專題05 反比例函數(shù)必考點1 反比例函數(shù)的概念1（）可以寫成（）的形式，注意自變量x的指數(shù)為，在解決有關(guān)自變量指數(shù)問題時應(yīng)特別注意系數(shù)這一限制條件；2（）也可以寫成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)解析式中的k，從而得到反比例函數(shù)的解析式；3反比例函數(shù)的自變量，故函數(shù)圖象與x軸、y軸無交點【典例1】下列各點中，在函數(shù)y=圖象上的是（ ）A（2，4）B（2，4）C（2，4）D（8，1）【答案】A【解析】所有在反比例函數(shù)上的點的橫縱坐標的積應(yīng)等于比例系數(shù)本題只需把所給點的橫縱坐標相乘，結(jié)果是8的，就在此函數(shù)圖象上考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征【舉一反三】1. 點（2，4）在反比例函數(shù)y=的圖象上，則下列各點在此函數(shù)圖象上的是（）A（2，4）B（1，8）C（2，4）D（4，2）【答案】D【解析】點（2，-4）在反比例函數(shù)y=的圖象上，k=2×（-4）=-8A中2×4=8；B中-1×（-8）=8；C中-2×（-4）=8；D中4×（-2）=-8，點（4，-2）在反比例函數(shù)y=的圖象上故選D【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是求出反比例系數(shù)k，解決該題型題目時，結(jié)合點的坐標利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征求出k值是關(guān)鍵2下列函數(shù)中是反比例函數(shù)的是（）Ayx+1ByCy2xDy2x2【答案】B【解析】解：A、yx+1是一次函數(shù)，故選項錯誤；B、是反比例函數(shù)，故選項正確；C、是正比例函數(shù)，故選項錯誤；D、，是二次函數(shù)函數(shù)，故選項錯誤故選：B【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的定義，重點是將一般式（k0）轉(zhuǎn)化為（k0）的形式3若反比例函數(shù)的圖象過點（-2，1），則這個函數(shù)的圖象一定過點（ ）A（2，-1）B（2，1）C（-2，-1）D（1，2）【答案】A【解析】把（-2，1）代入y=得k=-2×1=-2，所以反比例函數(shù)解析式為y=，因為2×（-1）=-2， 2×1=2，-2×(-1)=2，1×2=2，所以點（2，-1）在反比例函數(shù)y=的圖象上故選A【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k必考點2 反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)【典例2】若點，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，的大小關(guān)系是（ ）ABCD【答案】B【解析】點，都在反比例函數(shù)的圖象上，分別把x=-3、x=-2、x=1代入得，故選：B【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的知識點是解題的關(guān)鍵【舉一反三】1. 點A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函數(shù)的圖象上，若x1x20，則（）Ay2y10By1y20Cy2y10Dy1y20【答案】C【解析】解：k20，此函數(shù)圖象的兩個分支分別位于一、三象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，x1x20，點A（x1，y1），B（x2，y2）位于第三象限，y2y10，故選：C【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵2在反比例函數(shù)y的每一條曲線上，y都隨著x的增大而減小，則k的值可以是（ ）A1B1C2D3【答案】A【解析】反比例函數(shù)y=1kx圖象的每一條曲線上，y隨x的增大而減小，1k>0，解得k<1.故選A.【點睛】此題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于根據(jù)其性質(zhì)求出k的值.3如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（為常數(shù)且）的圖象都經(jīng)過，結(jié)合圖象，則不等式的解集是（）ABC或D或【答案】C【解析】解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)（為常數(shù)且）的圖象上方時，的取值范圍是：或，不等式的解集是或. 故選：C【點睛】本題是一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點問題：主要考查了由函數(shù)圖象求不等式的解集利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵必考點3 K的幾何意義幾種常見基本類型1.類型一：類型二：類型三： 【典例3】如圖所示，點A是反比例函數(shù)y的圖象上的一點，過點A作ABx軸，垂足為B，點C為y軸上的一點，連接AC、BC若ABC的面積為5，則k的值為( )A5B5C10D10【答案】D【解析】解：連結(jié)OA，如圖，軸，而，故選D【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值【舉一反三】1.