專題21 以平行四邊形為背景的證明與計算考點分析【例1】（2019·重慶中考真題）在中，BE平分交AD于點E（1）如圖1，若，求的面積；（2）如圖2，過點A作，交DC的延長線于點F，分別交BE，BC于點G，H，且求證：【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）解：作于O，如圖1所示：四邊形ABCD是平行四邊形，BE平分，的面積；（2）證明：作交DF的延長線于P，垂足為Q，連接PB、PE，如圖2所示：，在和中，在和中，【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵【例2】 （2019·山東初二期末）在正方形ABCD中，E是邊CD上一點（點E不與點C、D重合），連結(jié)BE（感知）如圖，過點A作AFBE交BC于點F易證ABFBCE（不需要證明）（探究）如圖，取BE的中點M，過點M作FGBE交BC于點F，交AD于點G（1）求證：BE=FG（2）連結(jié)CM，若CM=1，則FG的長為 （應(yīng)用）如圖，取BE的中點M，連結(jié)CM過點C作CGBE交AD于點G，連結(jié)EG、MG若CM=3，則四邊形GMCE的面積為 【答案】（1）證明見解析；（2）2，9.【解析】感知：四邊形ABCD是正方形，AB=BC，BCE=ABC=90°，ABE+CBE=90°，AFBE，ABE+BAF=90°，BAF=CBE，在ABF和BCE中，ABFBCE（ASA）；探究：（1）如圖，過點G作GPBC于P，四邊形ABCD是正方形，AB=BC，A=ABC=90°，四邊形ABPG是矩形，PG=AB，PG=BC，同感知的方法得，PGF=CBE，在PGF和CBE中，PGFCBE（ASA），BE=FG；（2）由（1）知，F(xiàn)G=BE，連接CM，BCE=90°，點M是BE的中點，BE=2CM=2，F(xiàn)G=2，故答案為：2應(yīng)用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6，ME=3，同探究（1）得，CG=BE=6，BECG，S四邊形CEGM=CG×ME=×6×3=9，故答案為：9【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，同角的余角相等，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理、判斷出CG=BE是解本題的關(guān)鍵考點集訓(xùn)1（2019·四川初三期末）在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點，把PBC沿直線PC折疊，頂點B的對應(yīng)點是點G，過點B作BECG，垂足為E且在AD上，BE交PC于點F（1）如圖1，若點E是AD的中點，求證：AEBDEC；（2）如圖2，求證：BP=BF；當(dāng)AD=25，且AEDE時，求cosPCB的值；當(dāng)BP=9時，求BEEF的值【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；108. 【解析】（1）在矩形ABCD中，A=D=90°，AB=DC，E是AD中點，AE=DE，在ABE和DCE中，ABEDCE（SAS）；（2）在矩形ABCD，ABC=90°，BPC沿PC折疊得到GPC，PGC=PBC=90°，BPC=GPC，BECG，BEPG，GPF=PFB，BPF=BFP，BP=BF；當(dāng)AD=25時，BEC=90°，AEB+CED=90°，AEB+ABE=90°，CED=ABE，A=D=90°，ABEDEC，設(shè)AE=x，DE=25x，x=9或x=16，AEDE，AE=9，DE=16，CE=20，BE=15，由折疊得，BP=PG，BP=BF=PG，BEPG，ECFGCP，設(shè)BP=BF=PG=y，y=，BP=，在RtPBC中，PC=，cosPCB=；如圖，連接FG，GEF=BAE=90°，BFPG，BF=PG=BP，BPGF是菱形，BPGF，GFE=ABE，GEFEAB，BEEF=ABGF=12×9=108【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，利用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵2（2019·甘肅中考真題）如圖，在正方形中，點是的中點，連接，過點作交于點，交于點（1）證明：；（2）連接，證明：【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】證明：（1）四邊形是正方形，又，（2）如圖所示，延長交的延長線于，是的中點，又，即是的中點，又，中，【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形3（2019·黑龍江初三）如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，過對角線BD中點O的直線分別交AB，CD邊于點E，F(xiàn)（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，求EF的長【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）證明：四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點，A=90°，AD=BC=4，ABDC，OB=OD，OBE=ODF，在BOE和DOF中， BOEDOF（ASA），EO=FO，四邊形BEDF是平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，BDEF，設(shè)BE=x，則 