專題20 以相似三角形為背景的證明與計(jì)算考點(diǎn)分析【例1】（2019·遼寧中考真題）已知，在RtABC中，ACB90°，D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，分別以CD和AD為直角邊作RtCDE和RtADF，使DCEADF90°，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC下方，連接EF（1）如圖1，當(dāng)BCAC，CECD，DFAD時，求證：CADCDF，BDEF；（2）如圖2，當(dāng)BC2AC，CE2CD，DF2AD時，猜想BD和EF之間的數(shù)量關(guān)系？并說明理由【答案】（1）見解析；見解析；（2）BDEF，理由見解析.【解析】（1）證明：ACB90°，CAD+ADC90°，CDF+ADC90°，CADCDF；作FHBC交BC的延長線于H，則四邊形FECH為矩形，CHEF，在ACD和DHF中，即，；（2），理由如下：作交的延長線于，則四邊形為矩形，即，GF2CD，BC2AC，CE2CD，BCDG，GFCE，BDCG，GFCE，GFCE，G90°，四邊形FECG為矩形，CGEF，BDEF【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于作輔助線和掌握各判定定理.【例2】 （2019·遼寧中考真題）如圖，中，DE垂直平分AB，交線段BC于點(diǎn)E（點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合），點(diǎn)F為AC上一點(diǎn)，點(diǎn)G為AB上一點(diǎn)（點(diǎn)G與點(diǎn)A不重合），且（1）如圖1，當(dāng)時，線段AG和CF的數(shù)量關(guān)系是 （2）如圖2，當(dāng)時，猜想線段AG和CF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明（3）若，請直接寫出CF的長【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）2.5或5【解析】解：（1）相等，理由：如圖1，連接AE，DE垂直平分AB，；故答案為：；（2），理由：如圖2，連接AE，DE垂直平分AB，在中，；（3）當(dāng)G在DA上時，如圖3，連接AE，DE垂直平分AB，過A作于點(diǎn)H，；當(dāng)點(diǎn)G在BD上，如圖4，同（1）可得，綜上所述，CF的長為2.5或5【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵考點(diǎn)集訓(xùn)1（2019·山東中考真題）如圖1，在RtABC中，B=90°，BC=2AB=8，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，連接DE，將EDC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為.（1）問題發(fā)現(xiàn) 當(dāng)時， ； 當(dāng)時， （2）拓展探究試判斷：當(dāng)0°360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情況給出證明.（3）問題解決當(dāng)EDC旋轉(zhuǎn)至A、D、E三點(diǎn)共線時，直接寫出線段BD的長.【答案】（1）,.（2）無變化；理由參見解析.（3），.【解析】（1）當(dāng)=0°時，RtABC中，B=90°，AC=，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，,BD=8÷2=4，如圖1，當(dāng)=180°時，可得ABDE，（2）如圖2，當(dāng)0°360°時，的大小沒有變化，ECD=ACB，ECA=DCB，又，ECADCB，（3）如圖3，AC=4，CD=4，CDAD，AD=AD=BC，AB=DC，B=90°，四邊形ABCD是矩形，BD=AC=如圖4，連接BD，過點(diǎn)D作AC的垂線交AC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作AC的垂線交AC于點(diǎn)P，AC=，CD=4，CDAD，AD=，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，DE=2，AE=AD-DE=8-2=6，由（2），可得，BD=綜上所述，BD的長為或2（2019·江蘇初三期末）如圖，四邊形ABCD中，AC平分DAB，ADC=ACB=90°，E為AB的中點(diǎn)，（1）求證：AC2=ABAD；（2）求證：CEAD；（3）若AD=4，AB=6，求的值【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】解：（1）證明：AC平分DABDAC=CABADC=ACB=90°ADCACB即AC2=ABAD（2）證明：E為AB的中點(diǎn)CE=AB=AEEAC=ECADAC=CABDAC=ECACEAD（3）CEADAFDCFECE=ABCE=×6=3AD=43（2019·四川中考真題）如圖，DB平分ADC，過點(diǎn)B作交AD于M連接CM交DB于N（1）求證：；（2）若，求MN的長【答案】（1）見解析；（2）.