如圖，是直角三角形，點在反比例函數(shù)的圖象上若點在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為（ ）A2B-2C4D-4【答案】D【解析】過點、作軸，軸，分別于、，設(shè)點的坐標是，則，因為點在反比例函數(shù)的圖象上，則，點在反比例函數(shù)的圖象上，點的坐標是，.故選：.【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，相似三角形的判定與性質(zhì)，求函數(shù)的解析式的問題，一般要轉(zhuǎn)化為求點的坐標的問題，求出圖象上點的橫縱坐標的積就可以求出反比例函數(shù)的解析式.2如圖，A 、 B是曲線上的點，經(jīng)過A、 B兩點向x 軸、y軸作垂線段，若S陰影1 則 S1+S2 =( ) A4B5C6D8【答案】D【解析】A、B是曲線上的點，經(jīng)過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段圍成的矩形面積都是5，,S陰影1，S1=S2=4，即S1+S2=8，故選D【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)上的點向坐標軸作垂線圍成的矩形面積問題，難度不大3如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的圖象與邊長是4的正方形的兩邊，分別相交于兩點。的面積為6。則的值是（ ）A4B6C8D10【答案】C【解析】解：（1）正方形OABC的邊長是4，點M的橫坐標和點N的縱坐標為4，M（4，），N（，4），OMN的面積為6， 解得： 圖像位于第一象限，k=8.故選：C.【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義.必考點4 反比例函數(shù)的實際應(yīng)用【典例4】（2018·山東中考真題）春季是傳染病多發(fā)的季節(jié)，積極預(yù)防傳染病是學(xué)校高度重視的一項工作，為此，某校對學(xué)生宿舍采取噴灑藥物進行消毒.在對某宿舍進行消毒的過程中，先經(jīng)過的集中藥物噴灑，再封閉宿舍，然后打開門窗進行通風(fēng)，室內(nèi)每立方米空氣中含藥量與藥物在空氣中的持續(xù)時間之間的函數(shù)關(guān)系，在打開門窗通風(fēng)前分別滿足兩個一次函數(shù)，在通風(fēng)后又成反比例，如圖所示.下面四個選項中錯誤的是（ ）A經(jīng)過集中噴灑藥物，室內(nèi)空氣中的含藥量最高達到B室內(nèi)空氣中的含藥量不低于的持續(xù)時間達到了C當(dāng)室內(nèi)空氣中的含藥量不低于且持續(xù)時間不低于35分鐘，才能有效殺滅某種傳染病毒.此次消毒完全有效D當(dāng)室內(nèi)空氣中的含藥量低于時，對人體才是安全的，所以從室內(nèi)空氣中的含藥量達到開始，需經(jīng)過后，學(xué)生才能進入室內(nèi)【答案】C【解析】解: A、正確不符合題意B、由題意x=4時，y=8，室內(nèi)空氣中的含藥量不低于8mg/m3的持續(xù)時間達到了11min，正確，不符合題意；C、y=5時，x=2.5或24，24-2.5=21.535，故本選項錯誤，符合題意；D、正確不符合題意，故選C.【點睛】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，屬于中考?？碱}型.【舉一反三】1（2019·湖北中考真題）公元前3世紀，古希臘科學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)了杠桿平衡，后來人們把它歸納為“杠桿原理”，即：阻力×阻力臂=動力×動力臂.小偉欲用撬根撬動一塊石頭，已知阻力和阻力臂分別是和，則動力（單位：）關(guān)于動力臂l（單位：）的函數(shù)解析式正確的是（ ）ABCD【答案】B【解析】阻力×阻力臂=動力×動力臂小偉欲用撬棍撬動一塊石頭，已知阻力和阻力臂分別是和，動力(單位：)關(guān)于動力臂(單位：)的函數(shù)解析式為：，則，故選B【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，弄清題意，正確分析各量間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.2（2019·江蘇初二月考）我市某蔬菜生產(chǎn)基地在氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種在自然光照且溫度為18的條件下生長最快的新品種圖是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后，大棚內(nèi)溫度y（）隨時間x（小時）變化的函數(shù)圖象，其中BC段是雙曲線的一部分請根據(jù)圖中信息解答下列問題：（1）恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚內(nèi)溫度18的時間有多少小時？（2）求k的值；（3）當(dāng)x=16時，大棚內(nèi)的溫度約為多少度？【答案】（1）10小時（2）k=216（3）13.5【解析】（1）恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚溫度18的時間為122=10小時.（2）點B（12，18）在雙曲線上，解得：k=216（3）由（2），當(dāng)x=16時，當(dāng)x=16時，大棚內(nèi)的溫度約為13.5.