DE=x，AE=6-x，在RtADE中，DE2=AD2+AE2，x2=42+（6-x）2，解得：x= ，BD= =2，OB=BD=，BDEF，EO=，EF=2EO=點睛：本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理，證明三角形全等是解決問的關(guān)鍵 4（2019·四川中考真題）如圖，在四邊形中，延長到E，使，連接交于點F，點F是的中點求證：（1）（2）四邊形是平行四邊形【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】證明：（1），點F是的中點，在與中，；（2），四邊形是平行四邊形【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形判定定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形判定定理.5（2019·山東初二期末）已知，如圖，在ABCD中，延長DA到點E，延長BC到點F，使得AECF，連接EF，分別交AB，CD于點M，N，連接DM，BN.（1）求證：AEMCFN； （2）求證：四邊形BMDN是平行四邊形.【答案】證明見解析【解析】證明：(1） 四邊形ABCD是平行四邊形，ABDC ，ADBCE=F，DAB=BCDEAM=FCN又AE=CF AEMCFN（ASA）（2） 由（1）AEMCFN AM=CN又四邊形ABCD是平行四邊形ABCDBMDN四邊形BMDN是平行四邊形6（2019·黑龍江中考真題）.已知：在矩形中，是對角線，于點，于點；（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，當(dāng)時，連接.，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中四個三角形，使寫出的每個三角形的面積都等于矩形面積的.【答案】（1）詳見解析；（2）的面積的面積的面積的面積矩形面積的【解析】（1）證明：四邊形是矩形， ，于點，于點，在和中，；（2）解：的面積的面積的面積的面積矩形面積的理由如下：，的面積矩形的面積，的面積矩形的面積；作于，如圖所示：，的面積矩形的面積，同理：的面積矩形的面積【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半，靈活應(yīng)用矩形的性質(zhì)證全等，熟練掌握直角三角形角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.7（2019·浙江中考真題）如圖，矩形的頂點，分別在菱形的邊，上，頂點、在菱形的對角線上. （1）求證：； （2）若為中點，求菱形的周長?！敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）8.【解析】（1）四邊形EFGH是矩形，EH=FG，EHFG，GFH=EHF，BFG=180°-GFH，DHE=180°-EHF，BFG=DHE，四邊形ABCD是菱形，ADBC，GBF=EDH，BGFDEH（AAS），BG=DE；（2）連接EG，四邊形ABCD是菱形，AD=BC，ADBC，E為AD中點，AE=ED，BG=DE，AE=BG，AEBG，四邊形ABGE是平行四邊形，AB=EG，EG=FH=2，AB=2，菱形ABCD的周長=8【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的識別作圖是解題的關(guān)鍵8（2019·山西實驗中學(xué)初三月考）如圖1，在矩形ABCD中，P為CD邊上一點（DPCP），APB=90°將ADP沿AP翻折得到ADP，PD的延長線交邊AB于點M，過點B作BNMP交DC于點N（1）求證：AD2=DPPC；（2）請判斷四邊形PMBN的形狀，并說明理由；（3）如圖2，連接AC，分別交PM，PB于點E，F(xiàn)若=，求的值【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形PMBN是菱形，理由見解析；（3）【解析】解：（1）過點P作PGAB于點G，易知四邊形DPGA，四邊形PCBG是矩形， AD=PG，DP=AG，GB=PCAPB=90°，APG+GPB=GPB+PBG=90°，APG=PBG，APGPBG，PG2=AGGB，即AD2=DPPC；（2）DPAB，DPA=PAM，由題意可知：DPA=APM，PAM=APM，APB-PAM=APB-APM，即ABP=MPBAM=PM，PM=MB，PM=MB，又易證四邊形PMBN是平行四邊形，四邊形PMBN是菱形；（3）由于，可設(shè)DP=k，AD=2k，由（1）可知：AG=DP=k，PG=AD=2k，PG2=AGGB，4k2=kGB，GB=PC=4k，AB=AG+GB=5k，CPAB，PCFBAF，又易證：PCEMAE，AM=AB=, ，EF=AF-AE=AC-AC=AC，.【點睛】本題考查相似三角形的綜合問題，涉及相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的判定，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等知識，綜合程度較高，需要學(xué)生靈活運用所學(xué)知識9（2019·撫順市雷鋒中學(xué)初三月考）在正方形ABCD的邊AB上任取一點E，作EFAB交BD于點F，取FD的中點G，連接EG、CG，如圖（1），易證 EG=CG且EGCG（1）將BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，如圖（2），則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請直接寫出你的猜想（2）將BEF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)180°，如圖（3），則線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.