第30講概率1事件的分類事件類型 定義 概率 必然事件 一定會發(fā)生的事件 1 不可能事件 一定不會發(fā)生的事件 0隨機事件 在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件 01之間2.概率：一般地，表示一個隨機事件A發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，叫做這個隨機事件A發(fā)生的概率3概率的計算(1)公式法：對于簡單的事件直接用公式法計算即可；P(A)；(2)列表法：當一次試驗涉及兩步計算時，且可能出現(xiàn)的結果數(shù)目較多時，可采用列表法列出所有可能的結果，再根據(jù)P(A)計算概率；(3)畫樹狀圖法：當一次試驗涉及兩步或兩步以上的計算時，可采用畫樹狀圖表示所有可能的結果，再根據(jù)P(A)計算概率4幾何概型求概率：與幾何圖形有關的概率的計算，一般是用幾何圖形中的面積比進行求解，計算公式為P(A).5頻率與概率(1)用頻率估算概率：一般地，在大量重復試驗下，隨機事件A發(fā)生的頻率 (這里n是總試驗次數(shù)，它必須相當大，m是在n次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù))會穩(wěn)定到某個常數(shù)p.于是，我們用p這個常數(shù)表示事件A發(fā)生的概率，即P(A)p；(2)頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：概率是用來表示一個隨機事件發(fā)生的可能性的大小，只要有一個隨機事件存在，就有一個概率存在，而頻率是通過試驗得到的，它隨著試驗次數(shù)的變化而變化；聯(lián)系：當試驗次數(shù)充分大時，頻率穩(wěn)定在概率的附近擺動，為了求出一個隨機事件的概率，通常需要大量的重復試驗，用所得的頻率來估計隨機事件的概率.考點1：頻率與概率【例題1】（2019湖北省仙桃市7分）為了解某地七年級學生身高情況，隨機抽取部分學生，測得他們的身高（單位：cm），并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結合圖中提供的信息，解答下列問題（1）填空：樣本容量為100，a30；（2）把頻數(shù)分布直方圖補充完整；（3）若從該地隨機抽取1名學生，估計這名學生身高低于160cm的概率【分析】（1）用A組的頻數(shù)除以它所占的百分比得到樣本容量，然后計算B組所占的百分比得到a的值；（2）利用B組的頻數(shù)為30補全頻數(shù)分布直方圖；（3）計算出樣本中身高低于160cm的頻率，然后利用樣本估計總體和利用頻率估計概率求解【解答】解：（1）15÷100，所以樣本容量為100；B組的人數(shù)為100153515530，所以a%×100%30%，則a30；故答案為100，30；（2）補全頻數(shù)分布直方圖為：（3）樣本中身高低于160cm的人數(shù)為15+3045，樣本中身高低于160cm的頻率為0.45，所以估計從該地隨機抽取1名學生，估計這名學生身高低于160cm的概率為0.45歸納：利用頻率估計概率：用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數(shù)的增多，值越來越精確 考點2：一步概率【例題2拋擲一枚質地均勻的立方體骰子一次，骰子的六個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，則朝上一面的數(shù)字為2的概率是（    ） A.       B.       C.   D. 【答案】A【分析】拋擲一枚質地均勻的立方體骰子一次，則朝上一面的數(shù)字可以是1,2,3,4,5,6六種情況，其中朝上一面的數(shù)字為2的只有一種情況，根據(jù)概率公式計算即可?！窘馕觥?