【點睛】本題考查反比例函數(shù)的實際應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于讀懂題意.1（2019·廣西中考真題）已知，一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一直角坐標系中的圖象可能（）ABCD【答案】A【解析】解：若反比例函數(shù) 經(jīng)過第一、三象限，則 所以 則一次函數(shù) 的圖象應(yīng)該經(jīng)過第一、二、三象限；若反比例函數(shù)經(jīng)過第二、四象限，則a<0所以b>0則一次函數(shù)的圖象應(yīng)該經(jīng)過第二、三、四象限故選項A正確；故選A【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題2（2019·湖北中考真題）反比例函數(shù)，下列說法不正確的是（）A圖象經(jīng)過點(1,-3)B圖象位于第二、四象限C圖象關(guān)于直線y=x對稱Dy隨x的增大而增大【答案】D【解析】解：由點的坐標滿足反比例函數(shù)，故A是正確的；由，雙曲線位于二、四象限，故B也是正確的；由反比例函數(shù)的對稱性，可知反比例函數(shù)關(guān)于對稱是正確的，故C也是正確的，由反比例函數(shù)的性質(zhì)，在每個象限內(nèi)，隨的增大而增大，不在同一象限，不具有此性質(zhì)，故D是不正確的，故選：D【點睛】考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時，在每個象限內(nèi)隨的增大而增大的性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象是軸對稱圖象，和是它的對稱軸，同時也是中心對稱圖形；熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征和反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.3（2019·廣東中考模擬）如圖，A、B兩點在雙曲線y=上，分別經(jīng)過A、B兩點向軸作垂線段，已知S陰影=1，則S1+S2=（）A3B4C5D6【答案】D【解析】點A、B是雙曲線y=上的點，分別經(jīng)過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段，則根據(jù)反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)得兩個矩形的面積都等于|k|=4，S1+S2=4+4-1×2=6故選D4（2019·內(nèi)蒙古中考模擬）如圖，ABC的三個頂點分別為A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)若反比例函數(shù)y在第一象限內(nèi)的圖象與ABC有交點，則k的取值范圍是()A1k4B2k8C2k16D8k16【答案】C【解析】ABC是直角三角形，當(dāng)反比例函數(shù)經(jīng)過點A時k最小，經(jīng)過點C時k最大，k最小=1×2=2，k最大=4×4=16，2k16故選C5（2019·山東中考真題）如圖，直線l與x軸，y軸分別交于A，B兩點，且與反比例函數(shù)y（x0）的圖象交于點C，若SAOBSBOC1，則k（）A1B2C3D4【答案】D【解析】如圖，作CDx軸于D，設(shè)OBa（a0）SAOBSBOC，ABBCAOB的面積為1，OAOB1，OA，CDOB，ABBC，ODOA，CD2OB2a，C（，2a），反比例函數(shù)y（x0）的圖象經(jīng)過點C，k×2a4故選D【點睛】此題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，會運用相似求線段長度是解題的關(guān)鍵6（2019·湖南中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（為常數(shù)且）的圖象都經(jīng)過，結(jié)合圖象，則不等式的解集是（）ABC或D或【答案】C【解析】解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)（為常數(shù)且）的圖象上方時，的取值范圍是：或，不等式的解集是或. 故選：C【點睛】本題是一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點問題：主要考查了由函數(shù)圖象求不等式的解集利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵7（2019·浙江中考真題）如圖，矩形的頂點都在曲線 （常數(shù)，）上，若頂點的坐標為，則直線的函數(shù)表達式是_.【答案】【解析】D（5，3），A（，3），C（5，），B（，），設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n，把D（5，3），B（，）代入得，解得，直線BD的解析式為故答案為【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k也考查了矩形的性質(zhì)8（2019·湖南初三期中）已知反比例函數(shù)y=（k是常數(shù)，k1）的圖象有一支在第二象限，那么k的取值范圍是_【答案】k1【解析】反比例函數(shù)y=的圖象有一支在第二象限，k10，解得k1，故答案為k1【點睛】本題考查了反比例函數(shù)y=(k0，k為常數(shù))的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，k>0時，圖象位于一、三象限，k<0時，圖象位于二、四象限，熟知這些相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.9（2019·遼寧中考真題）如圖，點A在雙曲線y（x0）上，過點A作ABx軸于點B，點C在線段AB上且BC：CA1：2，雙曲線y（x0）經(jīng)過點C，則k_【答案】2【解析】解：連接OC，點A在雙曲線y（x0）上，過點A作ABx軸于點B，SOAB×63，BC：CA1：2，SOBC3×1，雙曲線y（x0）經(jīng)過點C，SOBC|k|1，|k|2，雙曲線y（x0）在第一象限，k2，故答案為2【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義是解題的關(guān)鍵10（2019·山東中考模擬）如圖，等邊三角形AOB的頂點A的坐標為（4，0），頂點B在反比例函數(shù)（x0）的圖象上，則k= 【答案】-4.