【解析】證明：（1）DB平分，且，（2），且，且，且【點(diǎn)睛】考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，求MC的長度是本題的關(guān)鍵4（2019·江蘇泰州中學(xué)附屬初中初三月考）如圖，RtABC中，ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm動點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒3cm的速度向定點(diǎn)A運(yùn)動，同時動點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒2cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，運(yùn)動時間為t秒（0t），連接MN（1）若BMN與ABC相似，求t的值；（2）連接AN，CM，若ANCM，求t的值【答案】（1）BMN與ABC相似時，t的值為或；（2）t=【解析】（1）由題意知，BM=3tcm，CN=2tcm，BN=（82t）cm，BA=10（cm），當(dāng)BMNBAC時，解得：t=；當(dāng)BMNBCA時，解得：t=，BMN與ABC相似時，t的值為或；（2）過點(diǎn)M作MDCB于點(diǎn)D，由題意得：DM=BMsinB=（cm），BD=BMcosB=（cm），BM=3tcm，CN=2tcm，CD=（）cm，ANCM，ACB=90°，CAN+ACM=90°，MCD+ACM=90°，CAN=MCD，MDCB，MDC=ACB=90°，CANDCM，解得t=考點(diǎn)：1相似三角形的判定與性質(zhì)；2解直角三角形；3動點(diǎn)型；4分類討論；5綜合題；6壓軸題5（2019·湖北中考真題）在中，是上一點(diǎn)，連接（1）如圖1，若，是延長線上一點(diǎn)，與垂直，求證：（2）過點(diǎn)作，為垂足，連接并延長交于點(diǎn).如圖2，若，求證：如圖3，若是的中點(diǎn)，直接寫出的值（用含的式子表示）【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；【解析】 (1)延長交于點(diǎn)，與垂直，；(2)過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，與垂直，由(1)，得，即； 過點(diǎn)C作CD/BP交AB的延長線于點(diǎn)D，延長AM交CD于點(diǎn)H，PCH=BPQ，BPM=CHM=90°，又BMP=CMH，BM=CM，BPMCHM，BP=CH，PM=HM，PH=2PM，PMB=BMA，ABM=BPM=90°，ABMBPM，在RtPCH中，tanPCH=，tanBPQ=，又BC=2BM，tanBPQ=.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.6（2019·遼寧初三期中）如圖，在ABC中，AB=AC，點(diǎn)P、D分別是BC、AC邊上的點(diǎn)，且APD=B,（1）求證：ACCD=CPBP；（2）若AB=10，BC=12，當(dāng)PDAB時，求BP的長【答案】（1）證明見解析；（2）. 【解析】解：（1）AB=AC，B=CAPD=B，APD=B=CAPC=BAP+B，APC=APD+DPC，BAP=DPC，ABPPCD，ABCD=CPBPAB=AC，ACCD=CPBP；（2）PDAB，APD=BAPAPD=C，BAP=CB=B，BAPBCA，AB=10，BC=12，BP=“點(diǎn)睛”本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識，把證明ACCD=CPBP轉(zhuǎn)化為證明ABCD=CPBP是解決第（1）小題的關(guān)鍵，證到BAP=C進(jìn)而得到BAPBCA是解決第（2）小題的關(guān)鍵7（2019·山西初三期末）如圖，ABC和ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，BAC=DAE=90°，點(diǎn)P為射線BD，CE的交點(diǎn)（1）求證：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)EAC=90°時，求PB的長；【答案】（1）證明見解析；（2）PB的長為或【解析】解：（1）ABC和ADE是等腰直角三角形，BAC=DAE=90°，AB=AC，AD=AE，DAB=CAE，ADBAEC，BD=CE（2）解：當(dāng)點(diǎn)E在AB上時，BE=ABAE=1EAC=90°，CE=同（1）可證ADBAEC，DBA=ECAPEB=AEC，PEBAEC，PB=當(dāng)點(diǎn)E在BA延長線上時，BE=3EAC=90°，CE=同（1）可證ADBAEC，DBA=ECABEP=CEA，PEBAEC，PB=綜上所述，PB的長為或【點(diǎn)睛】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定，證明得PEBAEC是解題的關(guān)鍵8（2019·山東初三）如圖，在四邊形ABCD中，ACBD于點(diǎn)E，AB=AC=BD，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，N為線段AM上的點(diǎn)，且MB=MN.（1）求證：BN平分ABE； （2）若BD=1，連結(jié)DN，當(dāng)四邊形DNBC為平行四邊形時，求線段BC的長； （3）如圖，若點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，連結(jié)FN、FM，求證：MFNBDC【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析. 