：拋擲一枚質地均勻的立方體骰子一次，則朝上一面的數(shù)字共出現(xiàn)六種等可能情況，其中朝上一面的數(shù)字為2的只有一種情況，則朝上一面的數(shù)字為2的概率是故答案為：A,考點3：幾何概型求概率【例題3】（2018貴陽）（3.00分）如圖，小穎在圍棋盤上兩個格子的格點上任意擺放黑、白兩個棋子，且兩個棋子不在同一條網(wǎng)格線上，其中，恰好擺放成如圖所示位置的概率是（）A B C D【答案】A【解析】：恰好擺放成如圖所示位置的概率是=，故選：D考點4：概率的綜合計算【例題4】(2018·承德模擬)從背面相同的同一副撲克牌中取出紅桃9張，黑桃10張，方塊11張，現(xiàn)將這些牌洗勻背面朝上放在桌面上(1)求從中抽出一張是紅桃的概率；(2)現(xiàn)從桌面上先抽掉若干張黑桃，再放入與抽掉的黑桃張數(shù)相同的紅桃，并洗勻且背面都朝上排開后，隨機抽一張是紅桃的概率不小于，問至少抽掉了多少張黑桃？(3)若先從桌面上抽掉9張紅桃和m(m6)張黑桃后，再在桌面上抽出一張牌，當m為何值時，事件“再抽出的這張牌是方塊”為必然事件？當m為何值時，事件“再抽出的這張牌是方塊”為隨機事件？并求出這個事件的概率的最小值【解析】(1)抽出一張是紅桃的概率是.(2)設至少抽掉了x張黑桃，放入x張的紅桃，根據(jù)題意，得.解得x3.答：至少抽掉了3張黑桃(3)當m為10時，事件“再抽出的這張牌是方塊”為必然事件，當m為9，8，7時，事件“再抽出的這張牌是方塊”為隨機事件，P(最小).歸納：(1)判斷使用列表或畫樹狀圖方法：列表法一般適用于兩步計算；畫樹狀圖法適合于兩步及兩步以上求概率；(2)不重不漏地列舉出所有事件出現(xiàn)的可能結果，并判定每種事件發(fā)生的可能性是否相等；(3)確定所有可能出現(xiàn)的結果數(shù)n及所求事件A出現(xiàn)的結果數(shù)m；(4)用公式P(A)求事件A發(fā)生的概率一、選擇題：1. （2019浙江紹興4分）為了解某地區(qū)九年級男生的身高情況，隨機抽取了該地區(qū)100名九年級男生，他們的身高x（cm）統(tǒng)計如下：組別（cm）x160160x170170x180x180人數(shù)5384215根據(jù)以上結果，抽查該地區(qū)一名九年級男生，估計他的身高不低于180cm的概率是（）A0.85B0.57C0.42D0.15【答案】D【解答】解：樣本中身高不低于180cm的頻率0.15，所以估計他的身高不低于180cm的概率是0.15故選：D2. （2019湖北天門3分）下列說法正確的是（）A了解我市市民知曉“禮讓行人”交通新規(guī)的情況，適合全面調查B甲、乙兩人跳遠成績的方差分別為S甲23，S乙24，說明乙的跳遠成績比甲穩(wěn)定C一組數(shù)據(jù)2，2，3，4的眾數(shù)是2，中位數(shù)是2.5D可能性是1%的事件在一次試驗中一定不會發(fā)生【答案】C【解答】解：A了解我市市民知曉“禮讓行人”交通新規(guī)的情況，適合抽樣調查，A錯誤；B甲、乙兩人跳遠成績的方差分別為S甲23，S乙24，說明甲的跳遠成績比乙穩(wěn)定，B錯誤；C一組數(shù)據(jù)2，2，3，4的眾數(shù)是2，中位數(shù)是2.5，正確；D可能性是1%的事件在一次試驗中可能會發(fā)生，D錯誤故選：C3. （2019山東省德州市 4分）甲、乙是兩個不透明的紙箱，甲中有三張標有數(shù)字，1的卡片，乙中有三張標有數(shù)字1，2，3的卡片，卡片除所標數(shù)字外無其他差別，現(xiàn)制定一個游戲規(guī)則：從甲中任取一張卡片，將其數(shù)字記為a，從乙中任取一張卡片，將其數(shù)字記為b若a，b能使關于x的一元二次方程ax2+bx+10有兩個不相等的實數(shù)根，則甲獲勝；否則乙獲勝則乙獲勝的概率為（）ABCD【答案】C【解答】解：（1）畫樹狀圖如下：由圖可知，共有9種等可能的結果，其中能使乙獲勝的有4種結果數(shù)，乙獲勝的概率為，故選：C4. （2019湖北武漢3分）從1.2.3.4四個數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)，分別記為A.c，則關于x的一元二次方程ax2+4x+c0有實數(shù)解的概率為（）ABCD【答案】C【解答】解：畫樹狀圖得：由樹形圖可知：一共有12種等可能的結果，其中使ac4的有6種結果，關于x的一元二次方程ax2+4x+c0有實數(shù)解的概率為，故選：C5. （2019湖北省隨州市3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點，BD，AE交于點O，若隨機向平行四邊形ABCD內投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為（）A.B. C. D. 