【解析】過點B作BDx軸于點D，AOB是等邊三角形，點A的坐標為（4，0），AOB=60°，OB=OA=AB=4，OD= OB=2，BD=OBsin60°=4×=2，B（2，2 ），k=2×2 =4【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角函數(shù)等知識，難度適中11（2019·湖北中考真題）如圖，一直線經(jīng)過原點，且與反比例函數(shù)相交于點、點，過點作軸，垂足為，連接若面積為，則_【答案】8【解析】解：反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象相交于、兩點，兩點關(guān)于原點對稱，的面積的面積，又是反比例函數(shù)圖象上的點，且軸于點，的面積，故答案為【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，解題關(guān)鍵在于得出O為線段AB的中點12（2019·內(nèi)蒙古中考真題）教室里的飲水機接通電源就進入自動程序，開機加熱時每分鐘上升10，加熱到100停止加熱，水溫開始下降，此時水溫（）與開機后用時（）成反比例關(guān)系，直至水溫降至30，飲水機關(guān)機，飲水機關(guān)機后即刻自動開機，重復(fù)上述自動程序若在水溫為30時接通電源，水溫（）與時間（）的關(guān)系如圖所示：（1）分別寫出水溫上升和下降階段與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）怡萱同學(xué)想喝高于50的水，請問她最多需要等待多長時間？【答案】（1）與的函數(shù)關(guān)系式為： ，與的函數(shù)關(guān)系式每分鐘重復(fù)出現(xiàn)一次；（2）她最多需要等待分鐘；【解析】（1）由題意可得，當(dāng)時，設(shè)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為：，得，即當(dāng)時，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時，設(shè)，得，即當(dāng)時，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時，與的函數(shù)關(guān)系式為： ，與的函數(shù)關(guān)系式每分鐘重復(fù)出現(xiàn)一次；（2）將代入，得，將代入，得，怡萱同學(xué)想喝高于50的水，她最多需要等待分鐘；【點睛】考核知識點：一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合運用.根據(jù)實際結(jié)合圖象分析問題是關(guān)鍵.13（2019·湖南初三期中）某蔬菜生產(chǎn)基地的氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種蔬菜如圖是試驗階段的某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉后，大棚內(nèi)的溫度y （）與時間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系，其中線段AB、BC表示恒溫系統(tǒng)開啟階段，雙曲線的一部分CD表示恒溫系統(tǒng)關(guān)閉階段請根據(jù)圖中信息解答下列問題：（1）求這天的溫度y與時間x（0x24）的函數(shù)關(guān)系式；（2）求恒溫系統(tǒng)設(shè)定的恒定溫度；（3）若大棚內(nèi)的溫度低于10時，蔬菜會受到傷害問這天內(nèi)，恒溫系統(tǒng)最多可以關(guān)閉多少小時，才能使蔬菜避免受到傷害？【答案】（1）y關(guān)于x的函數(shù)解析式為；（2）恒溫系統(tǒng)設(shè)定恒溫為20°C；（3）恒溫系統(tǒng)最多關(guān)閉10小時，蔬菜才能避免受到傷害【解析】（1）設(shè)線段AB解析式為y=k1x+b（k0）線段AB過點（0，10），（2，14）代入得解得AB解析式為：y=2x+10（0x5）B在線段AB上當(dāng)x=5時，y=20B坐標為（5，20）線段BC的解析式為：y=20（5x10）設(shè)雙曲線CD解析式為：y=（k20）C（10，20）k2=200雙曲線CD解析式為：y=（10x24）y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：（2）由（1）恒溫系統(tǒng)設(shè)定恒溫為20°C（3）把y=10代入y=中，解得，x=2020-10=10答：恒溫系統(tǒng)最多關(guān)閉10小時，蔬菜才能避免受到傷害點睛：本題為實際應(yīng)用背景的函數(shù)綜合題，考查求得一次函數(shù)、反比例函數(shù)和常函數(shù)關(guān)系式解答時應(yīng)注意臨界點的應(yīng)用