【解析】（1）AB=AC，ABC=ACB，M為BC的中點(diǎn)，AMBC，在RtABM中，MAB+ABC=90°，在RtCBE中，EBC+ACB=90°，MAB=EBC，又MB=MN，MBN為等腰直角三角形，MNB=MBN=45°，EBC+NBE=45°，MAB+ABN=MNB=45°，NBE=ABN，即BN平分ABE；（2）設(shè)BM=CM=MN=a，四邊形DNBC是平行四邊形，DN=BC=2a，在ABN和DBN中，ABNDBN（SAS），AN=DN=2a，在RtABM中，由AM2+MB2=AB2可得（2a+a）2+a2=1，解得：a=±（負(fù)值舍去），BC=2a=；（3）F是AB的中點(diǎn)，在RtMAB中，MF=AF=BF，MAB=FMN，又MAB=CBD，F(xiàn)MN=CBD，MFNBDC點(diǎn)睛：本題主要考查相似形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)、直角三角形和平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形與相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)9（2019·河南中考真題）在，點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段DP，連接AD，BD，CP（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)時，的值是 ，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是 （2）類比探究如圖2，當(dāng)時，請寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)，并就圖2的情形說明理由（3）解決問題當(dāng)時，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，請直接寫出點(diǎn)C，P，D在同一直線上時的值【答案】（1）1，（2）45°（3），【解析】解：（1）如圖1中，延長CP交BD的延長線于E，設(shè)AB交EC于點(diǎn)O，線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是，故答案為1，（2）如圖2中，設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，BD交PC于點(diǎn)E，直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)為（3）如圖31中，當(dāng)點(diǎn)D在線段PC上時，延長AD交BC的延長線于H，A，D，C，B四點(diǎn)共圓，設(shè)，則，c如圖32中，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時，同法可證：，設(shè)，則，【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題10（2019·山東初三期中）如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作AB的垂線，過點(diǎn)F作CD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G，連接AG、BG、CG、DG，且AGDBGC（1）求證：ADBC；（2）求證：AGDEGF；（3）如圖2，若AD、BC所在直線互相垂直，求的值【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】（1）GE是AB的垂直平分線，GA=GB同理GD=GC在AGD和BGC中，GA=GB，AGD=BGC，GD=GC， AGDBGCAD=BC（2）AGD=BGC， AGB=DGC在AGB和DGC中，AGB=DGC， AGBDGC，又AGE=DGF，AGD=EGF，AGDEGF（3）如圖，延長AD交GB于點(diǎn)M，交BC的延長線于點(diǎn)H，則AHBH由AGDBGC，知GAD=GBC，在GAM和HBM中，GAD=GBC，GMA=HMBAGB=AHB=90°，AGE=AGB=45°，又AGDEGF，11（2019·溫江中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三期中）如圖，ABC與CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，連接AE、BD（1）猜想PM與PN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，請直接寫出結(jié)論；（2）現(xiàn)將圖中的CDE繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)（0°90°），得到圖，AE與MP、BD分別交于點(diǎn)G、H請判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）若圖中的等腰直角三角形變成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如圖，寫出PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并加以證明【答案】（1）PM=PN，PMPN，理由見解析；（2）理由見解析；（3）PM=kPN；理由見解析【解析】（1）PM=PN，PMPN，理由如下：ACB和ECD是等腰直角三角形， AC=BC，EC=CD，ACB=ECD=90°在ACE和BCD中， ACEBCD（SAS）， AE=BD，EAC=CBD，點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)， PM=BD，PN=AE，PM=PM， NPD=EAC，MPN=BDC，EAC+BDC=90°， MPA+NPC=90°，MPN=90°， 