【答案】B【解析】解：E為BC的中點，=，SBOE=SAOB，SAOB=SABD，SBOE=SABD=SABCD，米粒落在圖中陰影部分的概率為，故選：B二、填空題：6. (2019甘肅省隴南市)（4分）一個猜想是否正確，科學家們要經(jīng)過反復的實驗論證下表是幾位科學家“擲硬幣”的實驗數(shù)據(jù)：實驗者德摩根蒲豐費勒皮爾遜羅曼諾夫斯基擲幣次數(shù)61404040100003600080640出現(xiàn)“正面朝上”的次數(shù)3109204849791803139699頻率0.5060.5070.4980.5010.492請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計硬幣出現(xiàn)“正面朝上”的概率為0.5（精確到0.1）【答案】0.5【解答】解：因為表中硬幣出現(xiàn)“正面朝上”的頻率在0.5左右波動，所以估計硬幣出現(xiàn)“正面朝上”的概率為0.5故答案為0.57. （2019浙江麗水3分）一個布袋里裝有2個紅球、3個黃球和5個白球，除顏色外其它都相同攪勻后任意摸出一個球，是白球的概率為 .【答案】【解答】袋子里裝有2個紅球、3個黃球和5個白球共10個球，從中摸出一個球是白球的概率是=8. （2019黑龍江省齊齊哈爾市3分）在一個不透明的口袋中，裝有一些除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的小球已知袋中有紅球5個，白球23個，且從袋中隨機摸出一個紅球的概率是，則袋中黑球的個數(shù)為 .【答案】22【解答】解：設袋中黑球的個數(shù)為x，根據(jù)題意得，解得x22，即袋中黑球的個數(shù)為22個9. （2019山東省德州市 4分）甲、乙是兩個不透明的紙箱，甲中有三張標有數(shù)字，1的卡片，乙中有三張標有數(shù)字1，2，3的卡片，卡片除所標數(shù)字外無其他差別，現(xiàn)制定一個游戲規(guī)則：從甲中任取一張卡片，將其數(shù)字記為a，從乙中任取一張卡片，將其數(shù)字記為b若a，b能使關于x的一元二次方程ax2+bx+10有兩個不相等的實數(shù)根，則甲獲勝；否則乙獲勝則乙獲勝的概率為 .【答案】【解答】解：（1）畫樹狀圖如下：由圖可知，共有9種等可能的結果，其中能使乙獲勝的有4種結果數(shù)，乙獲勝的概率為，三、解答題：10. （2019海南省8分）為宣傳6月6日世界海洋日，某校九年級舉行了主題為“珍惜海洋資源，保護海洋生物多樣性”的知識競賽活動為了解全年級500名學生此次競賽成績（百分制）的情況，隨機抽取了部分參賽學生的成績，整理并繪制出如下不完整的統(tǒng)計表（表1）和統(tǒng)計圖（如圖）請根據(jù)圖表信息解答以下問題：（1）本次調查一共隨機抽取了50個參賽學生的成績；（2）表1中a8；（3）所抽取的參賽學生的成績的中位數(shù)落在的“組別”是C；（4）請你估計，該校九年級競賽成績達到80分以上（含80分）的學生約有320人表1 知識競賽成績分組統(tǒng)計表組別分數(shù)/分頻數(shù)A60x70aB70x8010C80x9014D90x10018【分析】（1）本次調查一共隨機抽取學生：18÷36%50（人）；（2）a501814108；（3）本次調查一共隨機抽取50名學生，中位數(shù)落在C組；（4）該校九年級競賽成績達到80分以上（含80分）的學生有500×320（人）【解答】解：（1）本次調查一共隨機抽取學生：18÷36%50（人），故答案為50；（2）a501814108，故答案為8；（3）本次調查一共隨機抽取50名學生，中位數(shù)落在C組，故答案為C；（4）該校九年級競賽成績達到80分以上（含80分）的學生有500×320（人），故答案為32011. (2018·遵義)某超市在端午節(jié)期間開展優(yōu)惠活動，凡購物者可以通過轉動轉盤的方式享受折扣優(yōu)惠，本次活動共有兩種方式，方式一：轉動轉盤甲，指針指向A區(qū)域時，所購買物品享受9折優(yōu)惠、指針指向其他區(qū)域無優(yōu)惠；方式二：同時轉動轉盤甲和轉盤乙，若兩個轉盤的指針指向每個區(qū)域的字母相同，所購買物品享受8折優(yōu)惠，其他情況無優(yōu)惠在每個轉盤中，指針指向每個區(qū)城的可能性相同(若指針