請寫出你的猜想，并加以證明【答案】（1）EG=CG;EGCG（2）EG=CG；EGCG，證明見解析.【解析】解：（1）EG=CG，EGCG（2）EG=CG，EGCG 證明：延長FE交DC延長線于M，連MGAEM=90°，EBC=90°，BCM=90°，四邊形BEMC是矩形BE=CM，EMC=90°，由圖（3）可知，BD平分ABC，ABC=90°，EBF=45°，又EFAB，BEF為等腰直角三角形BE=EF，F(xiàn)=45°EF=CMEMC=90°，F(xiàn)G=DG，MG=FD=FGBC=EM，BC=CD，EM=CDEF=CM，F(xiàn)M=DM，又FG=DG，CMG=EMC=45°，F(xiàn)=GMC在GFE與GMC中，GFEGMC（SAS）EG=CG，F(xiàn)GE=MGC. FMC=90°，MF=MD，F(xiàn)G=DG，MGFD，F(xiàn)GE+EGM=90°，MGC+EGM=90°，即EGC=90°，EGCG【點睛】此題綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判斷和性質(zhì)，如何構(gòu)造全等的三角形是難點，因此難度較大考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)10（2019·廣東初三期中）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DFBE，求證：CECF；（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果GCE45°，請你利用（1）的結(jié)論證明：GEBEGD；（3）運用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：如圖3，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B90°，ABBC，E是AB上一點，且DCE45°，BE4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面積【答案】（1）、（2）證明見解析（3）108【解析】（1）如圖1，在正方形ABCD中，BC=CD，B=CDF，BE=DF，CBECDF，CE=CF；（2）如圖2，延長AD至F，使DF=BE，連接CF，由（1）知CBECDF，BCE=DCFBCE+ECD=DCF+ECD即ECF=BCD=90°，又GCE=45°，GCF=GCE=45°，CE=CF，GCE=GCF，GC=GC，ECGFCG，GE=GF，GE=DF+GD=BE+GD；（3）過C作CFAD的延長線于點F則四邊形ABCF是正方形AE=AB-BE=12-4=8，設(shè)DF=x，則AD=12-x，根據(jù)（2）可得：DE=BE+DF=4+x，在直角ADE中，AE2+AD2=DE2，則82+（12-x）2=（4+x）2，解得：x=6則DE=4+6=10【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是注意每個題目之間的關(guān)系，正確作出輔助線11（2019·湖南中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的邊AB4，BC6若不改變矩形ABCD的形狀和大小，當(dāng)矩形頂點A在x軸的正半軸上左右移動時，矩形的另一個頂點D始終在y軸的正半軸上隨之上下移動(1)當(dāng)OAD30°時，求點C的坐標(biāo)；(2)設(shè)AD的中點為M，連接OM、MC，當(dāng)四邊形OMCD的面積為時，求OA的長；(3)當(dāng)點A移動到某一位置時，點C到點O的距離有最大值，請直接寫出最大值，并求此時cosOAD的值【答案】(1)點C的坐標(biāo)為(2，3+2)；(2)OA3；(3)OC的最大值為8，cosOAD【解析】 (1)如圖1，過點C作CEy軸于點E，矩形ABCD中，CDAD，CDE+ADO90°，又OAD+ADO90°，CDEOAD30°，在RtCED中，CECD2，DE2，在RtOAD中，OAD30°，ODAD3，點C的坐標(biāo)為(2，3+2)；(2)M為AD的中點，DM3，SDCM6，又S四邊形OMCD，SODM，SOAD9，設(shè)OAx、ODy，則x2+y236，xy9，x2+y22xy，即xy，將xy代入x2+y236得x218，解得x3(負值舍去)，OA3；(3)OC的最大值為8，如圖2，M為AD的中點，OM3，CM5，OCOM+CM8，當(dāng)O、M、C三點在同一直線時，OC有最大值8，連接OC，則此時OC與AD的交點為M，過點O作ONAD，垂足為N，CDMONM90°，CMDOMN，CMDOMN，即，解得MN，ON，ANAMMN，在RtOAN中，OA，cosOAD【點睛】本題是四邊形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點12（2019·廣東初二期中）如圖，在正方形ABCD中，P是對角線AC上的一點，點E在BC的延長線上，且PE=PB（1）求證：BCPDCP；（2）求證：DPE=ABC；（3）把正方形ABCD改為菱形，其它條件不變（如圖），若ABC=58°，則DPE= 度【答案】 （1）詳見解析（2）詳見解析（3）58【解析】解：（1）證明：在正方形ABCD中，BC=DC，BCP=DCP=45°，在BCP和DCP中，BCPDCP（SAS）（2）證明：由（1）知，BCPDCP，CBP=CDPPE=PB，CBP=ECDP=E1=2（對頂角相等），180°1CDP=180°2E，即DPE=DCEABCD，DCE=ABCDPE=ABC（3）解：在菱形ABCD中，BC=DC，BCP=DCP，在BCP和DCP中，BCPDCP（SAS），CBP=CDP，PE=PB，CBP=E，DPE=DCE，ABCD，DCE=ABC，DPE=ABC=58°，故答案為：58