即PMPN；（2）ACB和ECD是等腰直角三角形， AC=BC，EC=CD，ACB=ECD=90°ACB+BCE=ECD+BCE ACE=BCD ACEBCD AE=BD，CAE=CBD 又AOC=BOE，CAE=CBD， BHO=ACO=90°點(diǎn)P、M、N分別為AD、AB、DE的中點(diǎn)， PM=BD，PMBD； PN=AE，PNAEPM=PN MGE+BHA=180° MGE=90° MPN=90° PMPN （3）PM=kPN ACB和ECD是直角三角形， ACB=ECD=90° ACB+BCE=ECD+BCEACE=BCD BC=kAC，CD=kCE， =k BCDACE BD=kAE點(diǎn)P、M、N分別為AD、AB、DE的中點(diǎn)， PM=BD，PN=AE PM=kPN考點(diǎn)：相似形綜合題12（2019·山東初三期中）（提出問題）（1）如圖1，在等邊ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊AMN，連結(jié)CN求證：ABC=ACN（類比探究）（2）如圖2，在等邊ABC中，點(diǎn)M是BC延長線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其它條件不變，（1）中結(jié)論ABC=ACN還成立嗎？請說明理由（拓展延伸）（3）如圖3，在等腰ABC中，BA=BC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰AMN，使頂角AMN=ABC連結(jié)CN試探究ABC與ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由【答案】見解析【解析】解：（1）證明：ABC、AMN是等邊三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60°BAM=CAN在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS）ABC=ACN（2）結(jié)論ABC=ACN仍成立理由如下：ABC、AMN是等邊三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60°BAM=CAN在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS）ABC=ACN（3）ABC=ACN理由如下：BA=BC，MA=MN，頂角ABC=AMN，底角BAC=MANABCAMN又BAM=BACMAC，CAN=MANMAC，BAM=CAN.BAMCANABC=ACN13（2019·福建省莆田擢英中學(xué)初三月考）如圖，在RtABC中，C=90°，點(diǎn)P為AC邊上的一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)P對應(yīng)點(diǎn)P），當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至APAB時，點(diǎn)B、P、P恰好在同一直線上，此時作PEAC于點(diǎn)E（1）求證：CBP=ABP；（2）求證：AE=CP；（3）當(dāng)，BP=時，求線段AB的長【解析】（1）證明：AP是AP旋轉(zhuǎn)得到，AP=AP，APP=APP，C=90°，APAB，CBP+BPC=90°，ABP+APP=90°，又BPC=APP，CBP=ABP；（2）證明：如圖，過點(diǎn)P作PDAB于D，CBP=ABP，C=90°，CP=DP，PEAC，EAP+APE=90°，又PAD+EAP=90°，PAD=APE，在APD和PAE中，APDPAE（AAS），AE=DP，AE=CP；（3）解：，設(shè)CP=3k，PE=2k，則AE=CP=3k，AP=AP=3k+2k=5k，在RtAEP中，PE=4k，C=90°，PEAC，CBP+BPC=90°，EPP+EPP=90°，BPC=EPP，CBP=EPP，又CBP=ABP，ABP=EPP，又BAP=PEP=90°，ABPEPP，即，解得PA=AB，在RtABP中，AB2+PA2=BP2，即AB2+AB2=（5）2，解得AB=10考點(diǎn)：1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.角平分線的性質(zhì)；3.勾股定理；4.相似三角形的判定與性質(zhì)14（2019·遼寧中考真題）如圖1，在中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，連接MC，點(diǎn)P是線段BC延長線上一點(diǎn)，且，連接MP交AC于點(diǎn)H將射線MP繞點(diǎn)M逆時針旋轉(zhuǎn)交線段CA的延長線于點(diǎn)D（1）找出與相等的角，并說明理由（2）如圖2，求的值（3）在（2）的條件下，若，求線段AB的長【答案】（1）；理由見解析；（2）；（3）.【解析】（1）理由如下：，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，；（2）如圖，過點(diǎn)C作交MP于點(diǎn)G，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，在與中，設(shè)，則，在中，；（3）如圖，由（2）知則，由（2）知，則，即解得，（舍去）【點(diǎn)睛】考查了幾何變換綜合題解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定（ASA）與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題過程中，注意方程思想在求相關(guān)線段長度時的靈活運(yùn)用