指向分界線，則重新轉動轉盤)(1)若顧客選擇方式一，則享受9折優(yōu)惠的概率為；(2)若顧客選擇方式二，請用樹狀圖或列表法列出所有可能，并求顧客享受8折優(yōu)惠的概率解：畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有12種等可能結果，其中指針指向每個區(qū)域的字母相同的有2種結果，P(顧客享受8折優(yōu)惠).12. (2019湖北仙桃)（7分）為了解某地七年級學生身高情況，隨機抽取部分學生，測得他們的身高（單位：cm），并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結合圖中提供的信息，解答下列問題（1）填空：樣本容量為100，a30；（2）把頻數(shù)分布直方圖補充完整；（3）若從該地隨機抽取1名學生，估計這名學生身高低于160cm的概率【分析】（1）用A組的頻數(shù)除以它所占的百分比得到樣本容量，然后計算B組所占的百分比得到a的值；（2）利用B組的頻數(shù)為30補全頻數(shù)分布直方圖；（3）計算出樣本中身高低于160cm的頻率，然后利用樣本估計總體和利用頻率估計概率求解【解答】解：（1）15÷100，所以樣本容量為100；B組的人數(shù)為100153515530，所以a%×100%30%，則a30；故答案為100，30；（2）補全頻數(shù)分布直方圖為：（3）樣本中身高低于160cm的人數(shù)為15+3045，樣本中身高低于160cm的頻率為0.45，所以估計從該地隨機抽取1名學生，估計這名學生身高低于160cm的概率為0.4513. (2018·邢臺三模)嘉嘉和琪琪一塊去選汽車牌照，現(xiàn)只有四個牌照可隨機選取，這四個牌照編號末尾數(shù)字如圖所示牌照末尾數(shù)字567數(shù)量(個)112(1)求嘉嘉選取牌照編號末尾數(shù)字是6的概率；(2)求她倆選取牌照編號末尾數(shù)字正好差1的概率【解析】：(1)一共有四個牌照，四種等可能結果，其中末尾數(shù)字是6的只有一種等可能結果，以P(搖到牌照末尾數(shù)字是6).(2)將這四個牌照編號，末尾數(shù)字為5的記為a，末尾數(shù)字為6的記為b，末尾數(shù)字為7的分別為c1，c2，abc1c2a(a，b)(a，c1)(a，c2)b(b，a)(b，c1)(b，c2)c1(c1，a)(c1，b)(c1，c2)c2(c2，a)(c2，b)(c2，c1)一共有12種等可能結果，其中末尾數(shù)字正好差1有6種等可能結果，所以P(末尾數(shù)字正好差1).14. （2019湖北省鄂州市）（8分）某校為了解全校學生對新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲五類電視節(jié)目的喜愛情況，隨機選取該校部分學生進行調查，要求每名學生從中選出一類最喜愛的電視節(jié)目，以下是根據(jù)調查結果繪制的統(tǒng)計圖表的一部分類別ABCDE類型新聞體育動畫娛樂戲曲人數(shù)112040m4請你根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）統(tǒng)計表中m的值為25，統(tǒng)計圖中n的值為25，A類對應扇形的圓心角為39.6度；（2）該校共有1500名學生，根據(jù)調查結果，估計該校最喜愛體育節(jié)目的學生人數(shù)；（3）樣本數(shù)據(jù)中最喜愛戲曲節(jié)目的有4人，其中僅有1名男生從這4人中任選2名同學去觀賞戲曲表演，請用樹狀圖或列表求所選2名同學中有男生的概率【分析】（1）先根據(jù)B類別人數(shù)及其百分比求出總人數(shù)，再由各類別人數(shù)之和等于總人數(shù)求出m，繼而由百分比概念得出n的值，用360°乘以A類別人數(shù)所占比例即可得；（2）利用樣本估計總體思想求解可得【解答】解：（1）樣本容量為20÷20%100，m100（11+20+40+4）25，n%×100%25%，A類對應扇形的圓心角為360°×39.6°，故答案為：25、25、39.6（2）1500×300（人）答：該校最喜愛體育節(jié)目的人數(shù)約有300人；（3）畫樹狀圖如下：共有12種情況，所選2名同學中有男生的有6種結果，所以所選2名同學中有男生的概率為13