn)P作PMOB與點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，作AGPM于點(diǎn)G，設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，將點(diǎn)A（0，6）、B（6，0）代入，得：，解得：，則直線AB解析式為y=x+6，設(shè)P（t，t2+2t+6）其中0t6，則N（t，t+6），PN=PMMN=t2+2t+6（t+6）=t2+2t+6+t6=t2+3t，SPAB=SPAN+SPBN=PNAG+PNBM=PN（AG+BM）=PNOB=×（t2+3t）×6=t2+9t=（t3）2+，當(dāng)t=3時(shí)，PAB的面積有最大值；（3）PDE為等腰直角三角形，則PE=PD，點(diǎn)P（m，-m2+2m+6），函數(shù)的對稱軸為：x=2，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為：4-m，則PE=|2m-4|，即-m2+2m+6+m-6=|2m-4|，解得：m=4或-2或5+或5-（舍去-2和5+）故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（4，6）或（5-，3-5）【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，涉及到待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握和靈活運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵.